基于PCA-FastICA的故障信號(hào)分離識(shí)別方法

張 翔，王紅軍,2,3，彭寶營(yíng),2

(1.北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,北京 100192;2.高端裝備智能感知與控制北京市國(guó)際科技合作基地,北京 100192;3.北京信息科技大學(xué) 現(xiàn)代測(cè)控技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100192)

0 引言

隨著近年來(lái)現(xiàn)代技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)設(shè)備健康管理的要求也越來(lái)越高，但在燃?xì)廨啓C(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)領(lǐng)域，過(guò)程檢測(cè)與故障診斷難度高一直是制約該行業(yè)快速發(fā)展的重要影響因素。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在正常運(yùn)行時(shí)，振動(dòng)信號(hào)會(huì)包含多種成分，包括大量的零件摩擦、設(shè)備振動(dòng)等噪聲信號(hào)。當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)的成分也會(huì)隨之發(fā)生改變，而獲取已經(jīng)發(fā)生變化的振動(dòng)信號(hào)中的故障成分相當(dāng)困難。因此，如何在最短的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確地分析識(shí)別出故障的主要成分成為備受關(guān)注的研究課題。

獨(dú)立成分分析(independent component analysis，ICA)[1]是一種包含高階統(tǒng)計(jì)特性的非線性相關(guān)的成分分析方法，該方法能分離出振動(dòng)信號(hào)中的有效成分。He 等[2]提出在ICA分解原始數(shù)據(jù)之前利用字符串匹配的原理，實(shí)現(xiàn)提取信號(hào)主成分；Han等[3]采用PCA原理對(duì)圖像進(jìn)行二階相關(guān)分析和像素降維處理，再通過(guò)ICA算法分解原始數(shù)據(jù)主要成分；Cui[4]等提出經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)算法與ICA聯(lián)合的方法，通過(guò)EMD分解信號(hào)獲取模態(tài)分量，再利用ICA提取主成分還原信號(hào)，但因?yàn)镋MD存在模態(tài)混疊及端點(diǎn)效應(yīng)等問(wèn)題，最終結(jié)果不是很理想；NUCERA[5]等提出采用變分模態(tài)分解(VMD)算法與ICA相結(jié)合，成功提取故障信號(hào)的模態(tài)分量，但該方法過(guò)于依賴多參數(shù)設(shè)定，也未達(dá)到理想效果；Wang等[6]將PCA 和多尺度分散熵(MDE)結(jié)合，提取部分故障信號(hào)的主成分，采用超球面多類(lèi)支持向量機(jī)進(jìn)行分類(lèi)識(shí)別；Yu等[7]提出利用樣本向量的加權(quán)和迭代更新的權(quán)向量之間的關(guān)系，簡(jiǎn)化了迭代過(guò)程，不需要計(jì)算協(xié)方差矩陣；Wan等[8]利用PCA對(duì)參數(shù)矩陣進(jìn)行降維優(yōu)化以消除冗余信息，將優(yōu)化的低維特征矩陣應(yīng)用于支持向量機(jī)進(jìn)行分類(lèi)訓(xùn)練；Li等[9]利用PCA提取原始數(shù)據(jù)的特征向量，再采用二叉樹(shù)與SVM結(jié)合的多分類(lèi)算法，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)傳感器運(yùn)行故障的診斷。

從現(xiàn)有研究可知，ICA應(yīng)用在低維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中有明顯優(yōu)勢(shì)[1]，然而數(shù)據(jù)維度一旦超過(guò)某一界限[10]，以上方法便很難獲取振動(dòng)信號(hào)的有效主成分。而PCA原理的數(shù)據(jù)降維剛好彌補(bǔ)了ICA的缺點(diǎn)。但傳統(tǒng)PCA在求解協(xié)方差矩陣，特別是在計(jì)算較大維度的矩陣時(shí)會(huì)存在大量的舍入誤差?；诖?，本文采用改進(jìn)的PCA算法對(duì)原始數(shù)據(jù)降維處理，再將處理過(guò)的低維數(shù)據(jù)經(jīng)ICA優(yōu)化分離，獲得故障數(shù)據(jù)主成分。

