基于改進NSGA-Ⅱ算法的碟式斯特林系統(tǒng)多目標優(yōu)化研究

黨根葉，蘇宏升**，車玉龍,2

(1. 蘭州交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756)

在化石能源發(fā)展受限與環(huán)境污染問題凸顯的今天，對能源的需求以及用于生產(chǎn)能源的化石燃料的價格預(yù)計將持續(xù)增長. 節(jié)能是節(jié)約稀缺能源的重要手段之一，同時還須減少發(fā)電過程中廢氣的排放量. 在可再生能源技術(shù)中，斯特林發(fā)動機以其高性能而備受關(guān)注. 與其他往復(fù)式熱機相比，斯特林發(fā)動機的理論效率更接近卡諾效率，且具有燃料適應(yīng)性強、運行特性好和結(jié)構(gòu)簡單等特點，已廣泛應(yīng)用于非常規(guī)熱源發(fā)電[1-2].

在斯特林發(fā)動機熱力學(xué)研究方法中，一般通過建立基于熱力學(xué)原理的斯特林機數(shù)值模型分析和預(yù)測斯特林熱機的性能. 目前，常用的建立模型方法包括有限時間熱力學(xué)、有限速度熱力學(xué)和多元數(shù)值模擬的熱力學(xué)模型. Li等[3]利用有限時間熱力學(xué)優(yōu)化太陽能斯特林熱機，研究了系統(tǒng)接收器溫度、聚光器的集中比、回熱器效率及冷熱源之間的熱泄露系數(shù)等設(shè)計參數(shù)對斯特林發(fā)動機效率的影響. Tlili等[4]利用有限時間熱力學(xué)建立了不可逆式斯特林熱機的熱力學(xué)模型， 研究了回熱器效率、冷/熱源熱容率及體積比對最大功率和最大功率點處的效率的影響，結(jié)果得到冷/熱源熱容率及體積比只對輸出功率有影響，回熱器效率只對系統(tǒng)熱效率有影響. Hosseinzade等[5]基于多元有限速度熱力學(xué)模擬了斯特林發(fā)動機的一種新的閉式解析熱模型，分別研究了不同壓力、不同溫度下的轉(zhuǎn)速以及發(fā)動機參數(shù)對輸出功率和效率的影響. Ahmadi等[6]采用有限速度熱力學(xué)分析研究斯特林熱機，分析了熱源溫度、再生效率、容積比、活塞沖程和轉(zhuǎn)速等因素的影響，計算了最佳轉(zhuǎn)速下的最大輸出功率，同時研究了最佳轉(zhuǎn)速下的壓力損失對斯特林發(fā)動機的影響. 此外，Babaelahi等[7]以斯特林發(fā)動機為研究對象，建立了一種基于多元數(shù)值模擬的新型熱力學(xué)模型. 在加熱器、冷卻器和回熱器中考慮了回熱器非理想熱回收和液壓壓降的影響，最后提出了一種新的多元分析模型，將具有不同損失機理用于斯特林發(fā)動機樣機，并與以往的熱模型和實驗結(jié)果進行了比較.

