數(shù)學(xué)思維視域下“思維力”的認(rèn)識(shí)與思考
——以逐次漸進(jìn)思想和極限思想為例

肖 鵬 黃星林

（黔南民族幼兒師范高等?？茖W(xué)?；A(chǔ)教育系，貴州 都勻 551300）

一、數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)的理性活動(dòng)[1]。廣義上的數(shù)學(xué)思維就是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維；狹義的數(shù)學(xué)思維主要是由數(shù)學(xué)問題推動(dòng)而發(fā)展起來的思維，具有抽象化、形式化和多樣性等特征。數(shù)學(xué)思維方法的教育有助于培養(yǎng)學(xué)生辯證的思考能力，使學(xué)生養(yǎng)成全方位觀察思考問題的習(xí)慣[2]，從而創(chuàng)造性地提出解決數(shù)學(xué)問題的思維力。

二、逐次漸進(jìn)思想與極限思想

（一）逐次漸進(jìn)思想

逐次漸進(jìn)方法主要是指在解決具體數(shù)學(xué)問題中，逐次縮小或擴(kuò)大研究范圍，把實(shí)驗(yàn)與推導(dǎo)相結(jié)合從而用逼近、驗(yàn)證、淘汰和選擇等簡(jiǎn)化問題，化繁為簡(jiǎn)、化難為易；從而逐步逼近問題本質(zhì)，所以逐次漸進(jìn)方法也叫逐步逼近方法[3]。逐次漸進(jìn)方法在解決新數(shù)學(xué)問題時(shí)有得天獨(dú)厚的地位，通常新問題的出現(xiàn)，人們面臨的問題主要是缺少方法和缺少理論從而通過摸索式地解決問題，所以她具有利于解決數(shù)學(xué)問題，有在數(shù)學(xué)理論發(fā)展中起重要作用；從這個(gè)角度而言，逐次漸進(jìn)方法提倡的更多是一種觀念、一種思維方式和進(jìn)取精神。

（二）極限思想

“極限思想”方法，是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是“數(shù)學(xué)分析”與在“初等數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上有承前啟后連貫性的、進(jìn)一步的思維的發(fā)展[4]。

極限思想也稱為極限思維方法或無限思維方法，是一種無法進(jìn)行具體體驗(yàn)的數(shù)學(xué)思維，但卻在人類認(rèn)識(shí)客觀世界的歷史進(jìn)程中發(fā)揮著巨大的作用。研究主要從數(shù)學(xué)方法論的角度對(duì)極限思想進(jìn)行解讀，可以說極限思想是數(shù)學(xué)發(fā)展不可或缺的工具，也是人們從數(shù)學(xué)角度更為深刻地理解客觀事物之間宏觀或微觀的有力武器。極限思維方法的出現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)自身的成長(zhǎng)起到了巨大推動(dòng)作用，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上重要的里程碑，這是數(shù)學(xué)思維力量的高光時(shí)刻，是數(shù)學(xué)思維中暴力美學(xué)的極致。學(xué)生在領(lǐng)會(huì)“極限”時(shí)不僅需要了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，而且也要理解數(shù)學(xué)思維的變化歷程，并反復(fù)認(rèn)知，才能融會(huì)貫通[5]。

（三）逐次漸進(jìn)思想與極限思想的異同點(diǎn)

數(shù)學(xué)史上從來沒有一種思維方法可以絕對(duì)獨(dú)立存在；也沒有兩種數(shù)學(xué)思維像逐次漸進(jìn)方法與極限思想這樣極其相似又各自大放異彩。逐次漸進(jìn)思想與極限思想既相互聯(lián)系又相互區(qū)別；逐次漸進(jìn)思想是極限思想得以產(chǎn)生的實(shí)踐基礎(chǔ)和方法論，極限思想是逐次漸進(jìn)思想結(jié)晶，二者的異同點(diǎn)梳理如下：

序號(hào) 維度 逐次漸進(jìn)方法 極限思想 相同屬性1時(shí)間 時(shí)間跨度大 時(shí)間跨度小2空間 一維性 多維性3方向 循環(huán)往復(fù) 單向前進(jìn)4方法 從整體到局部再到整體 無限逼近 恒等轉(zhuǎn)化5變化速率 量的積累 質(zhì)的飛躍 逐步逼近6抽象程度 抽象程度低 抽象程度高 無限細(xì)分7感知程度 可以進(jìn)行具體感知 無法進(jìn)行具體體驗(yàn)10 對(duì)應(yīng)案例 頻率、割圓術(shù) 概率、微積分

