關(guān)于五維Myers-Perry黑洞隧穿輻射的新處理

陳冬梅 李春艷

摘? 要：從有質(zhì)量粒子的Lagrangian作用量出發(fā)，采用Euler-Lagrange變分原理在一般（非拖曳）坐標(biāo)系下對(duì)五維Myers-Perry黑洞中的類時(shí)和類光測(cè)地線方程作了自洽的、統(tǒng)一的推導(dǎo)，使得對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞隧穿輻射的研究不再局限于拖曳坐標(biāo)系。緊接著采用Parikh-Wilczek的半經(jīng)典隧穿方法，對(duì)有質(zhì)量粒子在Myers-Perry黑洞視界附近的隧穿輻射重新做了研究，并給出了其隧穿幾率。

關(guān)鍵詞：Myers-Perry黑洞;隧穿輻射;測(cè)地線方程

中圖分類號(hào)：P145.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2021）18-0116-04

Abstract： Starting from the Lagrangian action of mass particles， the Euler-Lagrange variational principle is used to make a self consistent and unified derivation to the time-like and light like geodesic equations in the five dimensional Myers-Perry black hole in the general （non towed） coordinate system， so that the research on the tunneling radiation of rotating black hole is no longer limited to the towed coordinate system. Then， using Parikh-Wilczek's semiclassical tunneling method， the tunneling radiation of mass particles near the field of view of Myers-Perry black hole is re studied， and its tunneling probability is given.

Keywords： Myers-Perry black hole; tunneling radiation; geodesic equation

0? 引? 言

自廣義相對(duì)論建立以來(lái)，人們根據(jù)Einstein引力場(chǎng)方程，求得了黑洞的精確解。在經(jīng)典理論中，因?yàn)樵诤诙吹母浇f(wàn)有引力強(qiáng)大到甚至連光也不能逃逸出來(lái)。這就是最初其名稱的由來(lái)。在1974年，Hawking輻射[1]從理論上證明了黑洞不再是完全黑的，Hawking通過(guò)考察一顆恒星在塌縮形成黑洞過(guò)程中的量子隧道效應(yīng)，得到黑洞從其視界會(huì)發(fā)出理想的黑體熱輻射。由于黑體輻射不攜帶任何信息，當(dāng)黑洞完全蒸發(fā)后就會(huì)得到所謂的信息丟失佯謬。由此對(duì) Hawking輻射人們提出了各種不同的方法。2000年，Parikh和Wilczek[2]采用半經(jīng)典的隧穿圖像研究了Schwarzschild黑洞中無(wú)質(zhì)量粒子的 Hawking 輻射，得到了黑洞輻射的隧穿幾率，給出了對(duì)Hawking輻射譜的修正。他們?cè)诳紤]到能量守恒和時(shí)空背景幾何可以有一定漲落的情況下，證明了黑洞的輻射譜不是純熱譜，提供了一個(gè)解決信息丟失問(wèn)題的可能途經(jīng)。隨后，人們就把P-W半經(jīng)典隧穿方法推廣到有質(zhì)量粒子的Hawking輻射[3]和轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞情形，例如：Kerr，Kerr-Newman，Kerr-Sen[4-10]和EMDA[11]黑洞。

