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    建立微元模型,巧用動量定理解決四類問題

    2021-04-08 08:04:44張金龍
    求學(xué)·理科版 2021年5期
    關(guān)鍵詞:動量定理柱體鏈條

    張金龍

    微元法是分析解決物理問題的常用方法之一,高中物理教學(xué)中常用的微元法就是數(shù)學(xué)微積分思想的具體應(yīng)用,該方法可將復(fù)雜的物理過程分解為眾多遵循相同規(guī)律的微小“元過程”,再將“元過程”進行累加。但這種方法對學(xué)生的能力要求較高,學(xué)生往往無從下手。本文通過實例分析高中物理中四類運用動量定理結(jié)合微元法處理的典型問題,旨在幫助學(xué)生建立模型,提升物理核心素養(yǎng),提高運用數(shù)學(xué)思維方法解決物理問題的能力。

    一、“柱體模型”的建立與應(yīng)用

    1.“柱體模型”的建立

    “柱體模型”是一種重要的物理模型,即在物理問題中選取某一微小“對象”或“過程”,通過建立一個類似圓柱體的微元,對問題進行分析和研究,是最常見的微元模型之一?!爸w模型”主要適用于具有流動性、連續(xù)性、均勻性等特點的常規(guī)物理問題的解答。

    2.“柱體模型”在“流體”類沖擊力問題中的應(yīng)用

    “流體”類沖擊力問題一般指液體或氣體在空間中連續(xù)而無空隙地分布,并對其他物體施加力的作用,此類問題一般不能將流體當作質(zhì)點來進行研究,通常運用動量定理建立“柱體模型”,取微元作為研究對象,應(yīng)用動量定理求解沖擊力。

    分析思路:在極短時間Δt內(nèi),取一小柱體作為研究對象;求小柱體的體積ΔV=vSΔt;求小柱體的質(zhì)量Δm=ρΔV=ρvSΔt;求小柱體的動量變化ΔP=vΔm=ρv2SΔt;應(yīng)用動量定理FΔt=ΔP。

    【例1】某游樂園入口旁有一噴泉,噴出的水柱將一質(zhì)量為m的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中,為計算方便起見,假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出,玩具底部為平板(面積略大于S),水柱沖擊到玩具底板后,在豎直方向水的速度變?yōu)榱悖谒椒较虺闹芫鶆蛏㈤_,忽略空氣阻力。已知水的密度為ρ,重力加速度大小為g,求:(1)噴泉單位時間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量;(2)玩具在空中懸停時,其底面相對于噴口的高度。

    【解析】(1)設(shè)任意極短時間Δt內(nèi),從噴口噴出的水的體積為ΔV,質(zhì)量為Δm=ρΔV=ρv0SΔt,單位時間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量為=ρv0S。

    (2)設(shè)玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h,水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為v,對于Δt時間內(nèi)噴出的水,由機械能守恒得(Δm)v2+(Δm)gh=(Δm)v02。在h高度處,Δt時間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為ΔP=Δmv,設(shè)水對玩具的作用力的大小為F,根據(jù)動量定理有FΔt=Δρ,由于玩具在空中懸停,由力的平衡條件得F=mg,解得h =- 。

    【解題錦囊】對于“流體”類沖擊力問題,常用微元法隔離出部分流體建立“柱體模型”作為研究對象(解決此類問題的難點),再運用動量定理列式求解,解題過程中也可能涉及牛頓運動定律或功能關(guān)系等。

    3.“柱體模型”在“鏈條”類沖擊力問題中的應(yīng)用

    “鏈條”類沖擊力問題一般指柔軟鏈條(或細繩)在自由下落或提起的過程中,對地面或接觸物體產(chǎn)生沖擊,對地面的壓力一般與鏈條的質(zhì)量、鏈條在空中的長度及當?shù)氐闹亓铀俣鹊扔嘘P(guān),解決此類問題時注意將落地或離地前的一小段鏈條當作微元處理,應(yīng)用動量定理即可求解。

    分析思路:

    (1)在極短時間Δt內(nèi),取即將落地的一小段鏈條微元Δx為研究對象。

    (2)求鏈條微元的質(zhì)量Δm=λΔx(λ表示鏈條的線密度)。

    (3)求鏈條微元的動量變化ΔP=vΔm=λvΔx。

    (4)根據(jù)動量定理FΔt=ΔP可得沖擊力F==λv=λv2。

    【例2】一根長度為L、質(zhì)量為m的勻質(zhì)鏈條被豎直懸掛起來,其最低端剛好與水平面接觸,將鏈條由靜止釋放,讓它落到水平地面上,求鏈條下落長度為x時對水平面的壓力。

