一種改進的水聲正交頻分復(fù)用稀疏信道時延估計算法

強夕竹 喬 鋼 周 鋒

(哈爾濱工程大學(xué)水聲技術(shù)重點實驗室 哈爾濱 150001)

(工業(yè)和信息化部海洋信息獲取與安全工信部重點實驗室(哈爾濱工程大學(xué)) 哈爾濱 150001)

(哈爾濱工程大學(xué)水聲工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類對淺海資源的探索欲日益增大。聲波是目前水下最有效的通信手段之一，淺海的開發(fā)與應(yīng)用迫切需要水聲通信的支持。然而，傳播損失大、聲速不穩(wěn)定、頻帶窄等因素導(dǎo)致淺海水聲信道具有嚴重的多徑效應(yīng)和多普勒擴展效應(yīng)。因此，想要在水下實現(xiàn)高速率高可靠性的通信，需要協(xié)調(diào)好通信制式與信道的關(guān)系。

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)技術(shù)因其抗頻率選擇性衰落、頻譜利用率高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于陸地高速通信，并且從20世紀90年代開始逐漸應(yīng)用于水聲高速通信領(lǐng)域[1]。同時，為了保證OFDM通信的高可靠性，信道估計技術(shù)必不可少[2,3]。目前應(yīng)用于水聲OFDM信道估計的方法大致可分為建立在密集信道假設(shè)上的基于目標準則的估計方法和建立在稀疏信道條件下的壓縮感知類方法[4–6]。而壓縮感知是近年來的熱門方向，它很好地利用了水聲信道的稀疏性。其中正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)以其低復(fù)雜度、易實現(xiàn)性的優(yōu)點受到廣泛應(yīng)用[7,8]。

然而，隨著OMP稀疏信道估計的流行，它應(yīng)用于水聲信道的限制也逐步顯露。一般來說，稀疏信道估計通常依賴時域與頻域離散化網(wǎng)格的劃分。所謂網(wǎng)格就是指時域或頻域估計結(jié)果的最小分辨率，應(yīng)用中常常使用過采樣因子來衡量此種最小分辨率，過采樣因子越大，離散化網(wǎng)格越精細。以時延估計為例，真實水聲信道的路徑時延往往是離網(wǎng)格的(off-grid path delay)，稀疏估計方法只能尋找到離真實時延最近的網(wǎng)格時延(on-grid path delay)，這使得估計結(jié)果始終與真實值存在偏差，通信性能的提升受到很大限制[9,10]。雖然可以通過減小時延網(wǎng)格分辨率(提高過采樣因子)來減小這種偏差，但受水聲信道環(huán)境、計算復(fù)雜度與性能增長幅度的限制，水聲稀疏信道估計中的過采樣因子一般不能選用較大數(shù)值[11]。因此，如何在不改變過采樣因子的前提下改善離網(wǎng)格時延的估計準確度引起了許多學(xué)者的研究興趣。文獻[12]利用萊斯信道的先驗統(tǒng)計特性對初始稀疏估計結(jié)果進行后置處理來提高估計性能。該方法要求信道為嚴格的萊斯信道，而目前水聲信道估計領(lǐng)域內(nèi)常用信道為平均功率呈指數(shù)遞減的瑞利信道[4,11]。此外，該方法中初始稀疏估計結(jié)果可以來自傳統(tǒng)OMP，也可以來自其他稀疏估計方法。文獻[13]則基于凸優(yōu)化模型，借助水聲信道的稀疏性對約束條件進行設(shè)計，輔以變步長理論來降低凸優(yōu)化方法過慢的收斂速度，以此來提高估計性能。文獻[14]從概率與統(tǒng)計的角度出發(fā)，利用稀疏貝葉斯理論在不改變時延網(wǎng)格的前提下，結(jié)合最大期望化算法對信道進行整體估計。雖然基于不同的理論模型，但以上方法都能改善由小的過采樣因子與離網(wǎng)格時延引起的性能限制，不過他們沒有從改進OMP單次迭代效果的角度入手。