近年來，斯特林熱機的多目標優(yōu)化得到廣泛重視. 為了使斯特林熱機更加高效運行，要求各個目標能夠同時達到最優(yōu)，且能夠同時滿足多個不同甚至相互矛盾的目標，得到一個帕累托最優(yōu)解集. 對于給定的帕累托最優(yōu)集，目標空間中相應(yīng)的目標函數(shù)值稱為帕累托邊界. Campos等[8]對斯特林發(fā)動機進行了熱力學(xué)優(yōu)化，建立了發(fā)動機的數(shù)學(xué)模型，并利用該模型對斯特林循環(huán)效率進行了優(yōu)化.Ahmadi等[9]提出了一種基于混合遺傳算法和粒子群優(yōu)化的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的太陽能斯特林熱機功率估計模型，研究了回熱效率、入口溫度及工質(zhì)溫度對系統(tǒng)功率和效率的影響，并得到了相應(yīng)的功率和效率. 此外，Ahmadi等[10]采用多目標進化算法研究熱機的不可逆過程熱力學(xué)分析和性能優(yōu)化.Duan等[11]采用粒子群算法對斯特林發(fā)動機的功率輸出、熱效率和循環(huán)不可逆性參數(shù)進行優(yōu)化分析. Punnathanam等[12]研究了基于前端陰陽極對斯特林發(fā)動機系統(tǒng)多目標優(yōu)化，在3種不同的場景中分析優(yōu)化輸出功率、熱效率、熵產(chǎn)率及壓降等目標. 戴東東等[13]對斯特林發(fā)動機進行了有限時間熱力學(xué)分析，在線性唯象傳熱定律的基礎(chǔ)上，采用多目標遺傳算法對其效率、功率以及生態(tài)學(xué)性能函數(shù)進行三目標同時優(yōu)化. 以上對于斯特林熱機的研究在模型建立、參數(shù)分析和算法優(yōu)化等方面取得了一定成果，但目前仍然存在以下問題：①斯特林熱機的高低溫熱源的等溫吸熱和等溫放熱難以實現(xiàn)，回熱器回熱不完全，模型建立做了簡化處理；②熱機熱量損失和機械摩擦大，對工質(zhì)密封技術(shù)要求高；③用多目標算法優(yōu)化相應(yīng)的目標函數(shù)時，存在易陷入局部最優(yōu)、算法的收斂速度慢和解的分布性差等現(xiàn)象.

基于以上的分析及存在問題，本文考慮不可逆性的有限時間熱力學(xué)模型，且通過改進的快速非支配遺傳算法對斯特林發(fā)動機的輸出功率、效率及壓降進行研究. 首先，考慮冷熱源之間的熱漏、回熱損失及各種機械摩擦損失，建立斯特林機輸出功率、效率及壓降的數(shù)學(xué)模型；然后，對多目標快速非支配遺傳算法的選擇算子和精英保留策略進行改進； 最后，選取11個參數(shù)作為決策變量，用改進后的算法對斯特林機的輸出功率-壓降、效率-壓降及輸出功率-效率-壓降分別進行兩目標和三目標優(yōu)化，并分析了11個決策變量在優(yōu)化過程中的分布情況，利用TOPSIS決策方法從Pareto邊界的可用解中選擇最終最優(yōu)解.

1 碟式斯特林機熱力學(xué)模型

斯特林發(fā)動機是一種外部加熱的閉式循環(huán)發(fā)動機，通常分為熱腔、加熱器、回熱器、冷卻器和冷腔5個部分. 理想的斯特林發(fā)動機循環(huán)過程由兩個等溫過程和兩個等容過程組成，具體過程如圖1所示. 圖中1→2是等溫壓縮過程，工質(zhì)在壓縮腔內(nèi)和冷源中分別保持在恒定的低溫Tc和TL，工質(zhì)流經(jīng)冷卻器時將壓縮產(chǎn)生的熱量散掉；2→3是等容吸熱過程，工質(zhì)在回熱器內(nèi)吸收熱量，溫度升高；3→4是等溫膨脹過程，工質(zhì)經(jīng)加熱器加熱，在熱腔中膨脹，溫度保持在Th；4→1是等容放熱過程，工質(zhì)在熱腔通過回熱器返回冷腔，回熱器吸收工質(zhì)的熱量，工質(zhì)溫度下降至Tc，并將熱量傳遞給回熱器，進行下一個循環(huán)過程.

圖1 斯特林循環(huán)的P-V和T-S關(guān)系曲線Fig. 1 P-V and T-S curve of Stirling cycle

在考慮循環(huán)不可逆性的基礎(chǔ)上，對斯特林熱機進行建模. 斯特林機的效率由卡諾效率可表示為

其中，ηc是卡諾效率，ηⅡ是第二定律效率，主要體現(xiàn)循環(huán)的不可逆性.

其中，TH是熱源溫度（K），ΔTH是熱源與工質(zhì)之間的溫差（K），TL是冷源溫度（K），ΔTL是冷源與工質(zhì)之間的溫差（K）.

其中， ηⅡ(Δp)是與壓降有關(guān)的不可逆性，ηⅡ(X) 是回熱過程的不可逆性.

