基于導(dǎo)熱形狀因子的泡沫金屬導(dǎo)熱特性分析

楊振，姚元鵬，吳慧英

（上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海200240）

引 言

具有優(yōu)異傳熱性能的泡沫金屬材料在熱儲(chǔ)存[1]、能源器件溫控[2]等領(lǐng)域（如工業(yè)余熱蓄存回收、電子芯片散熱、鋰電池?zé)峁芾淼龋?yīng)用十分廣泛。這主要得益于泡沫金屬高熱導(dǎo)率與高度擴(kuò)展的換熱表面。其中，等效熱導(dǎo)率（ETC）作為衡量泡沫金屬導(dǎo)熱特性的關(guān)鍵熱物理參數(shù)，其精確計(jì)算對(duì)應(yīng)用泡沫金屬材料的熱系統(tǒng)設(shè)計(jì)、性能評(píng)估至關(guān)重要。

為預(yù)測(cè)泡沫金屬ETC，研究人員通常基于實(shí)測(cè)泡沫金屬孔隙率與金屬骨架、填充介質(zhì)熱導(dǎo)率構(gòu)建相應(yīng)理論模型。Calmidi等[3]以十二面體表征泡沫金屬結(jié)構(gòu)，并將泡沫骨架韌帶與結(jié)點(diǎn)分別以2D圓柱和方塊近似，首次提出了計(jì)算泡沫金屬ETC的2D結(jié)構(gòu)模型。Bhattacharya 等[4]將泡沫骨架結(jié)點(diǎn)假設(shè)為球形，更好地刻畫了實(shí)際泡沫金屬結(jié)構(gòu)。Boomsma等[5]采用Kelvin 十四面體表征實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)并將泡沫骨架韌帶、結(jié)點(diǎn)分別近似為三維圓柱、方塊，提出了預(yù)測(cè)ETC 的3D 結(jié)構(gòu)模型。Dai 等[6]進(jìn)一步引入泡沫骨架韌帶取向影響，對(duì)Boomsma 等[5]的模型進(jìn)行了修正和改進(jìn)，提高了ETC 計(jì)算精度，但該模型中韌帶、結(jié)點(diǎn)間的幾何關(guān)系與物理實(shí)際存在難以調(diào)和的矛盾。Yang 等[7]同樣基于十四面體泡沫結(jié)構(gòu)（將泡沫骨架結(jié)點(diǎn)近似為長(zhǎng)方體）提出了預(yù)測(cè)ETC的3D結(jié)構(gòu)模型，避免了上述韌帶、結(jié)點(diǎn)間的幾何矛盾。需要指出，上述泡沫金屬ETC 理論預(yù)測(cè)模型均基于各向同性的泡沫結(jié)構(gòu)假設(shè)，且多關(guān)注泡沫骨架結(jié)構(gòu)及其韌帶、結(jié)點(diǎn)構(gòu)型的合理簡(jiǎn)化，但模型預(yù)測(cè)結(jié)果與大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)存在顯著偏差（甚至高于20%）。