與上述文獻不同，文獻[15]提出了階段匹配追蹤(Stage-determined Matching Pursuit, SdMP)方法，該方法在每次迭代選擇至少2個原子放入索引集，以期通過加快殘差衰減速度的方式來降低復(fù)雜度。不同于OMP方法每次迭代只求解當前原子對應(yīng)的權(quán)值，SdMP方法每次迭代都會更新索引集中全部原子對應(yīng)的權(quán)值。針對離網(wǎng)格時延估計，文獻[16]給出了一種基于三角函數(shù)插值的閉式時延解。在無干擾的環(huán)境下，該方法無需增加過采樣因子，就能打破分辨率的限制，對每條離網(wǎng)格路徑實現(xiàn)較好的估計。上述兩種方法在匹配追蹤的估計體系下分別以內(nèi)部迭代機制和單條路徑的估計效果為切入點改善離網(wǎng)格時延帶來的性能衰退。

受文獻[15,16]的啟發(fā)，本文著眼于OMP每次迭代中單條路徑的能量重建，依據(jù)線性擬合思想提出路徑補償?shù)母拍睢ａ槍﹄x網(wǎng)格時延估計復(fù)雜度高的問題，本文提出一種基于路徑補償?shù)母倪MOMP信道估計方法。本方法放寬了傳統(tǒng)OMP時延估計的稀疏度要求，借助線性擬合思想，有效地減少了單個離網(wǎng)格路徑對于其余網(wǎng)格位置的能量泄露，可以在不改變過采樣因子的前提下，改善算法復(fù)雜度與信道估計性能。

2 系統(tǒng)模型

本文采用帶有循環(huán)前綴(Cyclic Prefix, CP)的OFDM(CP-OFDM)通信系統(tǒng)，該系統(tǒng)共有 N個子載波，第k 個子載波上傳輸符號為s [k]。導(dǎo)頻樣式為均勻?qū)ьl，導(dǎo)頻間隔為 D， 導(dǎo)頻子載波總數(shù)為NP。每個OFDM符號塊的時長為 T ，帶寬為 B，載波頻率為 fc。 已知一個具有 L條路徑的水聲稀疏信道可表示為

3 基于路徑補償?shù)腛MP時延估計方法

3.1 路徑補償

目前水聲信道估計的主流還是基于網(wǎng)格的壓縮感知信道估計，由于信道先驗信息不充足，無法保證多徑信道所有的路徑時延都恰好在預(yù)先設(shè)置的時延網(wǎng)格上，所以總是會出現(xiàn)離網(wǎng)格路徑，而離網(wǎng)格路徑的能量會按照類似sinc函數(shù)的形態(tài)向兩邊的網(wǎng)格位置泄漏[10]，也就是說，離真實路徑越近的網(wǎng)格位置包含的能量越多。因此，在進行OMP信道估計時，如果不采用大的過采樣因子，僅用一個原子來表示離網(wǎng)格路徑，必然會導(dǎo)致較大的能量泄漏。

其中， g(t) 定義式已在式(6)中給出，y 表示真實信道頻域響應(yīng)。

已知 R2越大且越接近1，樣本的擬合效果越好。下面本文用圖1來說明補償距離與擬合效果的關(guān)系。

圖1 補償距離與擬合效果的關(guān)系

假設(shè)真實離網(wǎng)格時延 τ0與 估計時延τf1的距離為η倍的時延網(wǎng)格精度，即η ?t=τ0?τf1, η ∈[?0.5,0.5] 。圖1中橫坐標表示補償距離?d=(τf2?τf1)/?t ,?d ∈[?3,3]， 縱坐標表示決定系數(shù)R2，從曲線中可以觀察到，當估計時延 τf1確定時，決定系數(shù)R2隨著補償距離? d的減小而增大，也就是說，補償時延 τf2離真實時延τ0越近，擬合效果越好。又因傳統(tǒng)OMP方法是基于網(wǎng)格時延進行估計的，故基于 OMP的估計體系補償距離只能是時延網(wǎng)格精度?t的整數(shù)倍。圖2描述了本文所提路徑補償思想，其中橫軸表示時延，相鄰兩條黑色點劃線的水平距離表示一個時延網(wǎng)格精度，紅、黑、藍3種線段的長短表示路徑幅度的大小，本文方法(OMP-gridcomp),OMP-2grid-comp,OMP-3grid-comp分別表示補償距離為? t, 2 ?t, 3 ?t的OMP改進方法。

