譜配置法求解常微分方程初值問題的超收斂性

錢軼昀 查媛媛 蔡康文 劉艷勤 王心怡 易利軍

摘 ?要： 研究了常微分方程初值問題的譜配置方法. 針對一階和二階線性常微分方程初值問題，基于Legendre-Gauss點(diǎn)提出了相應(yīng)的譜配置方法，并給出了具體的計(jì)算格式. 最后，通過一些數(shù)值算例探討了所提Legendre-Gauss譜配置方法的超收斂性.

關(guān)鍵詞： 譜配置法; 初值問題; 超收斂

中圖分類號： O 241.8 ???文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ???文章編號： 1000-5137（2021）01-0001-07

Abstract： In this paper，we study the spectral collocation method for the initial value problems of ordinary differential equations.Based on Legendre-Gauss points，we propose the spectral collocation method for the initial value problems of first-order and second-order. We also give the specific computation form for our method. Finally，to explain the superconvergence properties of the Legendre-Gauss spectral collocation method. We discuss several numerical examples.

Key words： spectral collocation method; initial value problem; superconvergence

0 ?引 言

譜方法是求解偏微分方程的一類重要數(shù)值方法，它已被廣泛應(yīng)用于科學(xué)及工程計(jì)算的眾多領(lǐng)域[1-4].譜方法的最大魅力在于它具有所謂的“譜精度”，即如果原方程的精確解越光滑，那么近似解將以的任意冪次速度收斂于精確解，其中為基函數(shù)的個(gè)數(shù).由于譜方法具有高精度，它在微分方程時(shí)間離散上的應(yīng)用備受關(guān)注.特別地，文獻(xiàn)[5-8]的作者提出了求解非線性常微分方程初值問題的一系列譜配置方法，并討論了其收斂性.

眾所周知，利用有限元方法求解微分方程時(shí)會出現(xiàn)所謂的“超收斂”現(xiàn)象，即數(shù)值誤差在某些特殊點(diǎn)處的收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于整體誤差的收斂速度，這些特殊點(diǎn)則稱之為超收斂點(diǎn).目前有關(guān)有限元方法的超收斂研究已經(jīng)非常成熟[9-11]，但關(guān)于譜方法的超收斂研究并不多見，僅有少量的文獻(xiàn)如[12-14]等報(bào)道過.文獻(xiàn)[15-16]詳細(xì)地討論了各種高階譜插值的超收斂性質(zhì)，但沒有討論相應(yīng)譜配置法的超收斂性.

將針對上述問題，基于Legendre-Gauss點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的譜配置方法，給出具體的計(jì)算格式.將數(shù)值解按照Legendre多項(xiàng)式序列展開，然后在頻率空間中求解展開式系數(shù).最后將通過一些數(shù)值算例探討Legendre-Gauss譜配置法的超收斂現(xiàn)象，并找出相應(yīng)的超收斂點(diǎn).

本文第1節(jié)將首先介紹Legendre多項(xiàng)式及其相關(guān)性質(zhì)，然后針對問題（1）和（2）分別提出了相應(yīng)的Legendre-Gauss譜配置方法，并給出了具體的計(jì)算形式.在第2節(jié)中通過兩個(gè)數(shù)值算例展示了Legendre-Gauss譜配置法的高精度性，并基于數(shù)值結(jié)果探討了該方法的超收斂性，找到了數(shù)值解的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂點(diǎn).最后將對全文進(jìn)行總結(jié).

1 ?Legendre譜配置方法

1.1 Legendre多項(xiàng)式及其性質(zhì)

1.2 Legendre譜配置法的數(shù)值格式

1.2.1 一階初值問題的Legendre譜配置法

1.2.2 二階初值問題的Legendre譜配置法

設(shè)為上不超過次的多項(xiàng)式集合，則問題（2）的Legendre譜配置法的數(shù)值格式為，尋找，使得它滿足條件

2 ?基于數(shù)值算例的超收斂性探討

2.1 一階初值問題

考慮變系數(shù)一階線性常微分方程初值問題

其中，真解利用Legendre譜配置格式（8）求解該問題.分別選取和，然后采用不同的進(jìn)行求解.將數(shù)值解的絕對誤差繪制成曲線，如圖1和圖2所示，可以看到隨著的增大，數(shù)值誤差呈指數(shù)下降趨勢.

接下來考察導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂性.取，分別考慮和（共有個(gè)Legendre-Gauss點(diǎn)）的情形，將導(dǎo)數(shù)值誤差繪制曲線，如圖3和圖4所示，可以看到，在個(gè)Legendre-Gauss點(diǎn)處（恰為格式（8）的譜配置點(diǎn)），導(dǎo)數(shù)值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些配置點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂點(diǎn).

最后考慮函數(shù)值逼近的超收斂性，仍然以，以及和9為例，可以看到在個(gè)Legendre-Gauss-Lobatto點(diǎn)處（即的零點(diǎn)，包括個(gè)內(nèi)點(diǎn)和2個(gè)端點(diǎn)）函數(shù)值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂點(diǎn).

2.2 二階初值問題

考慮變系數(shù)二階線性常微分方程初值問題其真解為.

