橫向磁場(chǎng)作用下Taylor-Couette流動(dòng)數(shù)值模擬

董 帥， 紀(jì)祥勇， 呂二飛， 李春曦

(華北電力大學(xué) 能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，河北 保定 071003)

0 引 言

Taylor-Couette流動(dòng)是流體力學(xué)經(jīng)典問(wèn)題，內(nèi)圓筒旋轉(zhuǎn)，外圓筒靜止。隨著內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)速增加，流體在內(nèi)外圓筒中間區(qū)域會(huì)呈現(xiàn)一系列流動(dòng)形態(tài)，包括層流Couette流動(dòng)、層流Taylor-Couette流動(dòng)、波狀Taylor- Couette流動(dòng)、螺旋波狀Taylor-Couette流動(dòng)和湍流Taylor-Couette流動(dòng)等[1]。將導(dǎo)電液體填充到內(nèi)外圓筒中間區(qū)域，并置于外部磁場(chǎng)作用下，此時(shí)出現(xiàn)了一個(gè)新型的流動(dòng)—磁流體Taylor-Couette流動(dòng)。

通過(guò)磁場(chǎng)控制流體的運(yùn)動(dòng)被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中，例如在材料制造領(lǐng)域，利用磁場(chǎng)控制熔融體的流動(dòng)，可以有效提高晶體的生長(zhǎng)質(zhì)量[2, 3]。此外，磁流體技術(shù)還被應(yīng)用到流量測(cè)量[4]、MHD發(fā)電[5]和金屬冶煉[6, 7]等行業(yè)。泰勒渦反應(yīng)器由于泰勒渦的存在，其獨(dú)特的流動(dòng)特性對(duì)混合、傳熱以及化學(xué)反應(yīng)等有明顯的提升效果，例如強(qiáng)化淀粉的糊化過(guò)程[8]，增強(qiáng)光催化反應(yīng)器的效率，對(duì)污水進(jìn)行有效處理[9]，以及提高環(huán)隙式離心萃取機(jī)的萃取效率[10]。在實(shí)際生產(chǎn)中，很多工質(zhì)具有導(dǎo)電特性。導(dǎo)電液體Taylor- Couette流動(dòng)在外加磁場(chǎng)的作用下，可以通過(guò)改變泰勒渦的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步控制泰勒渦反應(yīng)器內(nèi)部的反應(yīng)過(guò)程，因此在工業(yè)生產(chǎn)中具有良好的應(yīng)用前景。

磁場(chǎng)作用下，導(dǎo)電液體的流動(dòng)控制問(wèn)題引起了廣大學(xué)者的研究興趣。董帥等人對(duì)導(dǎo)電液體在磁場(chǎng)作用下的流動(dòng)穩(wěn)定性研究進(jìn)行了深入發(fā)掘。對(duì)正則模態(tài)和非正則模態(tài)兩種計(jì)算方法的進(jìn)行了對(duì)比，闡述了管道形狀、磁場(chǎng)方向、壁面電導(dǎo)率等因素對(duì)流動(dòng)穩(wěn)定性的影響[11]。董帥等人對(duì)平行平板內(nèi)導(dǎo)電液體在法向磁場(chǎng)作用下的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，初級(jí)擾動(dòng)在平板導(dǎo)電和平板絕緣兩種邊界條件下的形成過(guò)程基本相同。在平板導(dǎo)電邊界條件下，磁場(chǎng)對(duì)擾動(dòng)的抑制效果更好[12]。Medebber等人對(duì)磁場(chǎng)作用下，液態(tài)金屬Taylor-Couette流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明軸向磁場(chǎng)可以抑制二次流的形成，而環(huán)向磁場(chǎng)沒(méi)有類似的阻尼效應(yīng)[13]。冷學(xué)遠(yuǎn)等人采用數(shù)值計(jì)算方法，研究周期性邊界條件下，軸向磁場(chǎng)對(duì)湍流Taylor-Couette流動(dòng)的影響，分析了泰勒渦的演化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)徑向感應(yīng)電流是導(dǎo)致湍流結(jié)構(gòu)改變的主要因素[14]。Mahfoud等人對(duì)上下壁面反向旋轉(zhuǎn)邊界條件下，垂直環(huán)形間隙內(nèi)導(dǎo)電液體的流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。研究發(fā)現(xiàn)，隨著間隙尺寸的增大，液體呈現(xiàn)出不同的流動(dòng)形態(tài)。在磁場(chǎng)作用下，流動(dòng)從軸對(duì)稱變?yōu)榉禽S對(duì)稱[15]。