圖2 路徑補償示意圖

綜上，本文放寬對估計結(jié)果稀疏度的要求，不追求每條路徑時延 τl的準確性，轉(zhuǎn)而去關(guān)注每條路徑的能量重建準確性或信道頻域響應(yīng)(Channel Frequency Response, CFR)的準確性。從圖1和圖2可以得出，只要找到離真實路徑最近的兩個時延網(wǎng)格位置并將他們對應(yīng)的原子進行擬合，那么就能補償更多的信道能量，進而改善信道估計性能。

3.2 基于路徑補償?shù)腛MP信道估計方法

4 仿真與復(fù)雜度分析

為了說明OMP-grid-comp方法的有效性，本文分別在單徑與多徑信道環(huán)境下進行仿真分析。CPOFDM系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)置為：子載波總數(shù) N為1024，其中有 NP=256 個均勻?qū)ьl(D =4)，信號帶寬 B 為6 000 Hz，若無特殊說明，下面仿真中的過采 樣因子λ 默認為4。

4.1 單徑信道仿真分析

為了直觀簡便地說明路徑補償?shù)挠行?，本文先對單徑信? L=1)，在信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)為32 dB且無多普勒的情況下進行仿真，該單徑的時延與幅度均為隨機生成。

縱坐標表示均方誤差(Mean Square Errors,MSE)，其定義為

圖3 算法流程圖

圖4 單徑信道32 dB下的MSE

圖5 單徑信道0 dB下的MSE

圖4中的OMP-nocomp表示至多迭代 L次的傳統(tǒng)OMP方法，OMP-normal-comp方法意味著按照傳統(tǒng)OMP流程至多進行 2L次迭代。OMP-sin方法為文獻[16]中基于三角函數(shù)插值思想的OMP估計方法，簡稱為OMP-sin方法。SdMP方法選自文獻[15]，是每次迭代中選擇2個原子放入索引集的匹配追蹤類方法，雖然SdMP方法與本文方法都是每次迭代選擇2個原子，但SdMP是在全局范圍內(nèi)搜索對應(yīng)內(nèi)積最大的兩個原子，本文方法是針對單條路徑選擇2個原子，是在局部范圍的選擇。OMP-2grid-comp方法和OMP-3grid-grid方法分別表示補償距離為2個時延網(wǎng)格長度和3個時延網(wǎng)格長度的估計方法。而OMP-grid-comp方法為本文所提出的新方法，其補償距離僅為1個時延網(wǎng)格長度，是當前過采樣因子下所能達到的最小補償距離。

根據(jù)圖4的仿真結(jié)果可以得到以下結(jié)論：(1)OMP-grid-comp方法、OMP-2grid-comp方法和OMP-3grid-comp方法能有效地補償信道泄漏的能量，提高信道估計性能；(2) 比較OMP-gridcomp方法、OMP-2grid-comp方法和OMP-3gridcomp方法的MSE可以發(fā)現(xiàn)，補償距離越近，信道估計效果越好；(3) OMP-normal-comp方法和OMP-3grid-comp方法的MSE曲線幾乎是重合的，側(cè)面反映了OMP-normal-comp方法的補償距離大約為3個時延網(wǎng)格長度。同時OMP-normal-comp方法的MSE曲線也能說明傳統(tǒng)OMP的迭代搜索策略存在限制，無法搜索出補償距離更小的補償時延；(4) 在高信噪比、無多徑干擾的條件下，OMP-sin方法的估計性能十分優(yōu)越，說明此種情況下，插值思想能超越時延網(wǎng)格的限制，實現(xiàn)超精度時延估計；(5) OMP-grid-comp方法與SdMP方法在高信噪比、無多徑干擾的條件下，可以達到基本一致的性能，表明SdMP方法在單徑信道下的估計策略與單徑能量重建的思想類似。

圖5為各方法在0 dB單徑信道下的MSE，將圖5與圖4進行對比，能夠發(fā)現(xiàn)：(1) 當噪聲干擾較強時OMP-sin方法的優(yōu)勢迅速退化；(2) 基于能量補償?shù)姆椒ň哂幸种圃肼暤淖饔?，其中SdMP方法在單徑信道抑制噪聲的能力與OMP-grid-comp相當；(3) 當真實時延與網(wǎng)格時延較近時，即?0.2 ≤η ≤0.2, OMP-nocomp方法呈現(xiàn)出明顯的性能優(yōu)勢，說明在噪聲干擾較強且η 較小時，基于能量補償?shù)姆椒ㄏ啾扔贠MP-nocomp容易引入更多的噪聲，導(dǎo)致過擬合。而OMP-nocomp方法只使用一個原子表示單 條路徑，不會產(chǎn)生此類現(xiàn)象。

