基于混合數(shù)學(xué)模型的氣路靜電傳感器靈敏度特性分析

張寅 胡宇 孫振生 張豪 周偉

摘要：航空發(fā)動機氣路顆粒物靜電信號及變化規(guī)律的準(zhǔn)確表征是實現(xiàn)氣路靜電傳感器設(shè)計及靜電信號監(jiān)測的理論基礎(chǔ)。針對目前靜電感應(yīng)數(shù)學(xué)模型簡化條件不合理導(dǎo)致模型精度不高的問題，從棒狀靜電傳感器結(jié)構(gòu)分析出發(fā)，在推導(dǎo)側(cè)面和上下底面感應(yīng)電荷數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了靜電感應(yīng)混合數(shù)學(xué)模型，利用該數(shù)學(xué)模型對靜電傳感器靜態(tài)和動態(tài)靈敏度進(jìn)行了分析。分析結(jié)果表明，感應(yīng)電荷與靜電顆粒物的電荷量大小、空間位置、運動特性有關(guān)。傳感器長度越長，過傳感器底面投影中心方向靜態(tài)靈敏度越強，在底面投影面內(nèi)幾乎相等；沿傳感器軸線距側(cè)面等距位置從上底面到下底面靜態(tài)靈敏度先逐漸增大，然后趨于平穩(wěn)，最后再減?。粋鞲衅鞯酌嬷睆皆酱?，經(jīng)過傳感器底面投影中心方向的靜態(tài)靈敏度越大；不同速度的顆粒在荷電量一致的前提下，其產(chǎn)生的感應(yīng)電荷幅值相同，速度越快的顆粒輸出信號頻帶越窄。運動速度快的顆粒產(chǎn)生的感應(yīng)電荷多，其產(chǎn)生的感應(yīng)電荷變化率的幅值隨著顆粒速度的增大而增大。這將為航空發(fā)動機氣路靜電傳感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和部件故障診斷提供理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：航空發(fā)動機；靜電傳感器；數(shù)學(xué)模型；靜電感應(yīng)；靈敏度

中圖分類號：V231.25文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.02.003

基金項目：國家自然科學(xué)基金重大專項（91952110）；國家自然科學(xué)基金（51905540）；西安市科技計劃項目（201805048YD26CG32（2））；陜西省自然科學(xué)基金（2020JM-359）

航空發(fā)動機內(nèi)流場屬于超稀相氣固兩相流，在燃油燃燒的過程中，將產(chǎn)生帶電離子以及固相顆粒物，加上不完全燃燒產(chǎn)生的碳煙顆粒，或渦輪葉片碰摩產(chǎn)生的金屬顆粒等一起構(gòu)成了氣路顆粒成分，這些氣路產(chǎn)物在高溫高壓、劇烈燃燒和高速運動的條件下使顆粒物荷電[1-4]。發(fā)動機靜電在線監(jiān)測技術(shù)是基于靜電感應(yīng)原理，通過靜電傳感器采集航空發(fā)動機燃?xì)庵蓄w粒物所攜帶的靜電信號并進(jìn)行分析處理，進(jìn)而為發(fā)動機及氣路系統(tǒng)工作狀態(tài)評估與健康狀態(tài)在線監(jiān)測提供新的方法手段[5-6]。

靜電信號的準(zhǔn)確采集與表征是實現(xiàn)航空發(fā)動機氣路靜電在線監(jiān)測的基礎(chǔ)。為實現(xiàn)對氣路靜電信號的有效采集，國內(nèi)外學(xué)者設(shè)計了不同類型的靜電傳感器，目前主要分為侵入式和非侵入式兩種類型。侵入式主要包括棒狀傳感器[7]和立體網(wǎng)狀傳感器[8]，這些傳感器結(jié)構(gòu)簡單，同時由于其有效敏感區(qū)域較小，將其分布在不同位置，能夠有效監(jiān)測到各個位置的靜電信號而避免較遠(yuǎn)位置荷電顆粒的干擾，從而獲取顆粒的速度及分布，但是因為與流場存在直接接觸，對流場有一定的擾動；非侵入式傳感器包括環(huán)狀傳感器[9]、陣列傳感器[10]和共軸喇叭式傳感器[11]等，這些傳感器靈敏度較高，對流場無干擾，但是傳感器采集的靜電信號反映了整個發(fā)動機尾氣中的顆粒荷電情況，對于氣路中心區(qū)域的荷電顆粒敏感度低。