1 主成分分析

主成分分析(principal component analysis，PCA)[7]利用線性映射變換，將輸入的原始數(shù)據(jù)中眾多相關(guān)變量壓縮融合為少量互不相關(guān)的綜合指標(biāo)(其變量數(shù)目遠(yuǎn)小于原始變量數(shù)目)，從多維數(shù)據(jù)矩陣中獲取主要信息，生成含有盡可能多主要特征的低維矩陣，簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題[11]。

PCA的基礎(chǔ)(x,y)方程為

(1)

式中:系數(shù)αi=(αi1,αi2,…,αim)T(i=1,2,…,k)為協(xié)方差矩陣C中降序排列的第i個(gè)特征值λi對(duì)應(yīng)的特征向量，且αi滿足

(2)

協(xié)方差矩陣C為

(3)

式中:cov(xi,xj)=E[(xi-E(xi))(xj-E(xi))T]；A為方程組的特征矩陣。

計(jì)算特征值的貢獻(xiàn)率c，根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率s來(lái)確定m個(gè)主成分[12]。其中，特征值的貢獻(xiàn)率為

(4)

累計(jì)貢獻(xiàn)率為

(5)

式中n和m為矩陣維度。

2 PCA的缺陷特征優(yōu)化

傳統(tǒng)PCA計(jì)算需要用到特征值，而且需要計(jì)算協(xié)方差矩陣C。當(dāng)原始數(shù)據(jù)維數(shù)較大時(shí)，協(xié)方差矩陣的計(jì)算量很大[13]，且協(xié)方差計(jì)算時(shí)存在舍入誤差。奇異值分解[14](singular value decomposition，SVD)因無(wú)需計(jì)算協(xié)方差矩陣，可以避免舍入誤差，且信號(hào)的重構(gòu)誤差較傳統(tǒng)PCA算法小。鑒于此，用奇異值分解的PCA計(jì)算方法，避免了協(xié)方差矩陣計(jì)算時(shí)的舍入誤差，減少了計(jì)算量。式(3)中的矩陣A由Hankel矩陣[15]生成，其中Hankel矩陣通過(guò)矩陣轉(zhuǎn)換，將一維零均值的離散值a=[a(1)a(2)…a(N)]按照結(jié)構(gòu)要求生成相應(yīng)矩陣。對(duì)任意實(shí)矩陣，其奇異值分解表示為

A=UΣVT

(6)

式中:U=(u1,u2,…,um)為左奇異矩陣；V=(v1,v2,…,vn)為右奇異矩陣，且都屬于正交矩陣;Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)為對(duì)角矩陣，且內(nèi)部奇異值按照由大到小的順序排列，其中r的大小等于min(m,n)。

構(gòu)造對(duì)稱(chēng)矩陣AAT(m×m)，特征值分解形式為

(7)

式中：Q為正交矩陣；λ為特征值。將式(6)代入AAT中，則

AAT=UΣVT(UΣVT)T=UΣVTVΣTUT

(8)

將式(8)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

AAT=UΣΣTUT

(9)

不難發(fā)現(xiàn)

(10)

繼續(xù)推導(dǎo)可得

(11)

從式(7)與式(11)中，可得到

(12)

式中i=1,2,…,m。

綜合以上理論分析可以得出:矩陣AAT的特征值是矩陣A奇異值的平方，A的左奇異向量是AAT的特征向量，而A的右奇異向量是ATA的特征向量。

3 改進(jìn)的PCA-FastICA算法

本文提出的改進(jìn)PCA-FastICA算法步驟如下:

1) 原始信號(hào)PCA降維。首先將信號(hào)用PCA做降維處理，得到降維后的低維信號(hào)x，保留主要成分，然后用奇異值分解求得特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。

2) 歸一化。將低維信號(hào)生成的矩陣中的每一個(gè)元素同時(shí)減去該矩陣的均值，即做歸一化處理，使新生成的矩陣具有零均值特征[16]。

3) 白化。矩陣經(jīng)過(guò)歸一化處理后，低維x使其各成分不相關(guān)且有單位方差，即白化為新向量x′，矩陣AAT的特征值是矩陣A奇異值的平方,A的左奇異向量是AAT的特征向量，此處代替原有的特征值及其向量。

4) 迭代。設(shè)置迭代的最大次數(shù)，收斂的門(mén)限，設(shè)置迭代次數(shù)p[17]。

5) 設(shè)定初始權(quán)向量：

wp←E[zg(wpTz)]-E[g′(wpTz)]wp

(13)

令

(14)

逐次正交化

(15)