序號(hào) 維度 逐次漸進(jìn)方法 極限思想 相同屬性8思維傾向 一種觀念 一種方法9 內(nèi)涵和外延 內(nèi)涵小外延大 內(nèi)涵大外延小10 對(duì)應(yīng)案例 頻率、割圓術(shù) 概率、微積分

三、逐次漸進(jìn)思想與極限思想碰撞的火花

（一）從頻率到伯努利大數(shù)定律

逐次漸進(jìn)方法為我們探究新的數(shù)學(xué)問題提供了全新的理念。例如在研究隨機(jī)現(xiàn)象的可能性大小時(shí)，實(shí)際中我們不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，所以數(shù)學(xué)家們才利用逐次漸進(jìn)的思想從經(jīng)驗(yàn)上升到理論，根據(jù)規(guī)律總結(jié)出事物的本質(zhì)屬性；于是從頻率的穩(wěn)定性出發(fā)給出了表征事件大小的概率的定義[6]，見表1。

表1 頻率的穩(wěn)定性

這就是著名的投擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，由此得出一個(gè)概率論中非常重要的設(shè)想：“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)N逐漸增大時(shí)，頻率總是在概率附近波動(dòng)”。瑞士數(shù)學(xué)家雅各布（伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705），概率論的先驅(qū)之一，在他的著作《猜度術(shù)》一書中論證了這一設(shè)想，后人稱之為伯努利大數(shù)定律，如下所示；值得一提的是這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。

（二）從“割圓術(shù)”到微積分的創(chuàng)立

“割圓術(shù)”到微積分是研究中西數(shù)學(xué)文化大碰撞的重要文化瑰寶；蘊(yùn)含了深邃的極限思想。三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年-公元295年）在著作《九章算術(shù)注》稱：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之有割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。正是由于其采用了極限的這種無限逼近的思想方法，才能夠得到無比精確的計(jì)算答案，從而為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完備的算法。動(dòng)態(tài)的二分演化過程使得劉徽精密而又龐大的計(jì)算迅猛加速。

微積分的創(chuàng)立把逐步逼近的思想符號(hào)化并加速到抽象的“無窮”；直接引發(fā)了數(shù)學(xué)的第二次危機(jī)。因?yàn)?7世紀(jì)無窮小量并沒有準(zhǔn)確統(tǒng)一的表達(dá)形式，數(shù)學(xué)家靠著非嚴(yán)格論證的數(shù)學(xué)想象力，使得微積分在運(yùn)用上取得了廣泛成效。隨之而來的是微積分如何完備的理論探討，從牛頓直接思維的模糊性到清晰的理論邏輯化，經(jīng)歷了近兩百年。于是極限作為微積分的理論基礎(chǔ)孕育而生，而極限又以唯物辯證法的哲學(xué)觀作為理論基礎(chǔ)。微積分是‘?dāng)?shù)學(xué)分析法’的開端，是集合論的基礎(chǔ)，使‘實(shí)數(shù)論’的研究得以更加的深入?？偠灾?，微積分的創(chuàng)立開辟了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元，它極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的發(fā)展，滲透到近現(xiàn)代自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，深刻地改變了人類的物質(zhì)生活，大大提升了人類探索世界的能力。

四、小結(jié)

從隨機(jī)試驗(yàn)的頻率到概率，從中國(guó)的割圓術(shù)到微積分；逐次漸進(jìn)思想和極限思想在其中發(fā)揮了巨大的作用，更為重要的是這些理論成果背后的思維力量。對(duì)于學(xué)生的教育而言，教師在教學(xué)過程中要注重思維的培養(yǎng)與正確引導(dǎo)，利用科學(xué)、合理的方法全面激活學(xué)生的思維意識(shí)，也要巧妙“挖坑”讓學(xué)生“跳”，時(shí)學(xué)生在探索過程中自主地發(fā)揮智力與潛能，激發(fā)他們的求知欲，增長(zhǎng)他們的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生的思維在知識(shí)的海洋中遨游。在不斷提煉問題本質(zhì)過程中，引發(fā)學(xué)生思維意識(shí)和求知欲打開學(xué)生思路，體會(huì)數(shù)學(xué)的邏輯之美，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和推理能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力。為數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生更好地立足競(jìng)爭(zhēng)激烈的社會(huì)中，銳意進(jìn)取，突破極限，創(chuàng)造更多社會(huì)價(jià)值打牢基礎(chǔ)。