用于混合儲(chǔ)能系統(tǒng)平抑功率波動(dòng)的小波變換方法

程 龍，張方華

（南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京211106）

0 引言

由鋰電池和超級(jí)電容組成的混合儲(chǔ)能系統(tǒng)（HESS）［1-2］彌補(bǔ)了單一儲(chǔ)能系統(tǒng)特性的不足，被廣泛地用于平抑可再生能源發(fā)電系統(tǒng)［3］、電動(dòng)汽車(chē)電力系統(tǒng)［4］、多電飛機(jī)電力系統(tǒng)［5］的功率波動(dòng)。鋰電池具有高能量密度，被用于響應(yīng)幅值低、波動(dòng)慢的低頻功率分量。超級(jí)電容具有高功率密度，被用于響應(yīng)幅值高、波動(dòng)快的高頻功率分量。因此，只有根據(jù)儲(chǔ)能介質(zhì)自身的特性，才能更合理地分配波動(dòng)功率。故本文提出量化儲(chǔ)能介質(zhì)頻率特性的方法，將其作為負(fù)荷功率頻率劃分的參考。在HESS 中，負(fù)荷功率分解后的高、低頻分量要與所對(duì)應(yīng)的儲(chǔ)能介質(zhì)特性相匹配，這樣才能充分發(fā)揮儲(chǔ)能介質(zhì)自身的特性。因此，功率分配方法是平抑功率波動(dòng)的關(guān)鍵因素之一［6］。通常采用濾波的方法將負(fù)荷功率根據(jù)儲(chǔ)能介質(zhì)的頻率特性進(jìn)行高、低頻分解。低通濾波方法因原理簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，在能量管理系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用［7］。但低通濾波器存在相位延遲，容易引起高、低頻功率分量的頻率劃分不清晰，且易造成容量配置冗余度過(guò)大等問(wèn)題［8］。

小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)時(shí)域和頻域的相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)具有局部化和多分辨率特性，適用于非平穩(wěn)信號(hào)，因此得到廣泛的關(guān)注［9-10］。小波變換的關(guān)鍵在于小波基和分解層數(shù)的優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果直接影響負(fù)荷功率的頻率分配結(jié)果。文獻(xiàn)［7］將用于電能質(zhì)量分析的db4 小波基直接用于風(fēng)電功率波動(dòng)的分析，但是兩者在時(shí)間尺度、波動(dòng)幅值、能量等因素上存在較大的差異。文獻(xiàn)［11］通過(guò)計(jì)算風(fēng)電功率與小波變換濾波器組的低通濾波器系數(shù)之間的互相關(guān)系數(shù)，選取db6 為最優(yōu)小波基。在小波變換中濾波系數(shù)長(zhǎng)度與負(fù)荷功率信號(hào)的長(zhǎng)度存在差異，且計(jì)算復(fù)雜。小波變換同時(shí)存在高、低頻2 組分量，僅用低通濾波器系數(shù)無(wú)法全面評(píng)價(jià)所選小波基的濾波器組系數(shù)。文獻(xiàn)［12］以收斂性和正則性為依據(jù)選取meyer 為最優(yōu)小波基，但實(shí)際上具有這些特性的小波基有很多。文獻(xiàn)［8，12］都是直接給出小波變換的分解層數(shù)，并未說(shuō)明具體原因。文獻(xiàn)［11］根據(jù)超級(jí)電容的響應(yīng)頻率確定小波變換的分解層數(shù)，但超級(jí)電容響應(yīng)頻率的劃定缺乏客觀(guān)理論依據(jù)。

為此，本文提出一種基于小波變換的負(fù)荷功率頻域分配方法，主要用于解決小波變換中小波基的選取和分解層數(shù)的優(yōu)化這2 個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。要求經(jīng)小波變換后的高、低頻分量與儲(chǔ)能介質(zhì)的特性更接近，以充分發(fā)揮儲(chǔ)能介質(zhì)的自身優(yōu)勢(shì)。通過(guò)算例分析了儲(chǔ)能介質(zhì)頻率特性與小波變換分解層數(shù)的合理性，同時(shí)采用HESS 的配置成本驗(yàn)證互相關(guān)系數(shù)之和的正確性。