4.2 典型多徑信道仿真

接下來對典型多徑水聲稀疏信道進行仿真分析。假設(shè)信道是服從瑞利分布的5徑信道( L=5)，路徑的平均功率隨著時延的增加呈指數(shù)下降，且每兩條相鄰路徑的時延間隔服從均值為1 ms的指數(shù)分布。同時又添加了λ =8的OMP-normal-comp-8方法作為對比項。圖6中橫坐標表示信噪比，縱坐標表示MSE。

圖6 時延間隔均值為1 ms的多徑信道MSE

圖6依然能展示出OMP-grid-comp方法的明顯優(yōu)勢。與圖5結(jié)論相似，在多徑信道中，OMPsin方法的優(yōu)勢隨著信噪比的降低而退化，在信噪比較高時，MSE與OMP-grid-comp方法趨于一致，這說明基于插值思想的方法對噪聲干擾與多徑干擾較為敏感，同時，側(cè)面反映了基于路徑補償思想的估計方案具有抗多徑干擾的優(yōu)勢。OMP-gridcomp方法與SdMP方法的差距隨著信噪比的增高而加大，這表明在典型多徑水聲信道下，基于單徑(局部)的能量重建策略比基于全局的能量重建策略更利于抑制多徑干擾，更能提升時延估計性能。此外，高信噪比時OMP-normal-comp-8方法的MSE遠低于OMP-normal-comp方法，這驗證了提高過采樣因子λ(即減小時延網(wǎng)格精度? t=1/λB)可以改善估計性能的結(jié)論。

接著在路徑更密集(稀疏性較差)的信道下進行仿真，即每兩條相鄰路徑的時延間隔服從均值為0.2 ms的指數(shù)分布，其余信道參數(shù)與圖6一致。仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 時延間隔均值為0.2 ms的多徑信道MSE

圖7的仿真結(jié)果說明：基于路徑補償?shù)腛MP方法比傳統(tǒng)OMP方法更適用于密集信道，因為隨機產(chǎn)生的路徑時延大多數(shù)為離網(wǎng)格時延，OMP-gridcomp方法在每一次OMP迭代時，都盡可能多地減掉當前離網(wǎng)格時延的能量，此種操作可以很大程度地避免路徑之間的干擾，故OMP-grid-comp方法在密集信道下展示出的優(yōu)勢更明顯。此外，OMPgrid-comp方法與OMP-2grid-comp方法之間的差距小于圖6中的差距，說明密集信道下，路徑間干擾削弱了補償距離對結(jié)果的性能提升，不過OMPgrid-comp方法仍然能比OMP-2grid-comp方法取得更好的補償效果，再次印證了補償距離越近，信道估計效果越好的結(jié)論。值得注意的是，高信噪比時，OMP-sin方法與OMP-grid-comp方法的曲線距離明顯大于圖5中的差距，這說明信道的密集程度也能對基于插值思想的OMP類方法帶來不利影響。

4.3 復(fù)雜度分析

下面來對比不同方法的計算復(fù)雜度。不考慮復(fù)雜度較小的計算步驟，僅比較每種方法中OMP迭代需要的快速傅里葉逆變換(IFFT)計算量，已知一次長度為λ NP的IFFT操作包含2 λNPlog2λNP次實數(shù)乘法與 3λNPlog2λNP次實數(shù)加法[18]，現(xiàn)選取OMP-grid-comp方法、OMP-normal-comp方法、OMP-sin方法和SdMP方法進行最大計算復(fù)雜度比較。

假設(shè)信道參數(shù)與OFDM系統(tǒng)參數(shù)與圖6一致，定量比較表1中4種方法的計算復(fù)雜度，如表2所示。

表1 內(nèi)積計算復(fù)雜度定性對比

表2 內(nèi)積計算復(fù)雜度定量對比

觀察圖6、圖7與表2可以發(fā)現(xiàn)，在相同的低復(fù)雜度條件下，OMP-grid-comp方法比SdMP方法的估計效果更優(yōu)。而OMP-grid-comp方法至多使用OMP-normal-comp方法與OMP-sin方法1/2的計算復(fù)雜度就可實現(xiàn)相近的估計效果，充分證明了OMP-grid-comp方法可以在降低復(fù)雜度的同時改善信道估計性能。