另外，有研究指出實(shí)際泡沫金屬的多孔結(jié)構(gòu)在各向存在顯著差異。Gong 等[8]將沿泡沫結(jié)構(gòu)拉伸方向與其垂直方向的胞徑比定義為各向異性率，發(fā)現(xiàn)泡沫金屬各向異性率最高可達(dá)1.46。Perrot等[9]以泡沫孔胞最大尺寸與最小尺寸之比表征孔胞形變程度，并證實(shí)了基于該方法可以對(duì)孔胞幾何參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。此外，Jang 等[10]和Manonukul 等[11]的研究結(jié)果均表明，實(shí)際泡沫金屬孔隙結(jié)構(gòu)不滿足各向同性結(jié)構(gòu)假設(shè)。實(shí)際上，受重力、黏度等因素影響，泡沫金屬在制備過程中往往會(huì)在重力方向存在一定程度拉伸形變，即其多孔結(jié)構(gòu)在各向存在固有差異[12]，進(jìn)而會(huì)導(dǎo)致泡沫金屬各向?qū)崽匦圆町愶@著。Bodla 等[13]數(shù)值計(jì)算了沿泡沫金屬三個(gè)主要方向的平均ETC，發(fā)現(xiàn)沿不同方向的ETC 計(jì)算結(jié)果間相對(duì)偏差可達(dá)15%。Kumar 等[14]定向拉伸了Kelvin 十四面體以模擬實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)形變，結(jié)果表明定向拉伸泡沫孔胞將增大該向ETC。Zafari 等[15]和Iasiello等[16]基于計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)數(shù)值重構(gòu)了泡沫金屬孔隙結(jié)構(gòu)，進(jìn)而通過直接數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)：泡沫金屬ETC 取決于計(jì)算所沿的方向。以上分析表明，現(xiàn)有建立在各向同性基礎(chǔ)上的ETC 理論預(yù)測(cè)模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的顯著偏差，可歸因于已有模型未能納入實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)定向形變影響。

鑒于此，本文將通過理論分析引入一個(gè)可考慮泡沫結(jié)構(gòu)定向形變影響的導(dǎo)熱形狀因子（m），并基于文獻(xiàn)報(bào)道的大量ETC 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)m 進(jìn)行計(jì)算和分析。進(jìn)而，通過導(dǎo)熱直接數(shù)值模擬建立m 與泡沫金屬孔胞定向形變參數(shù)（即沿泡沫金屬宏觀傳熱方向與其垂直方向的胞徑比）間的關(guān)聯(lián)，形成定向預(yù)測(cè)ETC 的新方法。最后通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并將該方法與已有基于各向同性泡沫結(jié)構(gòu)假設(shè)的ETC 理論模型作對(duì)比，以凸顯其用于預(yù)測(cè)實(shí)際泡沫金屬ETC的優(yōu)勢(shì)。

1 泡沫金屬導(dǎo)熱形狀因子

1.1 導(dǎo)熱形狀因子

首先，任取一個(gè)孔隙率為ε、體積為VCV的控制體[包括金屬骨架（將其簡(jiǎn)化為矩形，體積為Vs）與其孔隙內(nèi)填充介質(zhì)部分]做分析（圖1）。該控制體上下端面（面積為ACV，間距為L(zhǎng)CV）存在恒定溫差（T1-T2），故其宏觀傳熱方向?yàn)樨Q直向下。為考慮實(shí)際泡沫金屬多孔骨架迂曲變化效應(yīng)，假設(shè)骨架相對(duì)控制體內(nèi)宏觀熱流方向發(fā)生傾斜，傾斜角度為θ（θ 表征實(shí)際多孔泡沫結(jié)構(gòu)沿控制體宏觀傳熱方向的形變程度，其變化范圍為0°～90°）。

如圖1 所示，泡沫骨架長(zhǎng)度Ls與橫截面積As分別為

圖1 泡沫金屬控制體示意圖Fig.1 Schematic diagram of the control volume of metal foam

進(jìn)而基于傅里葉導(dǎo)熱定律，可推得金屬骨架定向ETC（keff,s）[17]為：

式中，ks為金屬骨架熱導(dǎo)率。由于定溫邊界條件下泡沫骨架與填充介質(zhì)間導(dǎo)熱可忽略不計(jì)[18]，易得填充介質(zhì)部分定向ETC（keff,f）為：

式中，kf為填充介質(zhì)熱導(dǎo)率。綜合式（3）和式（4），最終可得整個(gè)控制體定向ETC為：

由式（5）可知，cos2θ 即為本文所提出的導(dǎo)熱形狀因子。令m=cos2θ，可得：

需要指出，理想泡沫金屬（各向均勻同性，且各元胞幾何結(jié)構(gòu)完全相似）θ 值保持恒定，即其導(dǎo)熱形狀因子為確定參數(shù)（記為m0）?？紤]到實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)在各向存在固有差異，下面將基于文獻(xiàn)報(bào)道的大量ETC 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過式（6）對(duì)相應(yīng)m 進(jìn)行計(jì)算、分析，以揭示其變化規(guī)律。

