從小學(xué)典型數(shù)學(xué)問題出發(fā)在編程學(xué)習(xí)中培養(yǎng)計(jì)算思維

董燁華

（浙江省紹興市第一中學(xué)，浙江 紹興 312000）

1 引言

計(jì)算思維是個(gè)體運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法和在形成問題解決方案的過程中產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)。[1]計(jì)算思維的本質(zhì)是抽象。[2]編程教學(xué)是計(jì)算思維培養(yǎng)的重要手段。目前，面向小學(xué)生的編程課程，以Scratch一類的可視化編程和樂高機(jī)器人一類的實(shí)體設(shè)備編程為主。像C++這類注重算法學(xué)習(xí)的編程課程是比較小眾的，究其原因在于C++編程解決的問題較抽象、思維難度較大。筆者面向小學(xué)高年級(jí)學(xué)生開設(shè)C++編程課程，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維，嘗試將編程解決的問題與小學(xué)數(shù)學(xué)課堂典型問題結(jié)合，使得教學(xué)更“平易近人”。

2 開展C++編程教學(xué)的抽象基礎(chǔ)

瑞士知名教育學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰提出了兒童認(rèn)知發(fā)展理論。根據(jù)該理論，小學(xué)高年級(jí)兒童認(rèn)知發(fā)展正處于具體運(yùn)算階段向形式運(yùn)算階段過渡，已經(jīng)適合抽象思維的培養(yǎng)。抽象是計(jì)算思維的核心。在小學(xué)高年級(jí)通過編程培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維，正是抓住了學(xué)生抽象思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。在教學(xué)中，要提升并借助學(xué)生的形象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，最終使學(xué)生在問題解決過程中能習(xí)慣運(yùn)用計(jì)算思維。

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備了良好的語言學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。語言語法的突出特點(diǎn)是其抽象性。除了語音和詞匯均各有其抽象性，語法的抽象性是所有這些抽象基礎(chǔ)上的更高層次的抽象[3]。面向小學(xué)生的C++編程教學(xué)，一方面，要以問題解決為中心，弱化語句語法學(xué)習(xí)，減少學(xué)生因?yàn)檎Z法的抽象對(duì)問題解決感到困擾，語法學(xué)習(xí)做到夠用就行。例如，C++的循環(huán)結(jié)構(gòu)有for循環(huán)、while循環(huán)、do…while循環(huán)，在實(shí)際教學(xué)中可以先只學(xué)一種for循環(huán)，直到學(xué)生能熟練運(yùn)用，再拓展介紹其他循環(huán)語法。再例如，for循環(huán)在實(shí)際編程中可以有很多靈活變化的寫法，教學(xué)時(shí)要盡量從最一般的格式入手，在之后學(xué)習(xí)中根據(jù)問題需要再做格式上的加減操作。另一方面，要利用好學(xué)生原有自然語言抽象概念、數(shù)學(xué)語言抽象概念，將其遷移到編程學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生完成二次抽象，即計(jì)算思維相關(guān)的抽象?？梢宰寣W(xué)生將C++語法保留字作為英語單詞記憶，記住了單詞的含義也就大致理解該保留字的C++語法意義。然后，要求學(xué)生習(xí)慣用自然語言將問題解決的算法思路講出來。實(shí)踐表明，通過以上問題解決中自然語言和C++代碼的抽象含義對(duì)應(yīng)，學(xué)生很快理解了if語句語法，掌握速度和理解Scratch編程相應(yīng)功能模塊無明顯差異，后者是自然語言和Scratch圖標(biāo)抽象含義的對(duì)應(yīng)。

3 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與計(jì)算思維培養(yǎng)

計(jì)算思維源于數(shù)學(xué)思維與工程思維，數(shù)學(xué)思維最大的認(rèn)知特征便是：概念化，抽象化，模式化?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提煉的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，而這些正與計(jì)算思維過程中分析數(shù)據(jù)、界定問題、分解問題、抽象特征、建立結(jié)構(gòu)模型、算法實(shí)現(xiàn)等環(huán)節(jié)高度對(duì)應(yīng)。所以，從數(shù)學(xué)問題出發(fā)在編程學(xué)習(xí)中提升計(jì)算思維能力，具備良好的遷移基礎(chǔ)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和信息技術(shù)學(xué)科核心素養(yǎng)雙發(fā)展。