針對(duì)橫向磁場(chǎng)作用下Taylor-Couette流動(dòng)的研究較少。本文使用Fluent數(shù)值模擬軟件，建立有限長(zhǎng)和無(wú)限長(zhǎng)兩種模型。對(duì)Re=10和Re=259 兩種工況，在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下的流動(dòng)演化過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，并對(duì)不同模型條件下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 理論模型

1.1 物理模型

不可壓縮流體在環(huán)形間隙內(nèi)的流動(dòng)模型，如圖1所示。環(huán)形間隙由兩個(gè)同心圓柱組成，半徑比η=Ri/Ro=0.5，長(zhǎng)寬比Γ=H/d=2。內(nèi)圓筒以角速度ω進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，外圓筒靜止，壁面均為無(wú)滑移和電絕緣邊界條件。計(jì)算所用模型分為有限長(zhǎng)模型和無(wú)限長(zhǎng)模型，上下壁面分別對(duì)應(yīng)靜止壁面邊界條件和周期性邊界條件。環(huán)形間隙內(nèi)的流體為液鎵，受到均勻橫向磁場(chǎng)的作用。液鎵的磁雷諾數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，即Rem《1，相比外部磁場(chǎng)，感生磁場(chǎng)忽略不計(jì)[16]。

圖1 模型示意圖Fig.1 Physical model

1.2 控制方程

本文計(jì)算所用液體滿足粘性不可壓縮流體假設(shè)，流動(dòng)控制方程如下：

連續(xù)性方程

(1)

動(dòng)量方程

(2)

電勢(shì)方程

(3)

電場(chǎng)方程

(4)

感應(yīng)電流密度方程

(5)

洛倫茲力方程

(6)

本文計(jì)算所用模型分為有限長(zhǎng)和無(wú)限長(zhǎng)模型，各壁面均為無(wú)滑移和電絕緣邊界，具體如下：

r=Ri：uθ=ωRi，ur=uz=0，φ=0

r=Ro：uθ=0，ur=uz=0，φ=0

對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)度模型，上下壁面為周期性邊界條件。對(duì)于有限長(zhǎng)度模型，上下壁面邊界條件如下：

z=0：uθ=ur=uz=0，φ=0

z=H：uθ=ur=uz=0，φ=0

1.3 物理參數(shù)

本次計(jì)算中，選取雷諾數(shù)Re=10和Re=259，哈特曼數(shù)Ha=0～50。液鎵物性參數(shù)如表1所示[17]。

表1 液鎵(Ga)物性參數(shù)

1.4 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性和有效性驗(yàn)證

采用六面體網(wǎng)格對(duì)模型進(jìn)行劃分，由于內(nèi)外壁面處速度梯度較大且考慮哈特曼層的影響，軸向和周向網(wǎng)格均勻劃分，徑向網(wǎng)格劃分如圖2所示，由壁面向中心區(qū)域網(wǎng)格尺寸成比例增加。徑向、軸向和周向網(wǎng)格數(shù)量分別選取為40×120×94、50×160×126、和60×200×158，對(duì)Re=10和Re=259在Ha=0的工況進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖3所示。可以看出對(duì)于有限長(zhǎng)模型和無(wú)限長(zhǎng)模型，在Re=10和Re=259工況下，徑向、軸向和周向網(wǎng)格數(shù)量為50×160×126時(shí)，計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of meshing