1.2 基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的導(dǎo)熱形狀因子分析

基于式（6），通過給定泡沫金屬樣品的keff、ε、kf和ks數(shù)據(jù)，即可求得文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)m值。圖2 所示為m 隨泡沫金屬內(nèi)不同填充介質(zhì)（包括空氣、水以及石蠟）的變化。由圖2 可見，僅改變填充介質(zhì)，m變化可忽略。顯然，由于泡沫金屬本身結(jié)構(gòu)不受填充介質(zhì)影響，因此m 亦不會(huì)受其影響，同時(shí)也驗(yàn)證了m作為導(dǎo)熱形狀因子的合理性。

圖2 不同填充介質(zhì)時(shí)m的變化Fig.2 Variations of m with the filling media

圖3 不同孔隙率、孔密度時(shí)m的變化Fig.3 Variations of m with the porosity and pore density

圖3 給出了m 隨泡沫金屬孔隙率和孔密度的變化。由圖可見，孔隙率或孔密度的變化均會(huì)對(duì)m 產(chǎn)生明顯影響；且m 隨孔隙率、孔密度的變化呈現(xiàn)出顯著的隨機(jī)波動(dòng)現(xiàn)象，并無固定趨勢(shì)或規(guī)律可循。事實(shí)上，泡沫金屬結(jié)構(gòu)難以由基于統(tǒng)計(jì)平均的孔隙率和孔密度參數(shù)完全確定，因此其m 值即使在相同孔隙率和孔密度時(shí)亦會(huì)存在不確定性波動(dòng)。此外，不同實(shí)驗(yàn)中樣品測(cè)定方向未統(tǒng)一，亦會(huì)造成m 計(jì)算結(jié)果的不同程度變化。需要指出，已有研究大都認(rèn)為泡沫金屬導(dǎo)熱特性受孔隙率影響顯著而受孔密度影響較小，但基于m 的分析則證實(shí)，孔密度對(duì)導(dǎo)熱亦有不可忽略的影響，值得學(xué)界予以重視。

圖4 進(jìn)一步匯總了基于大量ETC 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（涵蓋不同材質(zhì)、孔隙率與孔密度的泡沫金屬樣品）計(jì)算所得m 值。由圖可見，不同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的m 隨機(jī)波動(dòng)現(xiàn)象十分突出。故結(jié)合前述分析可知，對(duì)于任意泡沫金屬樣品，僅知其材質(zhì)與孔隙率、孔密度參數(shù)，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其ETC，須進(jìn)一步納入實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)定向形變影響。為此，本文提出了基于導(dǎo)熱形狀因子定向預(yù)測(cè)泡沫金屬ETC的新方法。

圖4 基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[3,13,21-28]計(jì)算所得m波動(dòng)變化Fig.4 Fluctuations of m calculated on a basis of a large amount of experimental data[3,13,21-28]

2 泡沫金屬ETC定向預(yù)測(cè)

鑒于泡沫金屬定向形變效應(yīng)對(duì)其導(dǎo)熱的重要影響，本部分首先引入表征實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)形變的定向形變參數(shù)Ψ（定義為沿泡沫金屬宏觀傳熱方向與其垂直方向的胞徑比）。進(jìn)而，通過導(dǎo)熱直接數(shù)值模擬建立m 與Ψ 間的關(guān)聯(lián)，形成基于導(dǎo)熱形狀因子的定向ETC 預(yù)測(cè)新方法。最后，將該方法應(yīng)用于實(shí)際泡沫金屬樣品ETC 預(yù)測(cè)，并與文獻(xiàn)報(bào)道ETC 預(yù)測(cè)模型做比對(duì)，以驗(yàn)證本文方法的可靠性。

2.1 泡沫金屬代表性單元體數(shù)值重構(gòu)