1 儲(chǔ)能介質(zhì)頻率特性

儲(chǔ)能介質(zhì)的等效時(shí)間TET［5］可表示儲(chǔ)能介質(zhì)單體的額定功率與所存儲(chǔ)能量之間的關(guān)系，見(jiàn)式（1）。

其中，Es為儲(chǔ)能介質(zhì)單體的額定能量；Pr為儲(chǔ)能介質(zhì)單體的額定功率。

TET表征了儲(chǔ)能介質(zhì)單體以額定功率充／放額定能量所需要的時(shí)間。在儲(chǔ)能介質(zhì)單體的一個(gè)完整充放電周期內(nèi)，所需要的時(shí)間TT為等效時(shí)間的2倍，即TT=2TET。因此，定義儲(chǔ)能介質(zhì)的響應(yīng)頻率fT為：

根據(jù)儲(chǔ)能介質(zhì)的相關(guān)參數(shù)，其響應(yīng)頻率范圍如圖1 所示。圖中，fTD、fTC分別為等效時(shí)間最大、最小時(shí)鋰電池單體的響應(yīng)頻率；fTB、fTA分別為等效時(shí)間最大、最小時(shí)超級(jí)電容單體的響應(yīng)頻率。由圖1 可見(jiàn)，鋰電池的響應(yīng)頻率范圍大于超級(jí)電容的響應(yīng)頻率范圍，即鋰電池能夠響應(yīng)超級(jí)電容所能響應(yīng)的頻率分量。但響應(yīng)高頻分量會(huì)增加鋰電池的充放電次數(shù)，縮短其使用壽命［4］。同時(shí)，超級(jí)電容的最低響應(yīng)頻率要大于鋰電池的最高響應(yīng)頻率，超級(jí)電容無(wú)法響應(yīng)低頻分量。因此，本文利用鋰電池響應(yīng)低頻分量，利用超級(jí)電容響應(yīng)高頻分量，這樣可以發(fā)揮儲(chǔ)能介質(zhì)自身特性的優(yōu)勢(shì)。

圖1 儲(chǔ)能介質(zhì)的響應(yīng)頻率范圍Fig.1 Response frequency range of energy storage device

2 離散小波變換

2.1 基本原理

小波變換具有多分辨率分析能力，能夠分辨信號(hào)中更多的細(xì)節(jié)信息，適用于非平穩(wěn)信號(hào)。選用小波變換分析負(fù)荷功率信息，能夠更好地分解負(fù)荷功率中的高、低頻分量。

小波變換通常分為連續(xù)小波變換和離散小波變換［13］。連續(xù)小波變換中的伸縮、平移相互獨(dú)立，小波函數(shù)間有一定的相似性，且其計(jì)算量大，存在信息冗余，通常用于理論分析。將連續(xù)小波變換中的伸縮系數(shù)、平移系數(shù)進(jìn)行離散化，可得離散小波變換形式為：

其中，x(t)為待處理信號(hào)；j 為伸縮系數(shù)；k 為平移系數(shù)；ψ(t)為母小波；N為待處理信號(hào)的長(zhǎng)度。

2.2 小波基的選取

小波基的選取直接影響負(fù)荷功率分解后的數(shù)據(jù)特征。通常選取與待處理信號(hào)波形相似的小波基進(jìn)行小波變換分析［14］，這樣能夠更好地體現(xiàn)待測(cè)信號(hào)的特征。通常采用互相關(guān)系數(shù)進(jìn)行小波基的選取［15］，其計(jì)算式為：

