基于概率統(tǒng)計(jì)理論的鐵路橋梁損傷識(shí)別方法

陳一凡，孫利民,2

（1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

1 引言

基于概率統(tǒng)計(jì)的方法已被廣泛應(yīng)用于檢測(cè)結(jié)構(gòu)損傷。由概率密度函數(shù)擬合響應(yīng)分布，然后比較各種損傷狀況下分布函數(shù)的變化，可以評(píng)估結(jié)構(gòu)狀態(tài)。然后，建立損傷因子的置信區(qū)間來(lái)評(píng)估損傷程度，可以顯著改善運(yùn)營(yíng)養(yǎng)護(hù)決策。其他的研究利用統(tǒng)計(jì)理論來(lái)分析監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，并從分析結(jié)果中提取損傷指標(biāo)。一些研究直接從監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中獲取統(tǒng)計(jì)指標(biāo)作為損傷指標(biāo)，例如峰、均值、均方根、方差、標(biāo)準(zhǔn)差以及偏度等，但是，它們的性能會(huì)受到環(huán)境因素的影響。因此，一些研究通過(guò)消除溫度效應(yīng)和交通效應(yīng)等的影響，從處理后的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中提取統(tǒng)計(jì)損傷指標(biāo)。此外，直接使用原始數(shù)據(jù)來(lái)重構(gòu)所需數(shù)據(jù)也是一個(gè)很好地解決方案，可以從新的數(shù)據(jù)集中提取統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以估計(jì)損傷程度。

2 基本理論

本研究進(jìn)一步利用鐵路列車過(guò)橋過(guò)程中的梁端傾角時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，首先進(jìn)行車軌橋耦合振動(dòng)計(jì)算以獲取橋梁響應(yīng)。對(duì)于車軌橋振動(dòng)系統(tǒng)，可將車輛視為一個(gè)子系統(tǒng)，軌道及橋梁視為另一個(gè)子系統(tǒng)，車輛子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

軌道及橋梁子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

借助于同濟(jì)大學(xué)李奇教授團(tuán)隊(duì)編制的控制臺(tái)程序VBC2.0，利用龍格庫(kù)塔法可以數(shù)值求解橋梁梁端處的傾角時(shí)程α(t)，通過(guò)改變輸入的車速得到不同的時(shí)程序列 α(t)：

即不同傾角時(shí)程序列間的差異僅由輸入車速不同引起。隨后提取每段時(shí)程序列中的最值指標(biāo)作為它們的特征θ，即各傾角時(shí)程絕對(duì)值最大的n個(gè)值的平均值：

式中n為第i個(gè)車速下橋梁發(fā)生自由衰減振動(dòng)之前時(shí)程數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)的1/300，可通過(guò)以下簡(jiǎn)單計(jì)算得到：

式中l(wèi)為軌道總長(zhǎng)，l為列車總長(zhǎng)，v為第i個(gè)列車行駛速度，t為時(shí)間步長(zhǎng)。

此時(shí)建立了車速與時(shí)程特征的映射關(guān)系：

不同鐵路列車經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的速度值可以視為在某個(gè)區(qū)間內(nèi)隨機(jī)出現(xiàn)，因此本研究假設(shè)經(jīng)過(guò)橋上某點(diǎn)的車速服從某種特定的分布p(v)，根據(jù)上述速度—傾角的映射關(guān)系可以得到傾角的概率密度：

由于傾角θ的分布p與速度、結(jié)構(gòu)狀態(tài)間的關(guān)系難以直接解析表達(dá)，故通過(guò)蒙特卡洛方法獲取結(jié)構(gòu)參數(shù)改變后結(jié)構(gòu)傾角的近似概率密度。用隨機(jī)抽樣的方法獲得一系列服從某分布的速度序列{v}，再利用上述映射關(guān)系可得傾角的隨機(jī)序列{θ}。當(dāng)樣本數(shù)量足夠多時(shí)，該傾角的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可近似認(rèn)為是其概率密度。

