非圓齒輪差動輪系往復(fù)機(jī)構(gòu)反求設(shè)計與運動學(xué)分析

汪飛雪 劉 亞 臧新良

1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004 2.河北省輕質(zhì)結(jié)構(gòu)裝備設(shè)計與制備工藝技術(shù)創(chuàng)新中心，秦皇島，066004

0 引言

高頻往復(fù)運動已廣泛應(yīng)用于工程實際，通常采用電機(jī)作為其動力源，通過各種傳動裝置或執(zhí)行機(jī)構(gòu)來實現(xiàn)往復(fù)轉(zhuǎn)動[1]。盡管此類機(jī)構(gòu)具有較高的承載能力、運行速度和生產(chǎn)效率，能較好地滿足現(xiàn)實要求，但針對特殊形式的往復(fù)運動規(guī)律時，其傳動系統(tǒng)復(fù)雜、沖擊載荷大、傳動方式缺乏柔性，難以適應(yīng)產(chǎn)品多樣性的要求[2-3]。

非圓齒輪兼有凸輪及齒輪兩者的優(yōu)點：既能實現(xiàn)凸輪的變速傳動又易于控制，既能實現(xiàn)齒輪的高效傳動又能保持動載平衡，是一種集成化的機(jī)械元件[4-6]。非圓齒輪傳遞效率高，接近于圓形齒輪，遠(yuǎn)高于其他的變速比傳動機(jī)構(gòu)[7-9]。差動輪系通過調(diào)節(jié)兩個輸入的轉(zhuǎn)速差來實現(xiàn)輸出齒輪的往復(fù)轉(zhuǎn)動。因此，將非圓齒輪與差動輪系組合的結(jié)構(gòu)不僅具備傳統(tǒng)往復(fù)機(jī)構(gòu)高速、高效的優(yōu)點，而且能簡潔有效地實現(xiàn)需要的往復(fù)轉(zhuǎn)動[10-13]，是目前傳動領(lǐng)域的研究熱點。

孫以濤等[14]提出一種非圓齒輪和差動輪系組合的機(jī)構(gòu)實現(xiàn)往復(fù)擺動，但需要兩個伺服電機(jī)作為輸入來實現(xiàn)變速傳動。陳建能等[15]提出一種非圓齒輪行星輪系機(jī)構(gòu)實現(xiàn)往復(fù)直線運動，并將其應(yīng)用到引緯機(jī)構(gòu)，但該機(jī)構(gòu)因由兩級非圓齒輪行星輪系、一級圓柱齒輪定軸輪系和一級圓錐齒輪定軸輪系組成而結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜。貴新成等[16]提出一種新型機(jī)械無級變速器，通過非圓齒輪和差動機(jī)構(gòu)組合來實現(xiàn)無級變速，但它不能實現(xiàn)往復(fù)運動。上述研究對非圓齒輪理論的發(fā)展具有積極的推進(jìn)作用，然而，通過上述研究給出的機(jī)構(gòu)實現(xiàn)特殊形式的往復(fù)直線運動規(guī)律比較困難，上述研究中影響節(jié)曲線的關(guān)鍵因素尚需進(jìn)一步研究。

本課題組提出了一種僅需一個電機(jī)作為輸入的差動輪系與非圓齒輪組合的往復(fù)直線運動機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)形式相對簡單、運行可靠，通過對節(jié)曲線的合理設(shè)計，完成了特殊規(guī)律的往復(fù)運動。本文對所提結(jié)構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)分析，由預(yù)先給定的執(zhí)行部件的運動規(guī)律反求得到滿足要求的機(jī)構(gòu)參數(shù)，并分析了各參數(shù)對反求節(jié)曲線的影響機(jī)制。

1 非圓齒輪差動輪系機(jī)構(gòu)