無論是侵入式傳感器還是非侵入式傳感器，都要求能夠?qū)φ麄€流場內(nèi)顆粒靜電信號及變化規(guī)律能夠盡可能地準(zhǔn)確采集與分析，因此，需要深入理解和掌握不同傳感器設(shè)計狀態(tài)對流場內(nèi)顆粒物靜電信號采集表征的特點和規(guī)律。為了摸清顆粒靜電感應(yīng)的特點規(guī)律，國內(nèi)外學(xué)者主要是通過建立不同類型傳感器靜電感應(yīng)模型來進(jìn)行分析。J.B.Gajewski[12]，Yan Yong[13]，S.N. Murnane[14]等學(xué)者建立了環(huán)狀傳感器的數(shù)學(xué)模型，但在這些模型建立過程中，假設(shè)絕緣層和探極電勢為零不太符合實際情況，而且建立的數(shù)學(xué)模型求解也比較困難。殷逸冰[15]在此基礎(chǔ)上對發(fā)動機吸入顆粒物進(jìn)行分析時，建立了簡化的環(huán)狀傳感器的感應(yīng)模型。黃文杰[16]詳細(xì)介紹了靜電感應(yīng)模型的建立流程，給出了點電荷在運動過程中的傳感器輸出的感應(yīng)電壓求解公式。環(huán)狀傳感器主要能夠感應(yīng)到氣路中總體的靜電水平，對氣路中心區(qū)域靈敏度較低，主要應(yīng)用在航空發(fā)動機氣路顆粒物整體靜電水平監(jiān)測。棒狀傳感器存在靈敏區(qū)域小、在局部范圍內(nèi)靈敏度較高的特點，適用于局部靜電水平監(jiān)測，但可通過合理布置多個傳感器實現(xiàn)流場區(qū)域整體靜電水平的在線監(jiān)測。對于棒狀傳感器，文振華[17]基于有限元方法，利用有限元仿真軟件分析了傳感器的靈敏度，但沒有給出傳感器感應(yīng)電荷定量的具體表達(dá)式，難以對感應(yīng)電荷量及影響規(guī)律進(jìn)行定量分析；闞哲[18]在建立靜電感應(yīng)模型時將傳感器簡化為二維平面結(jié)構(gòu)，未考慮傳感器上下底面也可以產(chǎn)生靜電感應(yīng)信號，并且在計算靜電感應(yīng)電場強度時直接以點電荷產(chǎn)生的靜電感應(yīng)強度來替代，沒有投影到垂直于傳感器表面方向，因此模型計算的結(jié)果往往難以準(zhǔn)確反映真實靜電感應(yīng)情況；殷逸冰[19]在建模過程中雖然考慮了側(cè)面和一個底面的靜電感應(yīng)情況，但只是在特定的范圍內(nèi)時該情況才成立，并且對真實的靜電感應(yīng)情況做了一定的簡化。

針對目前靜電感應(yīng)建模過程中存在的傳感器感應(yīng)面考慮不全面、感應(yīng)電場強度替代不合理的問題，為了摸清靜電傳感器的感應(yīng)特性規(guī)律，本文充分考慮了傳感器表面的靜電感應(yīng)規(guī)律，以點電荷垂直于感應(yīng)面表面的電場強度分量為變量，基于高斯定理分別推導(dǎo)傳感器每個面的感應(yīng)電荷表達(dá)式，將其疊加得到棒狀傳感器的混合數(shù)學(xué)模型。然后利用靜電混合數(shù)學(xué)模型，通過仿真計算，分析對棒狀傳感器靜電感應(yīng)特性的影響因素，對傳感器的靈敏度特性進(jìn)行定量分析，為傳感器的優(yōu)化設(shè)計提供了理論支撐。

1靜電傳感器混合數(shù)學(xué)模型的建立

目前，航空發(fā)動機氣路顆粒物在線靜電監(jiān)測主要分為兩種方式：進(jìn)氣顆粒在線監(jiān)測和尾流顆粒在線監(jiān)測。本文主要考慮尾流顆粒在線監(jiān)測這種方式，傳感器類型采用棒狀傳感器，并建立如圖1所示的坐標(biāo)系，以尾噴管遠(yuǎn)點為原點，以顆粒流動方向為x軸，以水平垂直于x軸的直線為y軸?？紤]到傳感器探級表面均產(chǎn)生感應(yīng)電荷，靜電感應(yīng)數(shù)學(xué)模型建立過程中必須考慮傳感器所有感應(yīng)面。根據(jù)棒狀傳感器結(jié)構(gòu)特點，分別對側(cè)面和上下底面進(jìn)行微元劃分，在利用高斯定理推導(dǎo)得出各個面的感應(yīng)電荷表達(dá)式，最后將側(cè)面和上下底面感應(yīng)電荷表達(dá)式疊加，得到本文的混合數(shù)學(xué)模型。