在推廣的過(guò)程中出現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題。一方面，采用Parikh-Wilczek半經(jīng)典隧穿方法研究隧穿輻射時(shí)，人們通常采用類似于Painlevé-Gullstrand坐標(biāo)系。而并非所有的轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞已知解都已被給出相應(yīng)的類Painlevé-Gullstrand坐標(biāo)形式，在文獻(xiàn)[8]中，作者以三維BTZ黑洞為例講清楚了應(yīng)該如何做坐標(biāo)變換得到正確的度規(guī)的類Painlevé 坐標(biāo)表示。本文的第一個(gè)工作就是利用坐標(biāo)變換給出了五維Myers-Perry黑洞的類Painlevé-Gullstrand坐標(biāo)形式。此外，人們對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞隧穿輻射還需要進(jìn)一步作拖曳坐標(biāo)變換，在與黑洞共轉(zhuǎn)動(dòng)的拖曳坐標(biāo)系中推導(dǎo)類光測(cè)地線，因?yàn)樵诜峭弦纷鴺?biāo)系中非常難以處理。廣義協(xié)變性原理要求物理規(guī)律在任意坐標(biāo)變換下保持形式不變，依據(jù)這一原理可以斷定物理規(guī)律不應(yīng)依賴于具體坐標(biāo)系的選擇。Hawking輻射是黑洞的一個(gè)普適的量子效應(yīng)，我們有理由相信在一般的非拖曳坐標(biāo)系中研究黑洞隧穿輻射可以與采用拖曳坐標(biāo)系時(shí)得到的結(jié)果相同。另一方面，在研究（轉(zhuǎn)動(dòng)）黑洞的隧穿輻射中推導(dǎo)各種粒子的測(cè)地線方程直接影響到對(duì)黑洞視界附近處出射粒子的隧穿幾率計(jì)算的數(shù)學(xué)復(fù)雜程度，在文獻(xiàn)中[12]表明類時(shí)和類光測(cè)地線方程都可以利用Euler-Lagrange變分原理對(duì)Lagrangian作用量作最小變分得到。在本文之前，文獻(xiàn)[13]也采用了同樣的思想，以Kerr黑洞為代表性的例子，采用Lagrange力學(xué)中的分析方法對(duì)有質(zhì)量粒子和無(wú)質(zhì)量粒子的測(cè)地線運(yùn)動(dòng)方程在拖曳坐標(biāo)系和一般的非拖曳系中做統(tǒng)一的推導(dǎo)，然后對(duì)Kerr黑洞的隧穿輻射在拖曳坐標(biāo)系中重新做了進(jìn)一步的研究，其結(jié)果與文獻(xiàn)[8]中一般的非拖曳系是完全一樣的結(jié)果，表明對(duì)黑洞輻射的研究不再局限于拖曳坐標(biāo)系。

本文將上述工作推廣到五維轉(zhuǎn)動(dòng)Myers-Perry黑洞中有質(zhì)量粒子的隧穿輻射情形，采用Lagrange力學(xué)中的變分法在一般的坐標(biāo)系中重新推導(dǎo)出了有質(zhì)量粒子的測(cè)地線方程，并在考慮了自引力修正的條件下，在一般的非拖曳坐標(biāo)系中給出了Myers-Perry黑洞Hawking輻射的隧穿幾率。

1? Myers-Perry黑洞解的新度規(guī)形式和有質(zhì)量粒子的測(cè)地線方程

1.1? Myers-Perry度規(guī)的新形式

1986年，Myers 和Perry首次得到了具有兩個(gè)獨(dú)立角動(dòng)量的五維旋轉(zhuǎn)黑洞的度規(guī)[14]。在1999年霍金給出了具有負(fù)宇宙常數(shù)的解[15]。在Boyer-Lindquist坐標(biāo)中，Myers-Perry度規(guī)的線元可以被寫成這一種優(yōu)雅的形式：

為了消除其視界處的表觀坐標(biāo)奇異性，需要完成適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，仿照文獻(xiàn)[8]，這里先引入以下坐標(biāo)變換：

然后，便得到了五維轉(zhuǎn)動(dòng) Myers-Perry黑洞解的一種新的類Painlevé-Gullstrand 坐標(biāo)形式，其線元的新形式為：

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后的線元描述的黑洞時(shí)空是一般的非拖曳坐標(biāo)系，其優(yōu)越性表現(xiàn)在于已完全消除了視界的坐標(biāo)奇異性。