1.1 非圓齒輪差動輪系機(jī)構(gòu)原理

提出了一種非圓齒輪差動輪系組合并配以齒條來實現(xiàn)往復(fù)直線運動的新型機(jī)構(gòu)，傳動系統(tǒng)原理圖見圖1。其中，齒輪1、齒輪2為非圓齒輪，齒輪3、齒輪4為圓齒輪，齒輪8為輸出齒輪。常用差動輪系類型如圖2所示，差動輪系由齒輪5、齒輪6(6′)、齒輪7和行星架H組成。非圓齒輪差動輪系組合機(jī)構(gòu)中齒輪4與齒輪5同軸轉(zhuǎn)動，齒輪7與齒輪8同軸轉(zhuǎn)動，齒輪8與固定在執(zhí)行部件上的齒條相嚙合來實現(xiàn)往復(fù)運動。對于該非圓齒輪差動輪系，根據(jù)給定的執(zhí)行部件運動規(guī)律和已設(shè)定的部分機(jī)構(gòu)參數(shù)，可以反求得到相應(yīng)的非圓齒輪節(jié)曲線。

圖1 傳動系統(tǒng)原理圖Fig.1 Transmission system schematic diagram

(a) NGW型

1.2 非圓齒輪差動輪系機(jī)構(gòu)分析

如圖1和圖2所示，該輪系由定軸輪系、差動輪系及齒輪齒條三部分組成。對輪系進(jìn)行分析，可得非圓齒輪副的傳動比為

(1)

對于NGW型(2K-H負(fù)號機(jī)構(gòu))差動輪系，有

式中，zi為齒輪i的齒數(shù)，下同；ωH為行星架H的角速度，rad/s。

對于WW型(2K-H正號機(jī)構(gòu))差動輪系，有

對于ZUWGW型(2K-H錐齒輪負(fù)號機(jī)構(gòu))差動輪系，有

對于NGWN Ⅰ型(3Z型)差動輪系，有

由上述分析可以看出，對于負(fù)號機(jī)構(gòu)，m<0；對于正號機(jī)構(gòu)，m>0；對于3Z型機(jī)構(gòu)，m的正負(fù)取決于機(jī)構(gòu)中具體齒數(shù)，正負(fù)均可取。

2 非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計原理

根據(jù)非圓齒輪的傳動特性，可得主從動非圓齒輪向徑及從動齒輪角位移與傳動比的關(guān)系為

(2)

(3)

(4)

式中，r1、r2分別為主從動非圓齒輪節(jié)曲線接觸點處的向徑，mm；A為非圓齒輪副中心距，mm；φ1、φ2分別為主從動非圓齒輪角位移，rad。

依據(jù)式(1)和式(4)，從動齒輪角位移可表示為

(5)

式中，s為執(zhí)行部件(齒條)的位移，mm。

欲使主從動非圓齒輪的節(jié)曲線都是封閉的，則當(dāng)主動齒輪轉(zhuǎn)過2π/n1、從動齒輪轉(zhuǎn)過2π/n2(即主動齒輪轉(zhuǎn)1/n1圈、從動齒輪轉(zhuǎn)1/n2圈，n1、n2為正整數(shù))時，執(zhí)行部件(齒條)應(yīng)完成一個工作周期。本文以n1=2、n2=3為例進(jìn)行分析，如圖3所示。當(dāng)φ1=2π/n1、φ2=-2π/n2時，齒輪8回到初始位置(即s=0)。將上述關(guān)系式代入式(5)，可得

圖3 主從動非圓齒輪節(jié)曲線與執(zhí)行部件位移對應(yīng)關(guān)系Fig.3 Corresponding relationship between pitch curve of driving and driven gears and displacement of execution parts

(6)

因為圓柱齒輪3、4為外嚙合齒輪副，所以i34<0，從而有m<1。將式(6)代入式(1)，可得到非圓齒輪副傳動比為

(7)

3 非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計與分析

非圓齒輪差動輪系機(jī)構(gòu)能實現(xiàn)多種運動規(guī)律，本文以余弦加速度和正弦加速度運動規(guī)律為例來研究節(jié)曲線設(shè)計規(guī)律。

3.1 余弦加速度節(jié)曲線設(shè)計與分析

執(zhí)行部件按余弦加速度規(guī)律運動時，其運動曲線見圖4，對進(jìn)--退--停運動來說，加速度曲線為連續(xù)曲線，但在起始點處，加速度有突變，會引起有限的柔性沖擊，而在之后的運動過程中并無柔性沖擊，可以用于中低速場合。

圖4 余弦加速度運動規(guī)律運動線圖Fig.4 Cosine acceleration motion line diagram

3.1.1余弦加速度節(jié)曲線設(shè)計

余弦加速度運動規(guī)律的運動方程為

(8)

(9)

(10)

