求解一類投資組合問題的魯棒鏡像下降SA方法

王 煒, 王丹丹, 李三碩

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

隨著金融投資的不斷發(fā)展,投資組合問題逐漸走進(jìn)人們的視線中.在確定的投資組合問題中,如何在風(fēng)險范圍確定的情況下進(jìn)行項(xiàng)目選擇,從而達(dá)到項(xiàng)目收益的最大化,已經(jīng)成為學(xué)者們普遍關(guān)注的問題.Markowitz(1952)[1]提出了均值-方差模型,將投資組合的風(fēng)險以各個資產(chǎn)間的方差和的形式表示了出來.

由于很多實(shí)際的投資項(xiàng)目具有不確定性因素,例如,股票市場中不同的時期,在承受同樣的風(fēng)險下,所獲得的收益是不同的.為了處理好投資組合問題中的不確定性,Ben-Tal和Nemirovski[2](1999)使用分布魯棒優(yōu)化方法求解投資組合問題.Goldfarb等人[3](2003)利用橢圓的不確定性結(jié)構(gòu)描述了模型的不確定性,并用二階錐規(guī)劃的方法求解了這個問題.處理隨機(jī)優(yōu)化中不確定性的方法常見的有如下3種：第一種是把含有隨機(jī)變量的函數(shù)取期望,將其轉(zhuǎn)化為一個確定的問題求解；第二種是在概率約束下考慮優(yōu)化問題,可以在置信區(qū)間內(nèi),將原問題轉(zhuǎn)化為含有概率約束或者含有機(jī)會約束的優(yōu)化問題；第三種將問題轉(zhuǎn)化為兩階段或多階段問題.將項(xiàng)目收益的期望作為目標(biāo)函數(shù),在每個項(xiàng)目的風(fēng)險系數(shù)和總的風(fēng)險范圍都固定的情況下,對資產(chǎn)進(jìn)行分配以實(shí)現(xiàn)收益最大化.為了確定所得最優(yōu)值與實(shí)際最優(yōu)值的誤差界,以便確定最差情況下的誤差,采取魯棒鏡像下降SA方法[4]求解這個問題,使得所得結(jié)果有更好的穩(wěn)健性.魯棒鏡像下降SA方法是一種隨機(jī)次梯度方法,是在經(jīng)典隨機(jī)逼近方法上進(jìn)行改良的,改良后的魯棒鏡像下降SA方法適用范圍更為廣泛.

1 問題描述

(P)

其中,

X?n是一個非空有界閉凸集,ξ的概率分布P在支撐集Ξ?d上.

(1)

其中,f:X→,且

若ξ服從連續(xù)分布,那么問題(1)中的期望可以采用如下形式求解：

(2)

然而,當(dāng)變量的維數(shù)偏高時,上述積分不能被高精度的計算.

若ξ服從離散分布,設(shè)ξ只取有限個值ξ1,ξ2,…,ξd,且相應(yīng)的概率分別為P(ξ1),P(ξ2),…,P(ξd).那么問題(1)中的期望可以采用如下形式求解：

(3)

然而,隨機(jī)變量概率分布的不確定性為計算帶來了難度.所以本文采用魯棒鏡像下降SA方法求解這個問題.

2 魯棒鏡像下降SA算法結(jié)構(gòu)

對于問題(1),給出如下假設(shè)條件：

(1)假設(shè)給定每個輸入點(diǎn)(x,ξ)∈X×Ξ,都可以確定F(x,ξ)的一個隨機(jī)次梯度,即存在G(x,ξ)∈?xF(x,ξ),其中,?xF(x,ξ)是函數(shù)F(x,ξ)關(guān)于x的次微分.并且g(x)=E[G(x,ξ)]∈?f(x),其中,?f(x)是f(x)的次微分.

(2)假設(shè)可以產(chǎn)生一些獨(dú)立同分布的樣本作為ξ的實(shí)現(xiàn).