最后本研究定義了統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：

式中n為核密度估計(jì)劃分區(qū)間數(shù)，θ為區(qū)間中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傾角指標(biāo)值，f為擬合曲線上對(duì)應(yīng)于θ的擬合值。

通過(guò)對(duì)比分析損傷前后的損傷指標(biāo)差異便可得出結(jié)構(gòu)損傷初步結(jié)論。

3 數(shù)值模擬

3.1 獲取響應(yīng)數(shù)據(jù)

本研究主要的研究對(duì)象是鐵路32m標(biāo)準(zhǔn)跨徑簡(jiǎn)支梁橋。本文使用ANSYS建立該橋的有限元模型，選用beam4單元作為主梁?jiǎn)卧瑔卧獢?shù)量為32，模型其他參數(shù)為：橋長(zhǎng)L=32m，彈性模量E=3.5e10Pa，截面慣性矩I=11.2m,密度 ρ=2500kg/m。

軌道模型方面，本文采用單層軌道模型模擬車橋之間的彈性作用，相關(guān)參數(shù)為：軌道豎向剛度k=0.75e8N/m，粘滯阻尼系數(shù)ξ=0.9e5N/(m/s)。

車輛模型方面，本文采用二系懸掛模型模擬列車，并采取一動(dòng)＋三拖＋一動(dòng)＋三拖共8節(jié)車廂的列車編組方式，以模擬現(xiàn)實(shí)情況中客運(yùn)列車的編組。整個(gè)車橋系統(tǒng)的示意圖，見圖1所示。

圖1 車軌橋系統(tǒng)示意圖

列車運(yùn)行速度方面，列車保持勻速行駛，并使計(jì)算程序按照{(diào)200 km/h，201 km/h，202 km/h，…，300 km/h}共 100個(gè)速度進(jìn)行100次計(jì)算。時(shí)間步長(zhǎng)方面，預(yù)設(shè)響應(yīng)輸出時(shí)間步長(zhǎng)為0.001s，時(shí)間步長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不收斂。

為進(jìn)行各種工況下的對(duì)比分析，本研究設(shè)計(jì)了以下6種橋梁主梁剛度損傷工況（如表1）。

損傷工況定義 表1

橋梁無(wú)損情況下兩種車速對(duì)應(yīng)的梁端傾角時(shí)程曲線，見圖2所示。

圖2 傾角時(shí)程曲線

此時(shí)可以建立列車速度與傾角指標(biāo)之間的映射關(guān)系，利用三次方樣條插值法可作出插值曲線，見圖3所示。

圖3 列車行駛速度v與傾角指標(biāo)"θ"的映射關(guān)系

3.2 隨機(jī)車速模擬

假設(shè)車速遵循某種特定的概率分布，借助于MATLAB產(chǎn)生10000個(gè)服從該分布的隨機(jī)數(shù)。結(jié)合上文中提到的列車速度與傾角指標(biāo)之間的映射關(guān)系，可以獲取橋梁的傾角響應(yīng)數(shù)據(jù)。在本項(xiàng)研究中，選擇β分布作為列車速度的概率分布。

β分布的概率密度函數(shù)的形狀由參數(shù)α和β決定，合理取值可以使隨機(jī)數(shù)覆蓋可能的車速范圍。本研究選取四組分布參數(shù)，其中x服從(0,1)上的均勻分布：

考慮到車速變化范圍的廣泛性，將β分布與均勻分布的和作為目標(biāo)分布。

那么車速服從的分布，見圖4所示。

圖4 車速的目標(biāo)分布

3.3 抽樣結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析

得到速度隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)后，即可根據(jù)車速—傾角映射關(guān)系獲得關(guān)于傾角的隨機(jī)分布數(shù)據(jù)。為了更好對(duì)比各分布之間的差別，本文利用核密度估計(jì)對(duì)兩種情況下的傾角數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)。

其中 x，x，…，x是獨(dú)立同分布F的不同采樣點(diǎn)，f為概率密度函數(shù)，K為kernel函數(shù)，本文選用高斯核函數(shù)，h為帶寬，采用MATLAB中的默認(rèn)值。