其中，ρx，y為互相關(guān)系數(shù)；x 為待測(cè)信號(hào)；y 為原始信號(hào)；cov(x，y)為2 個(gè)信號(hào)的協(xié)方差；δx、δy分別為信號(hào)x、y 的標(biāo)準(zhǔn)差；xi、yi分別為信號(hào)x、y 第i 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的值；分別為信號(hào)x、y 的平均值；n 為待測(cè)信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)。

信號(hào)經(jīng)小波變換分解后包含高、低頻2 組分量，故負(fù)荷功率信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)同樣需要考慮高、低頻2 組功率分量。為了能夠同時(shí)體現(xiàn)高、低頻功率分量的互相關(guān)系數(shù)與負(fù)荷功率的相關(guān)性，本文提出了互相關(guān)系數(shù)之和的概念，如式（5）所示?；ハ嚓P(guān)系數(shù)之和越大，表明小波變換分解后高、低頻功率整體與剩余功率更相似。因互相關(guān)系數(shù)的最大值為1，所以互相關(guān)系數(shù)之和的最大值為2。

2.3 分解層數(shù)優(yōu)化

小波變換的分解層數(shù)直接影響負(fù)荷功率分解后的頻率劃分。對(duì)負(fù)荷功率進(jìn)行頻率劃分的主要目的是發(fā)揮儲(chǔ)能介質(zhì)自身的特性。因此，本文基于超級(jí)電容的頻率特性提出一種小波變換分解層數(shù)優(yōu)化方法，負(fù)荷功率頻率劃分滿(mǎn)足超級(jí)電容的頻域特性。

Mallat 快速算法的提出使離散小波變換的應(yīng)用變得簡(jiǎn)單且易實(shí)現(xiàn)。Mallat 快速算法主要包括分解、重構(gòu)兩部分，以3 層小波變換為例，其示意圖見(jiàn)附錄中圖A1。圖A1（a）進(jìn)行3 層分解，其中，x(n)為待處理信號(hào)數(shù)據(jù)；g(n)為高通濾波器；h(n)為低通濾波器；↓2 表示下2 采樣；D1為第1 層分解的細(xì)節(jié)部分，位于小波空間；A1為第1 層分解的平滑部分，位于尺度空間。第1 層分解的小波空間、尺度空間將待處理信號(hào)的頻域f1+f2+f3+f4進(jìn)行對(duì)半劃分，小波空間為高頻部分f1，尺度空間為低頻部分f2+f3+f4。第2層分解對(duì)第1層分解后的尺度空間進(jìn)行進(jìn)一步分解，得到細(xì)節(jié)部分D2和平滑部分A2。第3 層分解對(duì)第2 層分解后的尺度空間進(jìn)行進(jìn)一步分解，得到細(xì)節(jié)部分D3和平滑部分A3。3層分解后小波空間中的細(xì)節(jié)部分為D1+D2+D3，尺度空間中的平滑部分為A3。小波空間、尺度空間滿(mǎn)足直和關(guān)系。圖A1（b）進(jìn)行3 層分解的重構(gòu)，↑2 表示上2 采樣。將每層的細(xì)節(jié)部分、平滑部分進(jìn)行上2 采樣，并進(jìn)行相應(yīng)濾波可得到上一層的平滑部分，最終可得到原始信號(hào)。

Mallat 快速算法中小波空間、尺度空間的頻率劃分范圍主要由小波變換的分解層數(shù)決定。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，定義負(fù)荷功率的采樣頻率為fs，則負(fù)荷功率的頻譜不能超過(guò)fs/2。離散小波變換的Mallat快速算法的分解層數(shù)與采樣頻率之間的關(guān)系見(jiàn)圖2。第1 層分解的尺度空間、小波空間的頻率范圍分別為[0，fs/4]、( fs/4，fs/2]；第2 層分解是對(duì)第1 層的尺度空間頻率進(jìn)行劃分，第2 層的尺度空間、小波空間的頻率范圍分別為[0，fs/8]、( fs/8，fs/4]。每層分解都是對(duì)上一層尺度空間的頻率范圍進(jìn)行平均劃分。