1.2? 有質(zhì)量粒子的測(cè)地線方程

在一般的五維轉(zhuǎn)動(dòng)Myers-Perry黑洞時(shí)空中，類時(shí)與類光測(cè)地線都至少存在4個(gè)守恒的積分常數(shù)[12]，用它們完全可以確定經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)方程，所以本小結(jié)我們用變分法從Lagrangian作用量中導(dǎo)出積分常數(shù)，即與三個(gè)Killing矢量分別對(duì)應(yīng)的能量E和角動(dòng)量?1，?2以及哈密頓，然后利用它們推導(dǎo)出有質(zhì)量粒子的測(cè)地線方程。其中，Hamiltonian量為一守恒量H=-m0k/2，它等價(jià)于類時(shí)測(cè)地線的4-速度歸一化條件。

我們首先將從黑洞的類Painlevé-Gullstrand坐標(biāo)形式出發(fā)，在此坐標(biāo)系中，我們考慮質(zhì)量為m0的粒子的經(jīng)典作用量：

其中，t和φ，ψ是循環(huán)坐標(biāo)，分別對(duì)應(yīng)了三個(gè)守恒積分常數(shù)Pt=E和PФ=?1，P?=?2。經(jīng)過(guò) Legendre變換，可得到有質(zhì)量粒子的 Hamiltonian 為：

至此，我們已采用Myers-Perry度規(guī)的新的類Painlevé-Gullstrand坐標(biāo)表示（4）并在一般（非拖曳）坐標(biāo)系下統(tǒng)一地推導(dǎo)出該時(shí)空中有質(zhì)量帶電粒子的測(cè)地線方程，式（17）～（19） 的無(wú)質(zhì)量極限m=0或k=0即為類光粒子的測(cè)地線方程。

2? 事件視界處粒子的隧穿幾率

這一小節(jié)我們使用Parikh-Wilczek半經(jīng)典隧穿圖像方法來(lái)研究Hawking輻射。粒子的隧穿過(guò)程發(fā)生在黑洞視界附近，在黑洞外視界內(nèi)產(chǎn)生出一對(duì)正能粒子和負(fù)能粒子，其中正能粒子將通過(guò)隧穿效應(yīng)從黑洞外視界逃離至無(wú)窮遠(yuǎn)處，而負(fù)能粒子則被黑洞吸收。由于有粒子隧穿出黑洞，黑洞的外視界面會(huì)發(fā)生收縮，收縮前后的視界半徑ri和rf對(duì)應(yīng)于隧穿勢(shì)壘的兩個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。考慮到有質(zhì)量粒子間的自引力作用，根據(jù)能量守恒和角動(dòng)量守恒的條件下，我們保持時(shí)空的總能量固定而允許黑洞質(zhì)量發(fā)生漲落。當(dāng)黑洞輻射出能量為ω=m0的粒子后黑洞的質(zhì)量和角動(dòng)量分別為（M-ω）和（M-ω）a。

（37）即為Myers-Perry黑洞在輻射有質(zhì)量帶電粒子前后的熵差。

我們?cè)趯?duì)Myers-Perry黑洞的隧穿輻射進(jìn)行重新研究的過(guò)程中，利用了Parikh-Wilczek半經(jīng)典隧穿方法，得到了有質(zhì)量粒子在Myers-Perry黑洞外視界輻射出來(lái)的隧穿幾率，其結(jié)果與其他方法的一致。

3? 結(jié)? 論

本文在給出五維Myers-Perry黑洞的（一般非拖曳坐標(biāo)系）度規(guī)新形式后，運(yùn)用Lagrange作用量變分原理對(duì)該時(shí)空中有質(zhì)量帶電粒子的測(cè)地線方程做了新的推導(dǎo)。然后采用Parikh-Wilczek半經(jīng)典隧穿方法對(duì)五維Myers-Perry黑洞的隧穿輻射重新做了研究，給出了隧穿幾率。結(jié)果表明，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞隧穿輻射的處理不僅可在任何坐標(biāo)系中完成，而且也不再局限于采用拖曳坐標(biāo)系。

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作者簡(jiǎn)介：陳冬梅（1998.01—），女，漢族，四川南充人，碩士研究生在讀，研究方向：理論物理。