式中，a為執(zhí)行部件(齒條)的加速度，mm/s2；B0、B1、B2為待定系數(shù)，可利用邊界條件確定；θ為主動齒輪角位移；Θ為主動齒輪總角位移。

圖5 工作行程或空回行程對應(yīng)主動齒輪角位移示意圖Fig.5 Working stroke or return stroke corresponding to angular displacement of driving gear

對于工作行程(0≤φ1≤φC)，其邊界條件為

式中，φC為執(zhí)行部件位于極限位置時的主動齒輪角位移，rad；h為執(zhí)行部件行程，mm。

將工作行程邊界條件分別代入式(9)和式(10)，可得到工作行程各待定系數(shù)為

將式(9)代入式(7)，并結(jié)合工作行程各待定系數(shù)，可得到工作行程傳動比為

(11)

式中，κ為齒輪8的擺動角度，rad,κ=h/r8。

將式(11)代入式(4)，可得到工作行程從動齒輪角位移為

(12)

對于空回行程(φC≤φ1≤2π/n1)，其邊界條件為

將空回行程邊界條件分別代入式(9)和式(10)，可得到空回行程各待定系數(shù)為

將式(9)代入式(7)，并結(jié)合空回行程各待定系數(shù)，可得到空回行程傳動比為

(13)

將式(13)代入式(4)，可得到空回行程從動齒輪角位移為

(14)

(15)

(16)

將式(11)和式(13)分別代入式(15)，并將式(12)和式(14)分別代入式(16)，可得φC=π/n1。所以，執(zhí)行部件按余弦加速度規(guī)律運動時非圓齒輪副的傳動比為

(17)

由于主從動非圓齒輪外嚙合，因此其傳動比i12c應(yīng)小于零，可得各參數(shù)應(yīng)滿足如下條件：

將式(17)分別代入式(2)～式(4)即可得到主從動齒輪節(jié)曲線接觸點處的向徑及從動齒輪角位移表達(dá)式。

3.1.2余弦加速度節(jié)曲線分析

由式(17)可知，傳動比和節(jié)曲線與κ、m以及n1、n2有關(guān)。

3.1.2.1κ對傳動比和節(jié)曲線的影響規(guī)律

當(dāng)m=-0.5、n1=n2=1且κ取不同數(shù)值時，傳動比的變化趨勢如圖6所示，主從動非圓齒輪的節(jié)曲線分布如圖7所示。從圖6中可以看出，隨著κ的增大，傳動比的變化幅度逐漸增大。從圖7中可以看出，隨著κ的增大，主動齒輪有內(nèi)凹趨勢，從動齒輪凸角變尖。節(jié)曲線內(nèi)凹或節(jié)曲線凸角變尖會給非圓齒輪的加工帶來極大困難，且會增大工作過程中的振動和沖擊，所以κ值不宜取得過大。由此可知，當(dāng)行程h一定時，在其他條件允許的情況下，齒輪半徑r8的取值應(yīng)盡可能大。

圖6 不同κ值余弦加速度傳動比Fig.6 Transmission ratio with cosine acceleration and different κ

(a) 主動非圓齒輪節(jié)曲線

3.1.2.2m對傳動比和節(jié)曲線的影響規(guī)律

當(dāng)κ=2.5 rad、n1=n2=1且m取不同數(shù)值時，傳動比的變化趨勢如圖8所示。從圖8中可以看出，隨著m的減小，傳動比的變化幅度逐漸增大。相應(yīng)地，與前面類似，隨著m的減小，主動齒輪有內(nèi)凹趨勢，從動齒輪凸角變尖(非圓齒輪節(jié)曲線未列出)。所以，在其他條件允許的情況下，m值不宜取得過小。

圖8 不同m值余弦加速度傳動比Fig.8 Transmission ratio with cosine acceleration and different m

3.1.2.3 非圓齒輪階數(shù)對傳動比和節(jié)曲線的影響規(guī)律

當(dāng)κ=1 rad、m=-0.5、n2=1且n1取不同數(shù)值時，傳動比的變化趨勢如圖9所示，主從動非圓齒輪的節(jié)曲線分布如圖10所示。從圖9中可以看出，當(dāng)n1≠1時，傳動比絕對值的平均值隨n1的增大而減小，非圓齒輪副同時實現(xiàn)了增變速。從圖10中可以看出，相對而言，當(dāng)n1=1時，得到的主從動非圓齒輪節(jié)曲線更加趨近于圓形。所以應(yīng)盡量減少通過非圓齒輪副傳動來實現(xiàn)增速的情況發(fā)生。