圖2 分解層數(shù)與采樣頻率的關(guān)系Fig.2 Relationship between decomposition level and sampling frequency

超級(jí)電容用于響應(yīng)負(fù)荷功率的高頻分量，根據(jù)圖1 可以確定超級(jí)電容響應(yīng)負(fù)荷功率高頻分量的最低頻率。因此，以超級(jí)電容單體等效時(shí)間最大時(shí)的響應(yīng)頻率fTB為基準(zhǔn)，與圖2 中小波空間的頻率進(jìn)行匹配。第l 層分解的小波空間頻率范圍為( fs/2l+1，fs/2l]，實(shí)際分配的負(fù)荷功率頻率不能小于超級(jí)電容的最低響應(yīng)頻率，即：

3 算例分析

以某一段飛機(jī)負(fù)荷功率Pload數(shù)據(jù)為例［5］進(jìn)行算例仿真分析，具體相關(guān)參數(shù)見(jiàn)附錄中表A1。發(fā)電機(jī)響應(yīng)平均功率Pavg，HESS 響應(yīng)剩余功率Pre。采用小波變換方法對(duì)負(fù)荷的剩余功率進(jìn)行高、低頻功率分配。小波變換的2個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的優(yōu)化流程見(jiàn)圖3，主要包括基于互相關(guān)系數(shù)的小波基選取和基于儲(chǔ)能介質(zhì)頻率特性的分解層數(shù)優(yōu)化。

圖3 小波變換關(guān)鍵參數(shù)的優(yōu)化流程圖Fig.3 Optimization flowchart of key parameters for wavelet transform

3.1 小波基和分解層數(shù)驗(yàn)證

圖4 典型小波基與負(fù)荷功率的互相關(guān)系數(shù)Fig.4 Cross correlation coefficient between typical wavelet base and load power

負(fù)荷功率的采樣頻率fs=1 kHz，超級(jí)電容的最低響應(yīng)頻率fTB=0.021 Hz，最高響應(yīng)頻率fTA=0.045 Hz；鋰電池的最低響應(yīng)頻率fTD=1.37×10?4Hz，最高響應(yīng)頻率fTC=6.71×10?4Hz［5］。根據(jù)式（6）可計(jì)算得到小波變換的分解層數(shù)l ≤14.5，故選取最優(yōu)分解層數(shù)為14層。

3.2 仿真分析

3.2.1 頻率特性

根據(jù)圖1 所示儲(chǔ)能介質(zhì)的響應(yīng)頻率范圍，分析不同分解層數(shù)下高、低頻功率分量的頻率特性是否符合儲(chǔ)能介質(zhì)的頻率特性。為了充分發(fā)揮儲(chǔ)能介質(zhì)的自身優(yōu)勢(shì)，高頻功率分量的頻率主要位于超級(jí)電容的最低響應(yīng)頻率fTB以上，低頻功率的頻率要小于鋰電池的最高響應(yīng)頻率fTC。

分解層數(shù)l為12—16層時(shí)小波變換后低頻功率的頻譜見(jiàn)圖5。由圖可見(jiàn)，分解層數(shù)越少，低頻功率的高頻分量越多，分解層數(shù)為12、13 層時(shí)低頻功率中含有較多的高頻分量。此時(shí)鋰電池會(huì)響應(yīng)較多的高頻分量，不符合鋰電池的頻率特性。當(dāng)分解層數(shù)越多時(shí)，低頻功率分量的頻率特性就越接近鋰電池的頻率特性。進(jìn)行15、16 層分解時(shí)，低頻功率頻率特性更加符合鋰電池的頻率特性，可充分發(fā)揮鋰電池的自身優(yōu)勢(shì)。

圖5 不同分解層數(shù)的低頻功率頻譜Fig.5 Frequency spectrum of low frequency power with different decomposition levels