為了驗(yàn)證計(jì)算方法的可靠性，建立與文獻(xiàn)[13]相同的物理模型，模擬軸向磁場(chǎng)作用下導(dǎo)電液體Taylor-Couette流動(dòng)的演化過(guò)程。圖4給出了Re=100，Ha=0和Ha=5工況下，子午面周向速度云圖?？梢钥闯觯疚挠?jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果相同，證明了本文計(jì)算方法的可靠性。

2 結(jié)果與討論

內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)速不同時(shí)，垂直環(huán)形間隙內(nèi)的流體呈現(xiàn)出復(fù)雜的流動(dòng)狀態(tài)。為研究低雷諾數(shù)工況下導(dǎo)電液體在均勻橫向磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，雷諾數(shù)選取為Re=10和Re=259。為了直觀的顯示渦結(jié)構(gòu)演化過(guò)程，選用Q準(zhǔn)則對(duì)流場(chǎng)中的渦進(jìn)行識(shí)別[18]。

2.1 Re=10工況

Re=10，環(huán)形間隙內(nèi)液體流動(dòng)為層流Couette流動(dòng)。針對(duì)不同模型條件，研究導(dǎo)電液體在橫向磁場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。磁場(chǎng)強(qiáng)度為Ha=0～50，磁場(chǎng)方向沿x軸正向，如圖1所示。

2.1.1 有限長(zhǎng)模型

圖3 周向速度分布曲線Fig.3 Distribution of azimuthal velocity

圖4 周向速度等值線圖Fig.4 Contours of azimuthal velocity

在橫向磁場(chǎng)的作用下，導(dǎo)電液體的流型會(huì)隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加發(fā)生一系列的變化，如圖5所示。取Z=Γ/2截面進(jìn)行分析，Ha=0時(shí)，周向速度具有軸對(duì)稱性。加載磁場(chǎng)后， 周向速度變?yōu)檠豿軸對(duì)稱分布。由徑向速度云圖和渦型圖可以看出，在磁場(chǎng)的作用下，產(chǎn)生一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的渦。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，渦沿著軸向方向增長(zhǎng)，直至充滿整個(gè)模型。同時(shí)渦由圓環(huán)外側(cè)逐步向內(nèi)側(cè)移動(dòng)，并呈現(xiàn)出扁平化趨勢(shì)。在Re=10，Ha=20工況下，Q準(zhǔn)則顯示的渦型圖和Z=Γ/2截面的速度矢量圖，如圖6所示。可以看出兩種方法均可以顯示渦的形態(tài)，但Q準(zhǔn)則更加直觀，進(jìn)一步證明了本文采用Q準(zhǔn)則的合理性。

2.1.2 無(wú)限長(zhǎng)模型

橫向磁場(chǎng)加載到無(wú)限長(zhǎng)模型，流型變化趨勢(shì)與有限長(zhǎng)模型基本相同，如圖7所示。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加，渦從外圓筒移動(dòng)到內(nèi)圓筒，且逐漸扁平化?？梢钥闯觯瑴u的形狀在軸向不發(fā)生變化，符合無(wú)限長(zhǎng)模型的基本特點(diǎn)。

圖5 Re=10工況下有限長(zhǎng)模型內(nèi)流型演化過(guò)程圖Fig.5 Diagram of flown pattern evolution process in a finite length model at Re=10

圖6 渦結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic diagram of vortex structure

圖7 Re=10工況下無(wú)限長(zhǎng)模型內(nèi)流型演化過(guò)程圖Fig.7 Diagram of flown pattern evolution process in an infinite length model at Re=10