2傳感器靈敏度特性分析

為了驗證不同顆粒物荷電特性、運動特性以及傳感器形狀對靜電感應(yīng)信號表征的影響，本文采用分析傳感器靈敏度特性的方法。本文的靈敏度特性分析是基于單個帶電顆粒在不同的位置以及不同的運動狀態(tài)下，在傳感器上感應(yīng)出的電荷多少。雖然在實際的發(fā)動機尾氣中，荷電顆粒物是處在不同的流態(tài)下，但是靜電傳感器上的感應(yīng)電荷是氣路流場中每一個荷電顆粒產(chǎn)生的感應(yīng)信號的疊加，因此掌握單個荷電顆粒在傳感器上產(chǎn)生感應(yīng)電荷的規(guī)律是對不同流態(tài)下荷電顆粒產(chǎn)生的感應(yīng)電荷分布規(guī)律進(jìn)行分析的基礎(chǔ)。所以通過分析單個電荷在傳感器上產(chǎn)生感應(yīng)電荷的能力和影響因素，就能夠得到傳感器感應(yīng)電荷的規(guī)律和靈敏度特性。

由于氣路流場的三維結(jié)構(gòu)，在靈敏度分析過程中必須考慮到氣路流場的空間特性與顆粒運動特點。以傳感器上底面圓心為原點，豎直向下為z軸正方向建立坐標(biāo)系，如圖7所示。首先分析影響靜態(tài)靈敏度，因為傳感器是旋轉(zhuǎn)對稱體，那么其靈敏度空間分布也是對稱的，在xoy平面上的任一點到傳感器中心位置相等，其靈敏度也是相同的。因此選定荷電顆粒三個具有代表性的空間運動軌跡，來分析傳感器長度和直徑對靈敏度的影響規(guī)律。選定的空間運動軌跡分別是：一是沿x軸運動，軌跡過傳感器中心，如圖7中軌跡1所示；二是沿x軸運動，軌跡過傳感器底面投影的中心，如圖7中軌跡2所示；三是顆粒沿z軸方向運動，如圖7軌跡3所示。下面分別對靜電傳感器的靜態(tài)靈敏度和動態(tài)靈敏度進(jìn)行分析。

2.1傳感器靜態(tài)靈敏度特性分析

傳感器靜態(tài)靈敏度的影響因素主要是傳感器本身的長度和底面直徑等，因此結(jié)合本文提出的混合數(shù)學(xué)模型，分別從傳感器長度和底面直徑分析對靈敏度的影響。

（1）傳感器長度對靜態(tài)靈敏度影響

選取長度為4cm、8cm、10cm，直徑為1.6cm的傳感器為研究對象，傳感器靈敏度仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。圖8為荷電顆粒沿平行于x軸方向沿傳感器中心線運動時，各個點位的靈敏度。圖8表示當(dāng)顆粒從x=0.8cm處即傳感器表面由近到遠(yuǎn)時運動時，其靈敏度逐漸減小，不同長度傳感器總體變化趨勢相同，長度較短的傳感器靈敏度變化速率較快。

圖9為荷電顆粒沿距底面1cm、平行于x軸方向運動時靈敏度分布情況，不同長度傳感器靈敏度變化的總體趨勢是隨著距離傳感器距離由遠(yuǎn)及近再變遠(yuǎn)，靈敏度先變大再減小，在傳感器正下方時，各個長度傳感器在此位置達(dá)到靈敏度峰值。不同長度的傳感器相比而言，長度較長的傳感器，相對于長度較短的傳感器在同一位置處具有較高的靈敏度。

圖10給出了顆粒由傳感器下底面運動到上底面過程中傳感器靈敏度變化情況。運動時顆粒到傳感器表面距離為1cm，傳感器底面直徑不變時，隨著傳感器長度加長，在距離傳感器表面相同位置處的靈敏度分布逐漸平穩(wěn)，隨著傳感器長度變大傳感器靈敏度的平穩(wěn)區(qū)域逐漸變大。