    【解析】設(shè)鏈條的線密度為λ=,經(jīng)過時間t后落在水平面上鏈條的長度為x,未到達水平面部分鏈條的速度為,鏈條落至地面后速度立即減為零。從t時刻起取很小一段時間Δt,在Δt時間內(nèi)有Δm=λΔx段鏈條落到地面后靜止,根據(jù)動量定理有(F-Δmg)Δt=-Δmv,因為Δmg·Δt≈0,所以F=-=-λv2=-2gλx,負號表示力的方向豎直向上,已經(jīng)落至地面的鏈條對水平面的壓力為gλx,所以鏈條下落長度x時對水平面的壓力N=2gλx+gλx=3gλx=。

    【解題錦囊】對于鏈條或輕繩等物體,如果參與運動的部分逐漸變化(增加或減?。\動物體的質(zhì)量將發(fā)生變化,所以此類問題屬于變質(zhì)量問題,解題中注意取一小段鏈條微元為研究對象,建立柱體模型,應(yīng)用動量定理列式求解。此類問題在訓(xùn)練學(xué)生思維時可達到非常好的效果。

    4.“柱體模型”在“微粒連續(xù)作用”類沖擊力問題中的應(yīng)用

    微粒及其特點:(1)微粒常指電子流、光子流、微塵等;(2)①質(zhì)量具有獨立性,②已知單位體積內(nèi)的粒子數(shù)n。

    分析思路:(1)建立“柱體模型”:沿運動的方向選取一段微元,柱體的截面積為S。

    (2)研究微元粒子數(shù):作用時間Δt內(nèi)的一段微元柱體的長度為Δl=vΔt,柱體體積ΔV=SvΔt,柱體內(nèi)的粒子數(shù)N=nSvΔt,其中n為單位體積內(nèi)粒子數(shù)。

    (3)先對單個微粒應(yīng)用動量定理,建立方程,再乘以N計算。

    【例3】飛船在飛行過程中有很多技術(shù)問題需要解決,其中之一就是當飛船進入宇宙微粒塵區(qū)時如何保持飛船速度不變的問題,我國科學(xué)家已將這一問題解決。假如有一宇宙飛船,它的正面面積為S=0.98 m2,以v=2×103 m/s的速度進入宇宙微粒塵區(qū),塵區(qū)每1 m3空間有一微粒,每一微粒平均質(zhì)量m=2×10-4g,若要使飛船速度保持不變,飛船的牽引力應(yīng)增加多少?(設(shè)微粒與飛船相碰后附著到飛船上)

    【解析】由于飛船速度保持不變,因此增加的牽引力應(yīng)與微粒對飛船的作用力相等,據(jù)牛頓第三定律知,此力也與飛船對微粒的作用力相等。只要求出時間t內(nèi)微粒的質(zhì)量,再由動量定理求出飛船對微粒的作用力,即可得到飛船增加的牽引力。時間t內(nèi)附著到飛船上的微粒質(zhì)量為m1=mSvt,設(shè)飛船對微粒的作用力為F,由動量定理得Ft=mv=mSvt·v,即F=mSv2,代入數(shù)據(jù)解得F=0.784 N。由牛頓第三定律得,微粒對飛船的作用力為0.784 N,故飛船的牽引力應(yīng)增加0.784 N。

    【解題錦囊】解決微粒連續(xù)作用類問題的關(guān)鍵是沿運動方向選取微元建立“柱體模型”,確定微元柱體中微粒的個數(shù),再根據(jù)動量定理列式結(jié)合其他物理規(guī)律進行求解。以上例題和變式訓(xùn)練就是此類問題在生活中非常典型的應(yīng)用,注意構(gòu)建模型,將實際問題進行轉(zhuǎn)化。