其中，μ′是回熱過程的體積比，Δpt是不可逆過程中總壓降（kPa），p1是循環(huán)入口壓力（MPa），η′是回熱過程卡諾效率與第二定律效率的聯(lián)系.

其中，εr是回熱器效率，r是比熱容比，λ 是回熱過程體積比，τ 是溫度比，pm是發(fā)動機平均有效壓力（MPa）.

回熱過程的不可逆性為

其中，X是回熱器所有效率損失，a是調(diào)整系數(shù)；a=0.72，mg是氣體質(zhì)量（kg），mr是回熱器的質(zhì)量（kg），h是對流換熱系數(shù)，Ar是回熱器面積（m2），N是發(fā)動機的轉(zhuǎn)速（r·m-1），Cv是氣體等容比熱（J·kg-1·K-1），Cr是回熱器蓄熱材料比熱（J·kg-1·K-1）.

其中，R是氣體常量，其值為 (8.314 J·kg-1·K-1)，s是活塞行程（m2·s-1），Cp是氣體等壓比熱（J·kg-1·K-1），v是運動粘度（m2·s-1），b是回熱器導(dǎo)線距離（m），d是回熱器導(dǎo)線直徑（m），Dr是回熱器直徑（m），Pr是普朗特數(shù)，L是回熱器長度（m），ρ 是密度（kg·m-3）.

斯特林機的輸出功率為

其中，η 是斯特林機效率，Qw是工質(zhì)的熱量.

其中，qh是熱源與工質(zhì)之間釋放的熱量（J），Δqr是循環(huán)中的回熱損失（J），Δpv是活塞運動摩擦壓降（kPa），Δpr是熱機回熱器發(fā)生摩擦?xí)r的壓降，Δpf是熱機不同部位的機械摩擦的壓降（kPa），f是摩擦系數(shù).

其中，Dc是活塞直徑（m），nr回熱器芯網(wǎng)數(shù). 因此，斯特林機總的壓降為

2 多目標優(yōu)化算法及決策方法

2.1 多目標優(yōu)化在多目標優(yōu)化問題中，各個目標之間相互制約，可能使得一個目標性能的改善往往是以損失其它目標性能為代價，不可能存在一個使所有目標性能都達到最優(yōu)的解. 因此，對于多目標優(yōu)化問題，其解通常是一個非劣解的集合（Pareto最優(yōu)集），相應(yīng)的目標函數(shù)的值稱為Pareto前沿.Pareto前沿有一個理想的目標向量Zi和非理想的目標向量Zn，分別為Pareto最優(yōu)解的目標函數(shù)值定義的上界和下界. 如圖2所示，給出了優(yōu)化兩個目標函數(shù)f1和f2的Pareto前沿.

圖2 多目標優(yōu)化的Pareto前沿Fig. 2 Pareto frontier of multi-objective optimization

2.2 改進快速非支配排序遺傳算法NSGA-Ⅱ是一種帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法，該方法采用了快速非支配排序算子優(yōu)化計算復(fù)雜度，精英策略防止最佳個體遺失和擁擠度比較算子優(yōu)化種群多樣性[14-15]. 此外，擁擠度只能反映與個體最鄰近的兩個個體之間的距離，并不能有效反映出該個體的密度情況，很容易陷入局部收斂. 因此本文在快速非支配排序遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithms Ⅱ，NSGA-Ⅱ)的基礎(chǔ)上引入改進的選擇算子和改進的精英搜索策略，提出改進型的NSGA-Ⅱ算法解決局部最優(yōu)、提高收斂速度和保證解的多樣性.

2.2.1 改進的選擇算子 為了保證種群多樣性，加快收斂速度，本文引入平均距離聚類的選擇算子對種群進行選擇. 平均距離聚類是將整個種群通過平均距離均勻劃分為多個小種群，對于規(guī)模為n的種群P，其第j個目標函數(shù)的平均距離為

其中，V為小種群中個體數(shù)量，fj,max和fj,min分別為第i個目標函數(shù)的最大值和最小值.

個體i所在的小種群中其他個體的確定，若個體j與i在同一個小種群內(nèi)，則個體j應(yīng)滿足

其中，fi,max和fi,min分別為i小種群中所有個體目標函數(shù)的上下界，M為目標函數(shù)的個數(shù).