圖11表示荷電顆粒在通過距下底面1cm處時，傳感器上底面、側(cè)面、下底面等三個面產(chǎn)生的靈敏度對比圖。三個面的靈敏度都是隨著x先增大再下降，靈敏度變化率在-5～0cm之間時，下底面增長最快，側(cè)面次之，底面最慢。靈敏度在傳感器底面中心位置達(dá)到最大值，下底面為0.11，側(cè)面為0.034，上底面為0.009。從圖9～圖11的對比可以看出，在荷電顆粒分別距底面和側(cè)面1cm處運動時，荷電顆粒在不同空間軌跡運動時，傳感器各個表面都會因靜電感應(yīng)而產(chǎn)生荷電。當(dāng)荷電顆粒沿x方向通過傳感器下底面時，下底面的靈敏度大于側(cè)面和上底面。因此在建立傳感器靜電感應(yīng)數(shù)學(xué)模型時，考慮傳感器底面的靜電感應(yīng)是十分必要的。

（2）傳感器底面直徑對靈敏度影響

選取底面直徑為0.4cm、0.8cm、1.6cm，長度為8cm的傳感器進(jìn)行分析，分析結(jié)果如圖12和圖13所示。圖12給出了荷電顆粒沿過傳感器中心線平行于x軸運動，從貼近傳感器側(cè)面到遠(yuǎn)離傳感器側(cè)面的過程中，靈敏度逐漸降低。

圖13給出了顆粒沿距底面2cm平行于x軸方向運動時，傳感器各點靈敏度變化情況。在其他條件保持一致的前提下，隨著底面直徑增大，傳感器靈敏度就越大。

圖14和圖15給出了不同底面直徑下，距離傳感器側(cè)表面1cm、2cm處靈敏度隨傳感器長度變化情況，當(dāng)傳感器長度達(dá)到一定大小后傳感器在該位置的靈敏度不再發(fā)生明顯改變。因此可以通過這一結(jié)論確定傳感器的最優(yōu)長度應(yīng)大于8cm。而最優(yōu)直徑的確定可以通過粒子群優(yōu)化算法，在確定最優(yōu)長度之后，尋找最優(yōu)長徑比，結(jié)合傳感器對流場的影響，來確定最優(yōu)直徑。綜上所述，氣路靜電傳感器長8cm、直徑3.8mm時，能夠獲取最有效的顆粒靜電感應(yīng)信號，這為氣路傳感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供有效理論方法。

2.2傳感器動態(tài)靈敏度特性分析

前面分析了傳感器的結(jié)構(gòu)尺寸對靜態(tài)靈敏度的影響，但是不同的荷電顆粒物和顆粒物具有的不同的運動特性也會影響到傳感器的信號輸出，因此需要從顆粒特性和運動特性運動的角度來對傳感器對顆粒靜電感應(yīng)信號分辨能力進(jìn)行仿真分析，及對傳感器動態(tài)靈敏度進(jìn)行仿真分析。

在進(jìn)行仿真時，傳感器長度設(shè)為8cm，底面直徑為0.8cm，假設(shè)顆粒荷電量相同，均為1C，顆粒以不同的速度經(jīng)過距離傳感器下底面1cm處，其感應(yīng)電荷變化情況如圖16和圖17所示，不同速度的顆粒在荷電量一致的前提下，其產(chǎn)生的感應(yīng)電荷幅值并未發(fā)生改變，但頻帶寬度發(fā)生明顯變化，即速度越快的顆粒其頻帶越窄；圖16為電荷變化量隨時間變化圖，速度較低的荷電顆粒其電荷變化率幅值較低，頻帶較寬，速度越大，其幅值越大，變化越劇烈。

實際上在相同的流場條件下，不同顆粒種類和顆粒直徑將會直接導(dǎo)致其荷電量有所差異，顆粒運動速度也會有所不同。通過前期仿真分析，顆粒直徑100μm時，運動速度大約為20m/s；顆粒直徑約為40μm時，運動速度大約為80m/s；顆粒直徑約為10μm時，運動速度是大約為160m/s；設(shè)10μm的顆粒荷電量為1C時，20m/s、80m/s的顆粒對應(yīng)的荷電量依次為4C、10C[17]。通過混合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算得到單個電荷運動過程中電荷量及其變化率與時間關(guān)系如圖18和圖19所示。