圖9 不同n1值余弦加速度傳動比Fig.9 Transmission ratio with cosine acceleration and different n1

(a) 主動非圓齒輪節(jié)曲線

當(dāng)κ=1 rad、m=-0.5、n1=1且n2取不同數(shù)值時，非圓齒輪副傳動比的的變化趨勢如圖11所示。從圖11中可以看出，當(dāng)n2≠1時，傳動比絕對值的平均值隨n2的增大而增大，非圓齒輪副同時實現(xiàn)了減變速。相應(yīng)地，與前面類似，當(dāng)n2=1時，得到的主從動非圓齒輪節(jié)曲線更加趨近于圓形(非圓齒輪節(jié)曲線未列出)。所以應(yīng)盡量減少通過非圓齒輪副傳動實現(xiàn)減速的情況發(fā)生。

圖11 不同n2值余弦加速度傳動比Fig.11 Transmission ratio with cosine acceleration and different n2

3.2 正弦加速度節(jié)曲線設(shè)計與分析

執(zhí)行部件按正弦加速度規(guī)律運動時，其運動曲線見圖12，在啟動和停止的兩個時刻其加速度為零，故該運動規(guī)律既無剛性沖擊，也無柔性沖擊。此種運動規(guī)律不僅適用于進(jìn)--停--退--停運動，也適用于進(jìn)--退--停運動，可以用于中高速場合。

圖12 正弦加速度運動規(guī)律運動線圖Fig.12 Sine acceleration motion line diagram

3.2.1正弦加速度節(jié)曲線設(shè)計

正弦加速度運動規(guī)律的運動方程為

式中，C0、C1、C2為待定系數(shù)，可利用邊界條件確定。

執(zhí)行部件按正弦加速度規(guī)律運動時工作行程和空回行程傳動比推導(dǎo)過程與執(zhí)行部件按余弦加速度運動規(guī)律運動類似。工作行程傳動比為

(18)

空回行程傳動比為

(19)

同樣，依據(jù)節(jié)曲線的封閉要求，可得非圓齒輪副的傳動比以及從動齒輪角位移應(yīng)滿足式(15)和式(16)。經(jīng)驗證，φC∈(0,2π/n1)取任意值均能滿足節(jié)曲線的封閉要求。

3.2.2正弦加速度節(jié)曲線分析

由式(18)和式(19)可知，執(zhí)行部件按正弦加速度規(guī)律運動時節(jié)曲線的形狀與κ、m、φC以及n1、n2有關(guān)。κ、m以及n1、n2對傳動比的影響規(guī)律與執(zhí)行部件按余弦加速度規(guī)律運動時類似。當(dāng)φC>π/n1時，執(zhí)行部件的運動存在急回現(xiàn)象。當(dāng)κ=1 rad、m=-1、n1=n2=1且φC取不同數(shù)值時，傳動比的變化趨勢如圖13所示，主從動非圓齒輪的節(jié)曲線分布如圖14所示。

圖13 不同φC值正弦加速度傳動比Fig.13 Transmission ratio with sine acceleration and different φC

(a) 主動非圓齒輪節(jié)曲線

從圖14中可以看出，當(dāng)φC值較小時，得到的主從非圓齒輪節(jié)曲線更加趨近于圓形，所以在實際應(yīng)用中應(yīng)綜合衡量急回特性程度、振動和沖擊對執(zhí)行部件及傳動系統(tǒng)的影響，合理選擇φC值的大小。

3.3 不同運動規(guī)律節(jié)曲線的比較

由于φC取(0,2π/n1)區(qū)間內(nèi)任意值時，正弦加速度運動規(guī)律節(jié)曲線均能滿足節(jié)曲線的封閉要求，因此執(zhí)行部件按正弦加速度規(guī)律運動時，能實現(xiàn)急回運動。