    二、“微元段模型”的建立與應(yīng)用

    1.“微元段模型”的建立

    “微元段模型”也屬于一種微元模型,在導(dǎo)體棒切割磁感線類電磁感應(yīng)過程中,常會出現(xiàn)非勻變速運動,涉及求位移、電荷量及能量等問題。由于安培力與速度相互關(guān)聯(lián)、相互影響,因此電磁感應(yīng)中的非勻變速運動問題用常規(guī)動力學(xué)方法往往難以解決。靈活運用微元思想,將運動過程隨時間變化分割成“微元段”,可以幫助我們深刻理解物理過程,運用數(shù)學(xué)方法進而使問題得解。

    2.“微元段模型”在電磁感應(yīng)中的變力作用問題中的應(yīng)用

    如圖1所示,水平放置的兩根間距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌,左端連接電阻R,其間有垂直于導(dǎo)軌平面向下的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B,導(dǎo)軌上有質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒以初速度v0自由向右滑動,導(dǎo)體棒及金屬導(dǎo)軌電阻不計。導(dǎo)體棒運動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv,回路中的感應(yīng)電流I==,受到的合外力F=F安=BIL,即-=ma,導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運動,v-t圖像如圖2所示,最終導(dǎo)體棒靜止。

    (1)整個過程中導(dǎo)體棒的位移:v-t圖像與橫坐標所圍成的面積表示位移Δx=vΔt,取非常小的時間段Δt為一個微元過程,vi表示Δt時間間隔內(nèi)的平均速度,根據(jù)牛頓第二定律有-=m,變形得到整個過程中動量定理表達式-viΔt=mΔv,即-Δx=m(v0),對整個過程累加后得x=mv0,所以整個過程中導(dǎo)體棒的位移x=。

    (2)整個過程中通過導(dǎo)體棒橫截面的電荷量:取Δt時間段為一個微元過程,Δq=IiΔt,根據(jù)牛頓第二定律有-BIiL=m,變形得到整個過程中動量定理表達式-BL IiΔt=mΔv,即-BLq=m(0-v0),所以整個過程中通過導(dǎo)體棒橫截面的電荷量q=。

    【例4】如圖3所示,同一水平面上固定兩根間距為L、足夠長的平行光滑導(dǎo)軌PQ和MN,QN端接阻值為R的定值電阻,整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中。一個質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒以平行于導(dǎo)軌的初速度v0開始向左運動,經(jīng)過位移s停下,棒始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好,其他電阻忽略不計,求:(1)磁感應(yīng)強度B的大小;(2)導(dǎo)體棒滑過位移時受到的安培力F。

    【解析】(1)導(dǎo)體棒運動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv,回路中的電流I==,導(dǎo)體棒受到的安培力為F安=BIL=,從導(dǎo)體棒開始運動經(jīng)過非常短的時間Δt的過程中,根據(jù)動量定理有-=mv-mv0,整個過程全部累加起來得-=-mv0,由此可知磁感應(yīng)強度B= 。

    (2)根據(jù)動量定理有-=mv-mv0,當導(dǎo)體棒滑過位移時,對過程累加得-=mv-mv0,代入磁感應(yīng)強度B可得速度v=,導(dǎo)體棒受到的安培力F==。

    【解題錦囊】導(dǎo)體棒切割磁感線的過程中,因?qū)w棒速度變化導(dǎo)致安培力變化,導(dǎo)體棒所受的合外力變化,加速度變化,導(dǎo)體棒將做非勻變速運動。對于此類問題,注意化“變”為“恒”,將整個變力作用過程分解為眾多微小的元過程,運用動量定理列式,再進行累加進而將問題解決。此類變力作用問題在歷年高考中常在選擇題和計算壓軸題中出現(xiàn),所以同學(xué)們在備考中應(yīng)予以重視并熟練掌握。

    三、總結(jié)

    微積分對高考理科學(xué)生來說是必考點,從2017年起,動量定理也成為理綜全國卷的必考點,試題難度穩(wěn)步提升。動量定理結(jié)合微元法在解決流體類問題和變力作用模型中展現(xiàn)了極強的優(yōu)越性,此類問題能夠全面體現(xiàn)并考查物理科學(xué)思維核心素養(yǎng),但需要較高的知識整合能力和思維能力,所以同學(xué)們在高考備考當中應(yīng)足夠重視。

    (本文系“甘肅省教育科學(xué)‘十三五規(guī)劃2020年度一般課題”,課題名稱:基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中學(xué)數(shù)學(xué)建模單元化教學(xué)的實踐研究。課題立項號:GS〔2020〕GHB3056。)

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