擬合曲線如圖5所示。

圖5 傾角指標(biāo)θ的分布

圖5中圖例(a)代表車速服從Beta分布2及橋梁損傷情況為損傷工況1。為量化該擬合的優(yōu)度，引入指標(biāo)R-square：

各分布及各工況下的擬合效果如表2所示。

不同狀況下的R-square 表2

表2數(shù)據(jù)顯示，各工況下的擬合優(yōu)度均超過(guò)0.9，即擬合效果良好，所以可以通過(guò)分析擬合曲線獲取感興趣的信息。圖5中的擬合曲線已經(jīng)直觀地展現(xiàn)出損傷前后傾角分布的差異：傾角概率分布密度左側(cè)兩個(gè)峰值的高低關(guān)系發(fā)生了置換，同時(shí)受損狀況下第三個(gè)峰值相對(duì)于無(wú)損狀況要高。這些變化均表明了在其他條件不變的情況下橋梁已經(jīng)發(fā)生了損傷。

為了量化損傷前后分布曲線的變化，分別計(jì)算各分布及各工況下?lián)p傷指標(biāo)Φ的數(shù)值，見表3所示。

不同狀況下的損傷指標(biāo)值 表3

通過(guò)上表的數(shù)據(jù)可知，無(wú)論原始車速服從的是四種分布中的哪一種，損傷指標(biāo)的數(shù)值均隨著損傷程度的增大而增大。這是因?yàn)殡S著損傷程度增大，橋梁產(chǎn)生更大傾角的可能性提高，又結(jié)合該損傷指標(biāo)的構(gòu)成特點(diǎn)，其數(shù)值會(huì)隨之變大。為進(jìn)一步了解該損傷指標(biāo)的敏感性，本文還計(jì)算了各種損傷工況下相對(duì)于原始狀態(tài)的敏感度，即：

上式中i為第i個(gè)工況，Φ為無(wú)損情況下?lián)p傷指標(biāo)值。計(jì)算結(jié)果見表4所示。

損傷指標(biāo)的敏感性分析 表4

分析表4數(shù)據(jù)可知，該損傷指標(biāo)對(duì)損傷的敏感程度隨損傷加劇不斷提高，同時(shí)與目標(biāo)分布有關(guān)，在服從分布1的情況下對(duì)損傷最不敏感，在服從分布3的情況下對(duì)損傷最敏感。同時(shí)，該指標(biāo)對(duì)1/4跨處產(chǎn)生損傷的敏感性整體上要大于在跨中產(chǎn)生的損傷。

4 總結(jié)與展望

本文提出了一種基于概率統(tǒng)計(jì)理論的損傷指標(biāo)，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了該指標(biāo)的有效性，該方法可以根據(jù)梁端傾角的統(tǒng)計(jì)信息推測(cè)橋梁的健康狀況，具有實(shí)施方便、簡(jiǎn)單易行、結(jié)果直觀的優(yōu)點(diǎn)。通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的分析，總結(jié)如下：

①橋梁某處發(fā)生損傷時(shí)，結(jié)構(gòu)自身的剛度減小，在相同行車條件下橋梁的響應(yīng)會(huì)隨之變大，且隨著損傷程度增大，橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也將進(jìn)一步變大；

②本文提出的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)是對(duì)大量橋梁響應(yīng)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述，可以反映鐵路橋梁長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)所產(chǎn)生海量數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特性的改變，并以此為初步判斷損傷產(chǎn)生的依據(jù)，指導(dǎo)大量中小跨徑簡(jiǎn)支梁橋的運(yùn)營(yíng)養(yǎng)護(hù)工作；

③本文假設(shè)車速服從β分布，通過(guò)數(shù)值模擬的方式獲取結(jié)構(gòu)在無(wú)損狀況下的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，同時(shí)設(shè)立了多個(gè)損傷工況展開對(duì)比研究，但缺乏針對(duì)實(shí)驗(yàn)或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，需要進(jìn)一步研究該統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在處理真實(shí)響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)的適用性，使結(jié)論更具有實(shí)際的參考價(jià)值。