當(dāng)κ=2 rad、m=-1、n1=n2=1且φC=π時，執(zhí)行部件按余弦加速度和正弦加速度運動規(guī)律時，傳動比變化趨勢的對比如圖15所示。從圖15中可以看出，正弦加速度運動規(guī)律傳動比的變化幅度比余弦加速度運動規(guī)律傳動比的變化幅度大。相應(yīng)地，主從動非圓齒輪的節(jié)曲線出現(xiàn)內(nèi)凹或凸角變尖現(xiàn)象以正弦加速度運動規(guī)律更為明顯(非圓齒輪節(jié)曲線未列出)，所以當(dāng)沒有急回特性要求時，選用余弦加速度運動規(guī)律能得到較好的非圓齒輪節(jié)曲線。

圖15 余弦加速度和正弦加速度傳動比的對比Fig.15 Comparison of transmission ratio between cosine acceleration and sine acceleration

4 實驗驗證

為驗證新型往復(fù)直線運動機(jī)構(gòu)的可行性和準(zhǔn)確性，以執(zhí)行部件遵循余弦加速度運動規(guī)律輸出為例，搭建了非圓齒輪差動輪系傳動系統(tǒng)原理樣機(jī)，其齒輪參數(shù)如表1所示，差動輪系部分采用WW型。采用齒廓計算法對非圓齒輪齒廓進(jìn)行設(shè)計，并采用線切割技術(shù)加工，使用機(jī)加工對傳動系統(tǒng)中的軸類零件、板類零件和支承件等進(jìn)行加工，傳動系統(tǒng)原理樣機(jī)如圖16所示(圖中零件編號與圖1相同)。

表1 原理樣機(jī)齒輪主要參數(shù)Tab.1 Gear parameters of principle prototype

圖16 非圓齒輪差動輪系傳動系統(tǒng)實物模型Fig.16 Physical model of non-circular differential gear trains transmission system

使用激光測振儀采集輸出齒條的運動學(xué)特性，激光測振儀采用非接觸式測量方法，可精確地測試物體的動力學(xué)特性(如位移、速度等參數(shù)的變化規(guī)律)，如圖17所示。主動齒輪角位移由電動機(jī)轉(zhuǎn)角確定，齒條的位移通過激光測振儀采集，在MATLAB環(huán)境中設(shè)計有限沖擊響應(yīng)(FIR)濾波器，并對采集得到的信號進(jìn)行低通濾波。忽略啟動過程中存在的波動，提取穩(wěn)定階段結(jié)果，可得到齒條位移曲線與其理論曲線，兩者的對比結(jié)果如圖18所示。從圖18中可以看出，實驗和理論位移曲線基本吻合，表明所設(shè)計的機(jī)構(gòu)能夠按照預(yù)期的運動規(guī)律進(jìn)行往復(fù)運動，從而驗證了所構(gòu)建的運動學(xué)曲線方程以及所建立的運動學(xué)分析模型的正確性。

圖17 實驗用激光測振儀Fig.17 Laser vibration meter for experiments

圖18 實驗和理論位移對比曲線Fig.18 Comparison curves of experimental and theoretical displacements

5 結(jié)論

(1)非圓齒輪與差動輪系組合機(jī)構(gòu)不僅具備傳統(tǒng)往復(fù)機(jī)構(gòu)高速、高效的優(yōu)點，而且能簡潔有效地實現(xiàn)需要的往復(fù)運動。

(2)隨著輸出齒輪的擺動角度κ的增大和差動輪系傳動比m的減小，傳動比的變化幅度逐漸增大，主動齒輪有內(nèi)凹趨勢，從動齒輪凸角變尖，所以κ值不宜取得過大而m值不宜取得過小。

(3)當(dāng)n1=n2≠1時，非圓齒輪副同時實現(xiàn)了減(增)變速。相對而言，當(dāng)n1=n2=1時，得到的主動齒輪節(jié)曲線更加趨近于圓形，所以應(yīng)盡量減少通過非圓齒輪副傳動來實現(xiàn)減(增)速的情況發(fā)生。

(4)當(dāng)執(zhí)行部件按正弦加速度運動規(guī)律運動時，執(zhí)行部件能實現(xiàn)急回運動。當(dāng)無急回特性要求時，與正弦加速度運動規(guī)律相比，選用余弦加速度運動規(guī)律能得到較好的非圓齒輪節(jié)曲線形狀。

(5)通過對比原理樣機(jī)和理論分析得到的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)輸出構(gòu)件實驗所得位移曲線與其理論位移曲線的吻合度較高，從而驗證了所設(shè)計機(jī)構(gòu)的可行性和正確性。