利用Legendre譜配置格式（12）求解該問題.分別選取，，然后采用不同的進(jìn)行求解，將數(shù)值解的絕對誤差繪制曲線，如圖7和圖8所示，可以看到，隨著的增大，數(shù)值誤差呈指數(shù)下降趨勢.

接下來考察導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂性，取，分別考慮和（共有個(gè)Legendre-Gauss點(diǎn)）的情形，將導(dǎo)數(shù)值誤差繪制曲線，如圖9和圖10所示，可以看到在個(gè)Legendre-Gauss-Lobatto點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)值逼近的超收斂點(diǎn).

最后考慮函數(shù)值逼近的超收斂性，仍然取，分別考慮和的情形.從圖11和圖12可以看到，在權(quán)為2的Jacobi-Gauss點(diǎn)（即Jacobi多項(xiàng)式的零點(diǎn)）和兩個(gè)端點(diǎn)處，函數(shù)值的誤差非常小，幾乎接近0，因此這些點(diǎn)為函數(shù)值逼近的超收斂點(diǎn).

3 ?結(jié) 論

本文作者提出了求解一階與二階線性常微分方程初值問題的 Legendre譜配置法，該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：數(shù)值格式簡單、編程容易、計(jì)算精度高，且很容易推廣到非線性常微分方程初值問題的計(jì)算.通過數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)，Legendre譜配置法在求解上述常微分方程初值問題時(shí)具有超收斂性，具體總結(jié)如下：

1） 對于一階線性常微分方程初值問題，若采用個(gè)Legendre-Gauss配置點(diǎn)，則函數(shù)值誤差在個(gè)Legendre-Gauss-Lobatto點(diǎn)處具有超收斂性，而導(dǎo)數(shù)值誤差恰在個(gè)Legendre-Gauss點(diǎn)（即配置點(diǎn)）處具有超收斂性.

2） 對于二階線性常微分方程初值問題，若采用個(gè)Legendre-Gauss配置點(diǎn)，則函數(shù)值誤差在個(gè)點(diǎn)（包括2個(gè)端點(diǎn)和Jacobi多項(xiàng)式的零點(diǎn)）處具有超收斂性，而導(dǎo)數(shù)值誤差在個(gè)Legendre-Gauss-Lobatto 點(diǎn)處具有超收斂性.

應(yīng)當(dāng)指出，上述有趣的超收斂現(xiàn)象還缺乏理論證明，這也是今后的研究方向之一.

參考文獻(xiàn)：

[1] BERNARDI C，MADAY Y.Spectral Methods [M]//Handbook of Numerical Analysis.Amsterdam：North-Holland，1997.

[2] CANUTO C，HUSSAINIM Y，QUARTERONI A，et al.Spectral Methods：Fundamentals in Single Domains [M].Berlin：Springer-Verlag，2006.

[3] GUO B Y.Spectral Methods and Their Applications [M].Singapore：World Scientific，1998.

[4] SHEN J，TANG T，WANG L L.Spectral Methods：Algorithms，Analysis and Applications [M].Berlin：Springer-Verlag，2011.

[5] GUO B Y，WANG Z Q.Legendre-Gauss collocation methods for ordinary differential equations [J].Advances in Computational Mathematics，2009，30（3）：249-280.

[6] GUO B Y，YAN J P.Legendre-Gauss collocation method for initial value problems of second order ordinary differential equations [J].Applied Numerical Mathematics，2009，59（6）：1386-1408.

[7] GUO B Y，WANG Z Q.A spectral collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J].Discrete and Continuous Dynamical Systems：Series B，2010，14（3）：1029-1054.

[8] WANG Z Q，GUO B Y.Legendre-Gauss-Radau collocation method for solving initial value problems of first order ordinary differential equations [J]. Journal of Scientific Computing，2012，52（1）：226-255.

[9] 朱起定，林群.有限元超收斂理論 [M].長沙：湖南科技出版社，1989.

ZHU Q D，LIN Q.The Hyperconvergence Theory of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，1989.

[10] WAHLBIN L B.Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods [M].Berlin：Springer-Verlag，1995.

[11] 陳傳淼.有限元超收斂構(gòu)造理論 [M].長沙：湖南科技出版社，2001.

CHEN C M.Structure Theory of Super Convergence of Finite Elements [M].Changsha：Hunan Science and Technology Publishing House，2001.

[12] ZHANG Z M.Superconvergence of spectral collocation and p-version methods in one dimensional problems [J].Mathematics of Computation，2005，74（252）：1621-1636.

[13] ZHANG Z M.Superconvergence of a Chebyshev spectral collocation method [J].Journal of Scientific Computing，2008，34（3）：237-246.

[14] YI L J，GUO B Q.Superconvergence of the h-p version of the finite element method in one dimension [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，233（2）：150-164.

[15] ZHANG Z M.Superconvergence points of polynomial spectral interpolation [J].SIAM Journal on Numerical Analysis，2012，50（6）：2966-2985.

[16] WANG L L，ZHAO X D，ZHANG Z M.Superconvergence of Jacobi-Gauss-type spectral interpolation [J].Journal of Scientific Computing，2014，59（3）：667-687.

（責(zé)任編輯：馮珍珍）