取關(guān)于‖·‖1的距離生成函數(shù)

(4)

集合X0={x∈X:?ω(x)≠?}={x∈X:xi>0,i=1,2,…,n}.

由于ω(x)在X上是連續(xù)的凸函數(shù),所以X0是一個凸集.在X0上,ω(x)是連續(xù)可微的強(qiáng)凸函數(shù),且模是ρ,則有

(5)

其中,z=(z1,z2,…,zn)Τ∈X0,x=(x1,x2,…,xn)Τ∈X0.式(5)等價于

(6)

定義1(鄰近函數(shù))形如下述形式的X0×X→+的函數(shù):

(7)

稱為鄰近函數(shù),其中,x∈X0,z=(z1,…,zn)∈X.

定義2(鄰近映射)形如n→X0的映射

Px(y)=argminz∈X[yΤ(z-x)+V(x,z)]

(8)

稱為鄰近映射,其中,y=(y1,y2,…,yn)Τ∈n.

t次迭代之后的點(diǎn)記為xt,得到魯棒鏡像下降SA算法的遞推公式為

xt=Pxt-1(γt-1G(xt-1,ξt-1)),

(9)

其中,γt-1表示第t-1次迭代的步長.

(10)

表示從x1到xj的凸組合.

3 算法步驟

當(dāng)使用魯棒鏡像下降SA方法解決問題(1)時,可按照下述步驟求解：

①?(x,ξ)∈X×Ξ,確定F(x,ξ)的隨機(jī)次梯度G(x,ξ),并通過

計算出常數(shù)M的值;

②通過(x′-x)Τ(ω(x′)-計算出ρ的值;

xt=argminz∈X[γtG(xt-1,ξt-1)T(z-xt-1)+V(xt-1,z)]

計算xt,若t

4 誤差界及收斂性分析

為了分析魯棒鏡像下降SA算法在求解問題(1)時的收斂性,首先需要如下引理.

引理[4]對每個u∈X,x∈X0,y∈n,有

(11)

定理在使用魯棒鏡像下降SA算法求解問題(1)時,若滿足以下條件：

證由引理中變量的任意性,可令x=xt,y=γtG(xt,ξt),u=x*,x*為最優(yōu)解,t=1,2,…,j,代入式(11),有

(12)

令Δt=G(xt,ξt)-g(xt),有

(13)

當(dāng)t=1,2,…,j,將式(13)分別相加,得,

(14)

由于ω(x)的凸性,所以V(xt+1,x*)=[ω(x*)-ω(xt+1)]-ω(xt+1)Τ(x*-xt+1)≥0,進(jìn)而式(14)變?yōu)?/p>

(15)

f(xt)-f(x*)=(xt-x*)Τg(xt).

(16)

當(dāng)t=1,2,…,j,將式(16)分別相加,得

(17)

(18)

由于

(19)

式(18)變?yōu)?/p>

(20)

結(jié)合式(17)和式(15)可得

(21)

maxz∈XV(x1,z)=maxz∈X[ω(z)-ω(x)]≤
maxz∈Xω(z)-minz∈Xω(z)=Dω,X.

(22)

引入拉格朗日函數(shù)[5]

(23)

其中,λ1,λ2≥0.則KKT條件可以表述為

(24)

接下來求在集合X上ω(x)的最大值.

bt=btxt+bt(1-xt)≤b1x1+b2x2+…+bnxn,

(25)

Dω,X=maxz∈Xω(z)-minz∈Xω(z)=lnn.

那么式(21)變?yōu)?/p>

(26)

由于E[Δt]=Eξ1,ξ2,…,ξt-1(E[Δt|ξ1,ξ2,…,ξt-1])=0,對式(26)兩邊取期望,可得

(27)

當(dāng)?shù)綌?shù)是N時,取變化的步長

(28)

其中,常數(shù)θ>0.

將式(28)代入式(27)可得

(29)