將平均距離聚類用于選擇算子選擇個體時，對隨機的個體xi和xj，判斷其支配關(guān)系，若存在支配關(guān)系，則通過擁擠度距離選擇較優(yōu)個體，若不存在支配關(guān)系，比較小種群內(nèi)個體數(shù)量，選擇個體數(shù)量少的個體，若個體數(shù)量相同，則隨機選取其一. 利用平均距離聚類可有效判斷不存在支配關(guān)系的個體，能夠避免選擇擁擠度距離大的個體，保證種群多樣性.

2.2.2 改進的精英保留策略 由于精英保留策略在保留的過程中會有大量冗余的個體保留到下一代，進化繁殖會產(chǎn)生大量相似個體覆蓋整個種群，造成早熟收斂. 因此，對精英保留策略在原有基礎(chǔ)上加以改進，在父代和子代組成2n種群規(guī)模中保留第一非支配層級的非支配解的個體，對其他非支配層個體的選取提出一種按比例選擇的方式進行選取，最終使得新種群的個體為n. 不同級層的非支配層個體選取規(guī)則為

其中，ni為第i層級選取的個體數(shù)目，K為種群非支配層級最大值，i為需要選取個體的層級編號.

具體的過程為父代和子代合并形成2n個種群，對合并后的種群快速非支配排序確定層級；然后對每個層級進行擁擠度計算，根據(jù)擁擠度值降序排序，遍歷第一非支配層級后，判斷新種群規(guī)模是否大于等于n. 若是，則對后面層級停止遍歷，除去多余個體，使種群規(guī)模為n. 若不是，則按照比例選擇的方式對選取后面層級的個數(shù)，最終保證種群規(guī)模為n.

2.2.3 INSGA-Ⅱ算法具體步驟

步驟1隨機產(chǎn)生規(guī)模為n初始種群P0；

步驟2快速非支配排序和擁擠度計算；

步驟3通過改進選擇算子選擇n個個體；

步驟4進行交叉變異產(chǎn)生子代種群Q0；

步驟5合并P0、Q0形成規(guī)模為2n種群Pt；

步驟6通過改進的精英保留策略，從Pt選擇n個個體組成新的父代種群Rt；

步驟7判斷是否達到最大迭代次數(shù)，達到則停止搜索，否則轉(zhuǎn)至步驟2.

2.3 TOPSIS決策方法在多目標優(yōu)化中，從可行解中選擇最終最優(yōu)解需要一個決策過程. 因而，決策過程需要通過決策方法從Pareto前沿選擇出最終的最優(yōu)解. 本文采用TOPSIS法對Pareto最優(yōu)解集進行決策. 在決策過程前，要對不同目標進行無量綱化處理，使目標空間的維數(shù)達到統(tǒng)一.

TOPSIS采用的是歐氏無量綱化. 在歐式無量綱化中，Pareto前沿上各個點構(gòu)成的目標矩陣用fij表示，其中i表示位于Pareto前沿上的每個點，j代表目標空間的維數(shù). 因此，無量綱化的目標矩陣定義為

在TOPSIS決策方法中，不僅有理想點還有非理想點. 理想點是該點的每個目標都達到了最優(yōu)，這在多目標優(yōu)化問題中不存在這樣的點. 非理想點是該點的每個目標都是最壞的，在實際中也不存在這樣的點. 因此，除了與理想點的解的距離之外，還利用與非理想點的解的距離作為選擇最終解的標準.

其中，di+為Pareto前沿上的點到理想點的距離，di-為Pareto前沿上的點到非理想點的距離，n為目標的個數(shù)，為第j個目標在單目標條件下的最優(yōu)值，為第j個目標在單目標條件下的最劣值.

綜合評價參數(shù)

使得Yi為最小值的解被選作最終解

3 目標函數(shù)、決策變量和約束條件

本文采用基于改進的快速非支配排序遺傳算法的多目標優(yōu)化方法，分別對兩目標(Pout-Δpt)、(η-Δpt)及三目標(Pout-η-Δpt)進行優(yōu)化.