分解層數(shù)l為12—16層時(shí)小波變換后高頻功率的頻譜見(jiàn)圖6。由圖可知，分解層數(shù)越多，高頻功率中含有較多的低頻分量，分解層數(shù)為15、16 層時(shí)分解的高頻功率中含有較多的低頻分量，而頻率小于fTB的分量越多，超級(jí)電容則需要響應(yīng)更多的低頻分量；分解層數(shù)為12、13 層時(shí)高頻功率中含有少量的低頻分量，高頻功率特性與超級(jí)電容的頻率特性更加一致，能夠更好地發(fā)揮超級(jí)電容的頻率特性。

圖6 不同分解層數(shù)的高頻功率頻譜Fig.6 Frequency spectrum of high frequency power with different decomposition levels

對(duì)比圖5 和圖6 可知，分解層數(shù)為12、13 層時(shí)分解的高頻功率中含有少量的低頻分量，但在低頻功率中含有較多的高頻分量，這符合超級(jí)電容的頻率特性，卻不符合鋰電池的頻率特性；分解層數(shù)為15、16 層時(shí)分解的低頻功率中含有較少的高頻分量，但在高頻功率中含有較多的低頻分量，這符合鋰電池的頻率特性，卻不符合超級(jí)電容的頻率特性。綜合上述分析，14層分解同時(shí)兼顧了高、低頻功率分量與儲(chǔ)能介質(zhì)的頻率特性，14 層分解的低頻功率與鋰電池頻率特性一致，高頻功率與超級(jí)電容頻率特性一致。

3.2.2 互相關(guān)系數(shù)

3.3 配置成本驗(yàn)證

表1 HESS的配置結(jié)果Table 1 Configuration results of HESS

小波變換分解后高、低頻功率分量的峰值功率和平均能量如表1所示，其結(jié)果直接影響儲(chǔ)能介質(zhì)的配置容量。HESS需同時(shí)考慮高、低頻分量所需要儲(chǔ)能介質(zhì)的配置容量，而容量配置需同時(shí)滿(mǎn)足功率約束和能量約束，以確定儲(chǔ)能介質(zhì)最終配置的容量大小。

對(duì)比表1 中不同小波基的小波變換功率和能量可發(fā)現(xiàn)，haar 小波基的峰值功率和平均能量均小于dmey 小波基的峰值功率和平均能量。因此，基于haar小波基的配置功率和能量也會(huì)小于基于dmey小波基的配置功率和能量。雖然rbio3.1小波基的高頻需求能量最小，但由于需求功率非常大，在進(jìn)行容量配置時(shí)，受功率約束限制，對(duì)應(yīng)的超級(jí)電容配置能量也會(huì)隨之增加。結(jié)合文獻(xiàn)［1］中給出的鋰電池單位能量成本為0.273$／（W·h），超級(jí)電容的單位功率成本為0.3$／W，可得表1 所示儲(chǔ)能的配置成本，可見(jiàn)haar小波基下HESS的配置總成本最小，rbio3.1小波基下HESS 的配置總成本最高。上述結(jié)果驗(yàn)證了基于互相關(guān)系數(shù)之和選取小波基的有效性和正確性。

4 結(jié)論

（1）基于儲(chǔ)能介質(zhì)的等效時(shí)間，量化了儲(chǔ)能介質(zhì)的頻率特性，解決了傳統(tǒng)方法對(duì)儲(chǔ)能介質(zhì)頻率特性主觀(guān)判斷不足的問(wèn)題。

（2）根據(jù)Mallat 快速算法，建立了儲(chǔ)能介質(zhì)頻率與離散小波變換分解層數(shù)之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了對(duì)儲(chǔ)能介質(zhì)響應(yīng)功率頻率的合理劃分。

（3）互相關(guān)系數(shù)之和同時(shí)考慮了小波變換后高頻功率、低頻功率與原始負(fù)荷功率的相關(guān)性，為負(fù)荷功率選取合適的小波基提供了依據(jù)；通過(guò)比較HESS的配置成本，驗(yàn)證了基于互相關(guān)系數(shù)之和選取小波基的正確性。

附錄見(jiàn)本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.epae.cn）。