機會約束隨機非線性互補問題的一個光滑近似

任詠紅, 馬曉嘉, 王佳麗

(遼寧師范大學 數(shù)學學院,遼寧 大連 116029)

隨機非線性互補問題是近年來研究的熱點問題之一.Zhang等人[1]將求解隨機線性互補問題的期望殘差極小化法推廣到求解隨機非線性互補問題,在適當?shù)臈l件下,證明了解的收斂性.Lin等人[2]針對隨機非線性互補問題提出了新的非線性互補函數(shù)及其誤差界.Fukushima等人[3]將隨機非線性互補問題重構(gòu)為帶有均衡約束的隨機規(guī)劃問題.Lin[4]對隨機非線性互補問題提出了一種新的帶均衡約束的隨機規(guī)劃方法,給出了基于懲罰函數(shù)的蒙特卡羅算法.

由于該類問題涉及的參數(shù)具有不確定性,這給數(shù)值計算帶來很大困難.本文基于Fischer-Burmeister(F-B) NCP函數(shù)[5],將隨機非線性互補問題重構(gòu)為隨機方程組,在一定的置信水平下,將其轉(zhuǎn)化為機會約束隨機非線性互補問題,使之以很大的概率成立.由于該類問題通常是非凸非光滑的,基于CHKS光滑和函數(shù)[6],構(gòu)造光滑近似函數(shù),證明光滑近似問題與原問題的等價性.

1 機會約束隨機非線性互補問題

考慮隨機非線性互補問題 (SNCP)：

找到x∈n,滿足

x≥0,F(x,ξ)≥0,〈x,F(x,ξ)〉=0,

(1)

其中,F:n×k→n是連續(xù)函數(shù),ξ:Ω→Ξ?k是定義在概率空間(Ω,Γ,Ρ)上的隨機向量.

基于F-B函數(shù)

可將(SNCP)問題重構(gòu)為下述隨機方程組：

由于參數(shù)的不確定性,在數(shù)值計算上存在著諸多困難.考慮機會約束隨機非線性互補問題(CCSNCP)：

找到x∈n,滿足

Pr{H(x)=0}≥1-α,

(2)

其中,α∈(0,1)是置信水平.

式(2)變形為

Pr{H(x)≠0}=1-Pr{H(x)=0}≤α.

由于

又

Pr{φFB(xi,Fi(x,ξ))≠0}=E[1(φFB(xi,Fi(x,ξ)))],

對于i=1,…,n,記

pi(x)=Pr{φFB(xi,Fi(x,ξ))≠0}=E[1(φFB(xi,Fi(x,ξ)))],

則機會約束隨機非線性互補問題(CCSNCP)變?yōu)?/p>

找到x∈n,滿足

(3)

2 特征函數(shù)1{0}(z)的光滑近似函數(shù)

本小節(jié)基于CHKS光滑和函數(shù)構(gòu)造了特征函數(shù)1(z)的光滑近似函數(shù),并且證明了光滑近似問題與原問題的等價性.

考慮CHKS光滑和函數(shù)[6]：

對于t>0,定義函數(shù):

及

記

由圖1可知,當t和|b|充分小時,函數(shù)Ψ(z,b,t)是特征函數(shù)1(z)的一個光滑近似.

圖1 函數(shù)Ψ(z,b,t)Fig.1 Function Ψ(z,b,t)

命題1對于t>0,b≠0,Ψ(z,b,t)∈(0,1),?z∈.

證由于

要證Ψ(z,b,t)∈(0,1),只需證明

令

則有

下面討論函數(shù)f(z)的單調(diào)性.對于b≠0，通過計算可得

(1)當z≥t時,有

(2)當0≤z

(3)當z<0時,有

綜上所述,?z∈,f′(z)>0.故對于?t>0,f(z)

亦即Ψ(z,b,t)<1.

下面討論函數(shù)Ψ(z,b,t)的下界.由函數(shù)表達式

知,Ψ(z,b,t)關(guān)于z是偶函數(shù),故討論z≥0的部分即可.對于t>0,b≠0,

故對于?z∈,

即Ψ(z,b,t)>0,綜上所述,對任意z∈,Ψ(z,b,t)∈(0,1).

下述定理說明了Ψ(z,b,t)是特征函數(shù)1(z)的近似光滑函數(shù).

定理1對于任意的z∈,

證(1)當z=0時,

(2)當z≠0時,

當z≥t時,

當0

當-t

當z≤-t時,

3 機會約束非線性互補問題的一個光滑近似

對于t>0,b≠0,記

pi(x,b,t)=E[Ψ(φFB(xi,Fi(x,ξ)),b,t)],i=1,…,n,

建立相應的非線性互補問題：

找到x∈n,滿足

(4)

下述定理描述了問題(3)與問題(4)的等價性.

定理2假設(shè)函數(shù)Fi(x,ξ),i=1,…,n是Carathéodory函數(shù),則問題(3)與問題(4)是等價的.

證令z=φFB(xi,Fi(x,ξ)), 則由定理1及控制收斂定理可得

即問題(3)與問題(4)等價.