首先采用圖5所示體心立方結(jié)構(gòu)及其定向形變結(jié)構(gòu)進(jìn)行泡沫金屬代表性單元體數(shù)值重構(gòu)[29]（ε=0.956，其各向孔胞直徑分別為a、b、c，Ψ=b/a）。其中，圖5（a）所示為各向同性泡沫結(jié)構(gòu)；圖5（b）為對(duì)各向同性泡沫結(jié)構(gòu)定向拉伸（這里考慮Y 方向的拉伸，即b＞a，a=c）后所得各向異性泡沫結(jié)構(gòu)。

下面將基于上述代表性單元體對(duì)泡沫鋁-空氣穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題進(jìn)行直接數(shù)值模擬，以建立導(dǎo)熱形狀因子與定向形變參數(shù)間的關(guān)聯(lián)。

2.2 泡沫鋁-空氣穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題與直接數(shù)值模擬

泡沫鋁-空氣（鋁熱導(dǎo)率為202.4 W·m-1·K-1，空氣熱導(dǎo)率為0.0265 W·m-1·K-1）穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題如圖6所示。其中，代表性單元體上下端面（面積為AREV，間距為L(zhǎng)REV）存在恒定溫差（T1-T2），端面間熱流為Q（宏觀導(dǎo)熱沿Y軸負(fù)方向）；此外，其余四個(gè)外表面均為絕熱表面，且泡沫鋁骨架與空氣交界處溫度、熱流保持連續(xù)。

根據(jù)以上條件，進(jìn)一步假設(shè)泡沫鋁和空氣的物性不隨溫度變化，則該純導(dǎo)熱問題能量控制方程為：

圖5 泡沫金屬代表性單元體數(shù)值重構(gòu)[29]Fig.5 The numerical reconstruction of representative elementary volume of metal foam[29]

其邊界條件如下：

上述能量方程由ANSYS FLUENT17.0求解器基于有限體積法在給定邊界條件下數(shù)值求解（采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對(duì)圖6 所示代表性單元體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，經(jīng)網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證后確定網(wǎng)格數(shù)為2481360個(gè)），當(dāng)能量殘差小于10-7時(shí)可認(rèn)為計(jì)算結(jié)果收斂。進(jìn)而根據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律計(jì)算泡沫金屬定向ETC（keff）：

本文通過逐步改變參數(shù)Ψ 以模擬孔胞的定向形變，重復(fù)上述計(jì)算步驟并結(jié)合式（6）即可給出m隨Ψ變化的關(guān)聯(lián)式。

圖6 泡沫鋁-空氣穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題Fig.6 A steady thermal conduction problem of aluminum-air

2.3 導(dǎo)熱形狀因子無量綱準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)式

數(shù)值計(jì)算所得無量綱導(dǎo)熱形狀因子m/m0（對(duì)于各向同性泡沫結(jié)構(gòu)，m0約為0.35[4,22]）隨形變參數(shù)Ψ的變化由圖7 給出。由圖可見，m/m0隨Ψ 增大而遞增，即表明泡沫金屬ETC 隨孔胞拉伸方向形變程度增大而增大。這是因?yàn)槎ㄏ蚶炫菽装麜?huì)減小金屬骨架在該向的迂曲度，也即減小了該向的導(dǎo)熱熱阻，最終表現(xiàn)為m 增大。進(jìn)一步，為便于考量泡沫結(jié)構(gòu)定向形變效應(yīng)對(duì)泡沫金屬導(dǎo)熱特性的影響，本文以最小二乘法擬合建立了導(dǎo)熱形狀因子與定向形變參數(shù)間的無量綱準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)式：

基于式（12），即可進(jìn)一步由式（6）對(duì)實(shí)際泡沫金屬ETC進(jìn)行理論預(yù)測(cè)。

2.4 基于導(dǎo)熱形狀因子的ETC預(yù)測(cè)