從圖18可知，顆粒荷電量越多，產(chǎn)生的感應(yīng)電荷越多。從圖19可以明顯看出，感應(yīng)電荷越多，其感應(yīng)電荷變化率的幅值不一定越大，它還取決于顆粒本身運動速度。但是速度越大，電荷變化率的頻帶越寬的規(guī)律保持不變。因此，根據(jù)靜電信號對不同直徑顆粒物判別，需要綜合荷電量和速度兩個因素進(jìn)行分析，這為航空發(fā)動機氣路顆粒物判別以及部件故障分析提供了有效的方法依據(jù)。

3結(jié)論

為了實現(xiàn)對靜電傳感器感應(yīng)特性的表征，本文對棒狀靜電傳感器進(jìn)行了研究，建立了混合數(shù)學(xué)模型，得到了以下結(jié)論：

（1）針對靜電感應(yīng)模型簡化條件不合理導(dǎo)致模型精度不高的問題，結(jié)合棒狀靜電傳感器結(jié)構(gòu)分析，提出了靜電感應(yīng)混合數(shù)學(xué)模型，為發(fā)動機氣路顆粒物靜電信號的有效表征提供模型基礎(chǔ)。

（2）通過對靜電傳感器靜態(tài)靈敏度分析表明，傳感器長度和底面直徑越大靈敏度越大，但是在傳感器底面直徑不變的前提下，隨著傳感器長度加長，沿傳感器軸向，在距離傳感器表面相同距離的整個周向的靈敏度分布逐漸平穩(wěn)，不再發(fā)生明顯變化。因此傳感器的最佳長度可以在靈敏度達(dá)到平衡的時候得到，其最優(yōu)長度大于8cm，這為傳感器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。

（3）通過對靜電傳感器動態(tài)靈敏度分析表明，經(jīng)過傳感器的顆粒物的電荷量越多，感應(yīng)電荷越大，顆粒速度越快，感應(yīng)電荷變化率越大，頻帶越窄；綜合速度和電荷大小兩個因素對感應(yīng)電荷信號的影響，進(jìn)而可以實現(xiàn)對顆粒物直徑的判別，最終為達(dá)到航空發(fā)動機氣路顆粒物判別以及部件故障分析提供依據(jù)。

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（責(zé)任編輯陳東曉）

作者簡介

張寅（1996-）男，碩士研究生。主要研究方向：航空發(fā)動機故障診斷。

Tel：13572191884

E-mail：944739046@qq.com

胡宇（1984-）男，博士，副教授。主要研究方向：航空發(fā)動機故障診斷。

Tel：15289360632

E-mail：huyu1222@163.com

Sensitivity Analysis of Electrostatic Sensor in Gas Path Based on Hybrid Mathematical Model

Zhang Yin，Hu Yu*，Sun Zhensheng，Zhang Hao，Zhou Wei

Rocket Force University of Engineering，Xian 710025，China

Abstract： The accurate characterization of the static signal and variation law of particulate matter in aeroengine is the theoretical basis for the design and monitoring of the static signal in aeroengine. Aiming at the problem that the simplified mathematical model of electrostatic induction is not reasonable and the model accuracy is not high， this paper starts from the analysis of the structure of bar electrostatic sensor， on the basis of deducing the side and bottom surface induced charge mathematical models， the static and dynamic sensitivity of the static sensor is analyzed by using the static induction hybrid mathematical model. The results show that the induced charge is related to the charge quantity， space position and motion characteristics of the electrostatic particles. The longer the length of the sensor， the stronger the static sensitivity in the projection center of the bottom surface of the sensor， and almost the same in the projection surface of the bottom surface. Static sensitivity increases gradually from the top to the bottom along the sensor axis equidistant from the side， then tends to be stable， and finally decreases. The larger the diameter of the bottom surface of the sensor， the greater the static sensitivity through the projection center of the bottom surface of the sensor. Under the premise of the same charge， particles with different velocities produce the same induced charge amplitude， and the faster the velocity， the narrower the output signal band. The particle with fast velocity has more induced charge， and the amplitude of induced charge rate increases with the increase of particle velocity. This will provide a theoretical basis for the structural optimization design and component fault diagnosis of aeroengine electrostatic sensor.

Key Words： aeroengine； electrostatic sensor； mathematical model； electrostatic induction； sensitivity