5 海試數(shù)據(jù)分析

在本節(jié)中使用2017年10月在黃海通信試驗接收到的數(shù)據(jù)對不同信道估計方法的優(yōu)劣做進一步分析。該實驗的發(fā)射換能器位于水下3 m深的位置，接收陣由5個垂直線陣組成，每個陣列由30個均勻分布于水下5～12.5 m的陣元組成。發(fā)射端與接收端相距3.53 km。OFDM系統(tǒng)的帶寬 B為6 kHz，載波調(diào)制方式為二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)；子載波總數(shù)為1024，其中有256個均勻?qū)ьl；一個OFDM符號塊的時長為170.67 ms，每個陣元發(fā)送1幀符號，每幀包含8個有效符號塊。除OMP-normal-comp-8方法采用λ=8的 過采樣因子外，其余4種方法均采用λ =4的過采樣因子。此外，在進行時延估計之前，信道中的多普勒效應(yīng)已經(jīng)進行有效的估計與補償[19,20]。

圖8是復(fù)制相關(guān)處理得到的各陣列平均信道沖激響應(yīng)，橫軸表示時延，縱軸表示歸一化幅度。觀察圖8能發(fā)現(xiàn)信道的大部分能量集中在幾條幅度較高的路徑上。

通過觀察圖6與圖7，發(fā)現(xiàn)本文方法(OMPgrid-comp)、OMP-2grid-comp方法、OMP-sin方法、SdMP方法以及OMP-normal-comp-8方法的性能更優(yōu)越。為此，本文只比較上述5種OMP類方法的通信效果，并將最大迭代次數(shù)設(shè)置為 L=5，以考察不同信道估計方法對實際稀疏信道的估計效果。

表3給出了OFDM系統(tǒng)采用不同信道估計方法時原始誤碼率(raw Bit Error Ratio, raw BER)的差別，其中最大值表示該陣列所有OFDM符號原始誤碼率的最大值，平均值表示該陣列所有OFDM符號原始誤碼率的平均值。通過對表3進行分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)通過觀察每個陣列(陣列1～陣列5)不同信道估計方法對應(yīng)的最大誤碼率，可以發(fā)現(xiàn)本文所提方法的最大誤碼率均小于或等于其余4種方法的最大誤碼率。這說明本文所提方法在信道條件較差時仍能維持性能優(yōu)勢，穩(wěn)健性較好。

(2)本文所提方法的平均BER始終小于其余4種方法的，該現(xiàn)象與圖6、圖7的多徑仿真結(jié)果基本一致，驗證了本文所提方法的有效性，也間接表明單條路徑能量重建的思想抗干擾能力更強。

(3)OMP-2grid-comp方法的平均BER也在這5種方法中處于較低水平，這與圖7的仿真結(jié)果一致，說明本文提出的路徑補償思想在稀疏性較差的信道仍然有效，且補償距離越小，信道估計效果越好。

6 結(jié)論

在稀疏信道估計領(lǐng)域中，無法保證所有真實路徑都恰好位于預(yù)設(shè)的時延網(wǎng)格上，為了避免這種情況帶來的性能衰減，傳統(tǒng)OMP方法需要增大過采樣因子與計算開銷。本文提出的基于線性擬合思想的改進OMP信道估計方法，雖然放寬了對傳統(tǒng)OMP時延估計的稀疏度要求，但能有效減少離網(wǎng)格路徑對于其余網(wǎng)格位置的能量泄露，從而達到改善通信性能的目的。出于對能耗與算法性能的考量，水聲稀疏信道估計往往不能采用很大的過采樣因子，而本改進方法既能提高信道頻域響應(yīng)準確度，又能利用適當?shù)难a償距離巧妙降低計算復(fù)雜度。仿真結(jié)果、實驗結(jié)果與復(fù)雜度分析表明，本文所提改進算法在計算復(fù)雜度與估計精度上都獲得了性能提升，為水聲OFDM信道估計提供了兼具低復(fù)雜度與高性能的解決方案。

圖8 各陣列平均信道沖激響應(yīng)

表3 不同信道估計方法的原始誤碼率