為驗(yàn)證本文所提ETC 預(yù)測(cè)方法的可靠性，本節(jié)將基于前述導(dǎo)熱形狀因子對(duì)圖8 所示姚元鵬等[30]實(shí)驗(yàn)中采用的泡沫銅-空氣多孔介質(zhì)樣品（ε=0.942）ETC 進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先在圖8 所示泡沫銅樣品截面圖近似均布地選取16個(gè)泡沫孔胞，測(cè)量樣品沿宏觀傳熱方向與其垂直方向的泡沫孔胞直徑，并計(jì)算形變參數(shù)Ψ。進(jìn)而，由式（12）、式（6）分別確定其導(dǎo)熱形狀因子和等效熱導(dǎo)率。

圖7 m/m0隨定向形變參數(shù)的變化Fig.7 Variation of m/m0 with the directional deformation parameter

本文方法計(jì)算所得ETC、姚元鵬等[30]報(bào)道實(shí)驗(yàn)結(jié)果及已有理論預(yù)測(cè)模型[3-5]所計(jì)算ETC 結(jié)果均匯總于表1。由表1可見，Calmidi等[3]模型、Bhattacharya等[4]模型、Boomsma 等[5]模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[30]間相對(duì)偏差分別為14.27%、16.55%和42%，顯著高于本文基于m 的ETC 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[30]間平均相對(duì)偏差（僅為0.77%）?？梢?，相比基于各向同性結(jié)構(gòu)假設(shè)的理論預(yù)測(cè)模型，本文通過考慮實(shí)際泡沫金屬孔胞形變效應(yīng)影響，顯著提高了ETC預(yù)測(cè)精度。

表1 不同ETC預(yù)測(cè)方法計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差匯總Table 1 Relative deviations between experimental data of ETC and ETC results predicted by different methods

3 結(jié) 論

圖8 文獻(xiàn)[30]實(shí)驗(yàn)所用泡沫銅樣品截面圖（ε=0.942，以空氣為填充介質(zhì)）Fig.8 Sectional view of copper foam sample employed in the experiment of Ref.[30](ε=0.942,with air as filling medium)

（1）m隨泡沫金屬材質(zhì)、孔隙率及孔密度的變化呈現(xiàn)出顯著的隨機(jī)波動(dòng)現(xiàn)象，無固定趨勢(shì)或規(guī)律可循。需注意，與現(xiàn)有研究認(rèn)為泡沫金屬ETC 受孔密度影響較小的結(jié)論不同，基于m 的分析結(jié)果表明，孔密度對(duì)泡沫金屬導(dǎo)熱亦有重要影響。

（2）實(shí)際泡沫結(jié)構(gòu)形變效應(yīng)對(duì)泡沫金屬導(dǎo)熱影響顯著，故對(duì)于實(shí)際樣品，僅由金屬材質(zhì)、孔隙率和孔密度參數(shù)無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其ETC，還需考慮多孔結(jié)構(gòu)定向形變影響。

（3）本文基于導(dǎo)熱形狀因子定向預(yù)測(cè)泡沫金屬ETC 的方法（平均相對(duì)偏差0.77%）相比已有基于各向同性結(jié)構(gòu)假設(shè)的ETC 理論預(yù)測(cè)模型（計(jì)算偏差＞14%）能顯著提高ETC預(yù)測(cè)精度。

符 號(hào) 說 明

A——面積，m2

a——X方向孔胞直徑，m

b——Y方向孔胞直徑，m

c——Z方向孔胞直徑，m

k——熱導(dǎo)率，W·m-1·K-1

L——長(zhǎng)度，m

m——導(dǎo)熱形狀因子

Q——熱流量，W

T——溫度，K

V——體積，m3

ε——孔隙率

θ——泡沫骨架傾斜角度，(°)

下角標(biāo)

CV——控制體

eff——等效

f——填充介質(zhì)

REV——代表性單元體

s——金屬骨架

0——各向同性泡沫結(jié)構(gòu)

1——上端面

2——下端面