確立的目標函數(shù)

采用11個決策變量N(r·m-1)、pm(MPa)、s(m)、nr、Dc(m)、Dr(m)、L(m)、TH(K)、TL(K)、ΔTH(K)、ΔTL(K)，分別表示發(fā)動機的轉(zhuǎn)速、發(fā)動機的平均循環(huán)壓力、活塞行程、回熱器芯網(wǎng)數(shù)、活塞直徑、回熱器的直徑、回熱器長度、熱源溫度、冷源溫度、熱源與工質(zhì)之間的溫差、冷源與工質(zhì)之間的溫差. 約束條件為：1200≤N≤3 000，0.69≤pm≤6.89，0.06≤s≤0.1，250≤nr≤400 ，0.05≤Dc≤0.14，0.02≤Dr≤0.06，0.006≤L≤0.073，800≤TH≤1 300，288≤TL≤360，64.2≤ΔTH≤237.6，5≤ΔTL≤25.

4 結(jié)果與討論

本文優(yōu)化使斯特林發(fā)動機的輸出功率和效率最大化，系統(tǒng)壓力損失最小化. 發(fā)動機的工況參數(shù)選擇如下：mg=1.135×10-3kg，R= 8.314 J/(mol·K)，ρ=8 030 kg/m3，Cr=502.48 J/(kg·K)，Cpg=5 193 J/(kg·K)，Cvg=3 115.6 J/(kg·K)，Nr=8，d=0.04 mm，b=0.068 8 mm，λ=1.2，ν=0.324 9 mm2/s，Pr=0.71，f=0.556.

將INSGA-Ⅱ算法應(yīng)用到碟式斯特林系統(tǒng)多目標、多約束問題中，算法流程圖如圖3所示. 在本文研究中，INSGA-Ⅱ算法多目標優(yōu)化參數(shù)選擇如表1所示.

圖3 INSGA-Ⅱ算法的系統(tǒng)多目標優(yōu)化流程圖Fig. 3 Multi objective optimization flow chart of INSGA-Ⅱalgorithm

表1 INSGA-Ⅱ算法多目標優(yōu)化參數(shù)Tab. 1 Multi objective optimization parameters of INSGA-Ⅱalgorithm

4.1 輸出功率-壓降優(yōu)化圖4為考慮輸出功率和壓降兩目標得到的Pareto前沿. 圖中，系統(tǒng)的壓力損失隨輸出功率的增加而增加. 表2為兩目標（Pout-Δpt）優(yōu)化結(jié)果與單目標優(yōu)化結(jié)果[12]的比較.從中可以看出，相比于單目標優(yōu)化功率，兩目標優(yōu)化功率雖然少了6.03 kW，但壓降降低了26.09 kPa. 因此，兩目標優(yōu)化的解是更理想的結(jié)果. 圖5（a）～（k）給出了兩目標（Pout-Δpt）情況下種群個數(shù)為300的決策變量的變化，對應(yīng)于圖4的Pareto的前沿.

圖4 Pout-Δpt 的Pareto前沿Fig. 4 Pareto front ofPout-Δpt

表2 兩目標(Pout-Δpt)優(yōu)化與單目標優(yōu)化結(jié)果對比Tab. 2 Optimization results comparison of two objective (Pout-Δpt) and single objective

圖5 (a)～(k)輸出功率-壓降的Pareto前沿對應(yīng)的設(shè)計變量分布Fig. 5 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of output power - pressure drop

從圖5（a）～（k）可以看出，決策變量TH、TL、s、Dr和L的最優(yōu)值在整個Pareto前沿幾乎是恒定的，Dc、ΔTH和ΔTL的分布在某些數(shù)據(jù)點上存在變化，而N、pm和nr在整個Pareto前沿的上下限之間連續(xù)變化. 因此，在兩目標（Pout-Δpt）的優(yōu)化中相互沖突的決策變量是N、pm和nr.

4.2 效率-壓降優(yōu)化圖6為考慮效率和壓降兩目標得到的Pareto前沿. 系統(tǒng)的壓力損失隨效率的增加而增加. 表3為兩目標（ η-Δpt）優(yōu)化結(jié)果與單目標優(yōu)化結(jié)果[12]的比較. 由表3可知，相比于單目標優(yōu)化效率，兩目標優(yōu)化效率提升了11.72%，但是壓降僅升高了3.61 kPa.