PCA-FastICA信號(hào)分離識(shí)別算法流程如圖1所示。

圖1 PCA-ICA流程

4 實(shí)驗(yàn)分析

本文實(shí)驗(yàn)采用某型號(hào)轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)。振動(dòng)傳感器放置在高壓渦輪的機(jī)匣外前側(cè)位置，采樣頻率為2 000 Hz，轉(zhuǎn)速采取由慢速逐漸累加3次的模式進(jìn)行，轉(zhuǎn)速初始設(shè)置為2 000 rad/s，累加到2 500 rad/s、3 000 rad/s，穩(wěn)定運(yùn)行5～10 min，觀察運(yùn)行狀況并采集數(shù)據(jù)。

通過(guò)傳感器測(cè)量收集振動(dòng)傳感器在不同時(shí)刻不同狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)，并根據(jù)本文方法進(jìn)行特征的提取和數(shù)據(jù)降維，導(dǎo)入到ICA算法里實(shí)現(xiàn)信號(hào)的成分分離。實(shí)驗(yàn)中得到的原始信號(hào)時(shí)域、頻譜圖如圖2所示。

從圖2可以看出，頻譜中信號(hào)混雜，包含隨機(jī)噪聲等眾多頻率成分，但不難看出頻譜圖中幅值變化異樣明顯。由于原始信號(hào)的高維特性，主成分提取困難?，F(xiàn)利用改進(jìn)PCA算法對(duì)信號(hào)降維，降低部分噪聲干擾，在保留足夠主要成分的前提下，減少FastICA算法運(yùn)算的復(fù)雜度及計(jì)算量，降維結(jié)果如圖3所示。

圖2原始振動(dòng)信號(hào)

圖3 PCA降維處理結(jié)果

從圖3可以看出，原始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過(guò)PCA降維處理后維度明顯降低，頻譜圖能更清晰地看出振動(dòng)信號(hào)的細(xì)微紋理。

將降維后的數(shù)據(jù)導(dǎo)入改進(jìn)的FastICA算法中進(jìn)行成分分離，低維信號(hào)分離出3個(gè)成分，獲得的各成分?jǐn)?shù)據(jù)的時(shí)域圖、頻譜圖如圖4、5所示。

從圖4中基本無(wú)法看出振動(dòng)信號(hào)的有效波動(dòng)特性,而圖5中可以看出明顯的相對(duì)變化幅度，其在150 Hz和500 Hz附近出現(xiàn)幅值高峰，表明這兩個(gè)位置均出現(xiàn)不同程度的故障。

圖6為普通PCA-FastICA處理的結(jié)果，可明顯看出第1分量上相對(duì)變化不顯著，雖然在第2、第3分量上相對(duì)變化較大，但已經(jīng)失去較多的信息。

分別選取圖5(b)和圖5(c)，圖6(b)和圖6(c)繪制散點(diǎn)圖，結(jié)果如圖7、8所示。從圖中可以明顯看出，本文方法點(diǎn)集較為集中，故障識(shí)別率較高，而普通PCA-FastICA方法的點(diǎn)集呈現(xiàn)長(zhǎng)條狀，故障識(shí)別率較低。

圖4 PCA—ICA分量時(shí)頻圖

圖5 PCA—ICA分量頻譜圖

實(shí)驗(yàn)證明，在高維數(shù)據(jù)樣本中，本文方法運(yùn)算速度更快，故障特征提取效果更好，頻譜圖更能表現(xiàn)故障特征現(xiàn)象，峰值明顯，噪聲控制更好，這是因?yàn)楸疚姆椒ㄔ谟?jì)算中避免了大量的舍入誤差，能更好地展現(xiàn)分離結(jié)果，從而有效識(shí)別故障。

圖6 普通PCA—ICA頻譜圖

圖7 PCA—ICA散點(diǎn)圖

圖8 普通PCA—ICA散點(diǎn)圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了PCA中協(xié)方差矩陣與奇異值分解之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系避免了協(xié)方差矩陣運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)的大量舍入誤差現(xiàn)象，減少了PCA算法的計(jì)算量，降維后的數(shù)據(jù)保留更多的特征向量，使FastICA分解算法更有效地分離原始信號(hào)主成分，改善了分析故障狀態(tài)的有效性，提高了模型運(yùn)算速度，提升了故障識(shí)別率，為進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障機(jī)理特征提供了有效的方法。