2.2 Re=259工況

模型半徑比為η=1/2時(shí)，形成泰勒渦的臨界雷諾數(shù)為Re=68.2[19]。本文選取Re=259，未加載磁場(chǎng)時(shí)，模型內(nèi)形成2對(duì)穩(wěn)定的泰勒渦，與Smieszek等人[20]的文獻(xiàn)結(jié)論一致，證明了計(jì)算結(jié)果的可靠性。

2.2.1 有限長(zhǎng)模型

將橫向磁場(chǎng)加載到有限長(zhǎng)模型，泰勒渦演化過(guò)程如圖8所示。Ha=0～5時(shí)，流場(chǎng)內(nèi)存在2對(duì)泰勒渦，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度增大，泰勒渦尺寸變小，并逐漸向上下壁面靠近。Ha=6～10時(shí)，流場(chǎng)內(nèi)出現(xiàn)3對(duì)泰勒渦，渦在磁場(chǎng)的作用下繼續(xù)縮小，中間位置處的泰勒渦首先發(fā)生破裂。Ha=11～15時(shí)，上下壁面處泰勒渦破裂，泰勒渦進(jìn)一步被磁場(chǎng)抑制，最終完全消失。

2.2.2 無(wú)限長(zhǎng)模型

圖9給出了無(wú)限長(zhǎng)模型Taylor-Couette流動(dòng)在橫向磁場(chǎng)作用下的演化過(guò)程。Ha=0～3時(shí)，流場(chǎng)內(nèi)存在2對(duì)泰勒渦。Ha=4時(shí)，流場(chǎng)內(nèi)泰勒渦由2對(duì)變?yōu)?對(duì)，有限長(zhǎng)模型對(duì)應(yīng)的哈特曼數(shù)為Ha=6。Ha=4～8時(shí)，泰勒渦尺寸減小，但結(jié)構(gòu)相對(duì)完整。Ha≥9時(shí)，泰勒渦逐漸破裂，最終消失。在這個(gè)過(guò)程中，流場(chǎng)內(nèi)的每對(duì)泰勒渦演化過(guò)程一致，與有限長(zhǎng)模型內(nèi)的泰勒渦演化過(guò)程明顯不同。

圖8 Re=259工況下有限長(zhǎng)模型內(nèi)泰勒渦演化過(guò)程圖(Q=16)Fig.8 Diagram of taylor vortex evolution process in a finite length model at Re=259,Q=16

3 結(jié) 論

橫向磁場(chǎng)作用下垂直環(huán)形內(nèi)導(dǎo)電液體隨著雷諾數(shù)和哈特曼數(shù)的不同呈現(xiàn)出復(fù)雜的流動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于不同的模型條件，流動(dòng)過(guò)程也明顯不同。具體結(jié)論如下：

(1)Re=10工況，流體為層流Couette流動(dòng)。在磁場(chǎng)作用下周向速度分布由軸對(duì)稱變?yōu)榉禽S對(duì)稱，并出現(xiàn)一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的渦，隨磁場(chǎng)強(qiáng)度增加，渦由圓環(huán)外側(cè)向內(nèi)側(cè)移動(dòng)，并呈現(xiàn)扁平化趨勢(shì)。

(2)Re=259工況，流體為Taylor-Couette流動(dòng)。泰勒渦被磁場(chǎng)抑制，尺寸變小，由2對(duì)增加至3對(duì)，隨磁場(chǎng)強(qiáng)度增加逐漸破裂，直至完全消失。

(3)Re=259工況，有限長(zhǎng)模型內(nèi)泰勒渦由2對(duì)增加至3對(duì)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為Ha=6，泰勒渦完全破裂的磁場(chǎng)強(qiáng)度為Ha=15。無(wú)限長(zhǎng)模型條件下對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為Ha=4和Ha=12。通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，磁場(chǎng)對(duì)有限長(zhǎng)模型內(nèi)導(dǎo)電液體的Taylor-Couette流動(dòng)抑制作用稍弱，可以歸咎為端部效應(yīng)的影響。