表3 兩目標(η-Δpt)優(yōu)化與單目標優(yōu)化結(jié)果對比Tab. 3 Optimization results comparison of two objective (η-Δpt) and single objective

圖6 η-Δpt 的Pareto前沿Fig. 6 Pareto front ofη-Δpt

圖7 (a)～(k)效率-壓降的Pareto前沿對應(yīng)的設(shè)計變量分布Fig. 7 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of efficiency - pressure drop

圖7（a）～（k）是兩目標（η-Δpt）與圖6的Pareto前沿相對應(yīng)的決策變量的分布. 從圖7中可以看出，決策變量pm、nr和Dc在整個Pareto前沿的上下限之間連續(xù)變化，其他的決策變量N、s、TH、TL、Dr和L的最優(yōu)值在整個Pareto前沿幾乎是不變的，ΔTH和 ΔTL的分布只在某些數(shù)據(jù)點上存在變化，而Pareto前沿的分布僅由這些相互沖突的決策變量影響.

4.3 輸出功率-效率-壓降優(yōu)化圖8為同時考慮輸出功率、效率和壓降三目標得到的Pareto前沿.圖中的點集即為所求的Pareto前沿，并給出了TOPSIS決策方法的最優(yōu)解. 將TOPSIS決策得到的多目標結(jié)果與單目標優(yōu)化結(jié)果[12]對比如表4所示.

表4 三目標(Pout-η-Δpt)優(yōu)化與單目標優(yōu)化結(jié)果對比Tab. 4 Optimization results comparison of three objective (Pout-η-Δpt) and single objective

圖8 Pout-η-Δpt 的Pareto前沿Fig. 8 Pareto front ofPout-η-Δpt

由表4可以看出，單目標優(yōu)化結(jié)果中當設(shè)計的輸出功率最大時，壓降最高，效率適中. 同理，設(shè)計效率最高時，壓降較大，輸出功率適中，反之亦然.多目標優(yōu)化結(jié)果雖然不是各項指標中最大的，卻使得各項指標達到綜合最優(yōu). 因此，由TOPSIS決策選擇的最終最優(yōu)解是更為合理的.

圖9 (a)～(k)輸出功率-效率-壓降的Pareto前沿對應(yīng)的設(shè)計變量分布Fig. 9 Design variables distribution of (a)～(k) corresponding to Pareto front of output power - efficiency - pressure drop

圖9（a）～（k）是輸出功率-效率-壓降情況下種群個數(shù)為600的決策變量的變化分布，對應(yīng)于圖8中的Pareto前沿. 從圖9（a）～（k）可以看出，決策變量TH、TL、s、Dr和L的最優(yōu)值在整個Pareto前沿幾乎是恒定的，而N、pm、nr、Dc、ΔTH和ΔTL的分布在整個Pareto前沿的上下限之間連續(xù)變化.在Pareto域中的權(quán)衡是由這些不斷變化的變量之間的相互沖突影響的.

5 結(jié)論

本文建立基于有限時間熱力學(xué)的斯特林發(fā)動機模型，考慮輸出功率最大化、效率最大化、壓降最小化3個目標，采用改進快速非支配排序遺傳算法對這3個指標分別進行兩目標和三目標優(yōu)化. 利用TOPSIS決策方法，從Pareto邊界的最優(yōu)解集中選出最優(yōu)解. 通過比較多目標優(yōu)化和單目標優(yōu)化結(jié)果，得出多目標優(yōu)化比單目標優(yōu)化能得到更理想的斯特林循環(huán)參數(shù)設(shè)計. 在選擇的決策變量中發(fā)動機的轉(zhuǎn)速、發(fā)動機的平均循環(huán)壓力、回熱器芯網(wǎng)數(shù)、活塞直徑等系統(tǒng)參數(shù)的變化具有較高的靈敏度. 因此，在太陽能碟式斯特林發(fā)動機的設(shè)計過程中，必須準確合理地設(shè)計這些參數(shù).