3.1 分析、界定與分解

分析、界定與分解是在收集、分析數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)表征、概念界定、明確問題實(shí)質(zhì)，并將一個(gè)復(fù)雜的問題分解成若干易處理的子問題的過程。教學(xué)中可以從典型數(shù)學(xué)問題出發(fā)，將問題解決過程中分析、界定與分解的思維過程進(jìn)行強(qiáng)化。例如，人教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)的一個(gè)面積計(jì)算問題（以下簡稱例1）：客廳的長是6米，寬是3米；正方形地磚的邊長是3分米；問鋪滿客廳地面一共要用多少塊地磚。經(jīng)過分析，我們可以得出問題涉及：正方形、長方形、邊長、長、寬、面積等概念，問題的實(shí)質(zhì)是與面積有關(guān)，涉及不同長度單位的換算，是整數(shù)運(yùn)算。問題可以分解為：①求客廳地面面積問題；②求地磚面積問題；③求兩個(gè)面積之間的關(guān)系問題。還可以分解為：①求客廳地面的長對(duì)應(yīng)幾塊地磚的問題；②求客廳地面的寬對(duì)應(yīng)幾塊地磚的問題；③已知客廳地面長和寬分別對(duì)應(yīng)地磚數(shù)，求總地磚數(shù)問題。

3.2 抽象與建模

抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征，而舍棄其非本質(zhì)的特征的過程。計(jì)算思維下的抽象可以歸納為三個(gè)逐級(jí)上升的層次：概念抽象→數(shù)學(xué)抽象→計(jì)算抽象。[4]建模就是建立結(jié)構(gòu)模型，是為了理解事物而對(duì)事物做出的一種抽象，同樣可以對(duì)應(yīng)概念建模、數(shù)學(xué)建模、計(jì)算建模三個(gè)層次?；氐嚼?，之前的教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)理解了正方形、長方形、長、寬、面積等抽象概念，在本問題中是把地磚抽象為邊長為3分米正方形這個(gè)數(shù)學(xué)模型，地面抽象為長6米、寬3米的長方形模型。如果采用例1中第二種問題分解方式，還需要分別從地面和地磚邊長中抽象出線段模型。

計(jì)算建模是要讓這個(gè)模型可以被運(yùn)算，可以交給計(jì)算機(jī)幫助運(yùn)算解決，要考慮從具體個(gè)例到一般情況的抽象泛化。例1中提供的數(shù)據(jù)符合長方形的長和寬是正方形邊長的倍數(shù)，針對(duì)這組特殊數(shù)據(jù)，可以在整數(shù)運(yùn)算范圍下，采用前面提到的兩種方式來分解問題、抽象建模。如果把問題數(shù)據(jù)一般化，可能出現(xiàn)客廳地面面積不能被瓷磚面積整除的情況，建模就要考慮小數(shù)運(yùn)算，還要從工程思維的角度分析，不湊整的面積地磚怎么拼，1/3塊地磚算不算用掉一塊。于是在計(jì)算建模的時(shí)候，需要加上一些約束條件。如果條件保證客廳地面面積數(shù)據(jù)一定能被瓷磚面積數(shù)據(jù)整除，又會(huì)出現(xiàn)前面第一種問題分解方式在某些數(shù)據(jù)情況下不符合實(shí)際的情況，比如長6米、寬1米的客廳地面和3分米邊長的地磚，雖然兩者面積可以整除，但實(shí)際鋪設(shè)的時(shí)候地磚是要切割了的。所以，圍繞典型數(shù)學(xué)問題，教師需要在教學(xué)中幫助學(xué)生鞏固相關(guān)概念，明確數(shù)學(xué)模型；要引導(dǎo)學(xué)生提煉出可運(yùn)算、一般化的計(jì)算模型。

3.3 設(shè)計(jì)算法

算法的概念源自數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)中，算法通常是指能夠使用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的步驟或程序，這些步驟或程序必須是明確和有效的，而且能夠在有限步驟之內(nèi)完成。[5]浙教版《信息技術(shù)必修一數(shù)據(jù)與計(jì)算》教材中給出廣義的概念,“算法”是解決問題或者完成任務(wù)的一系列步驟，解決的問題不僅僅指傳統(tǒng)意義上的計(jì)算任務(wù)（算術(shù)），還可以是社會(huì)生活中各種事務(wù)的處理。在計(jì)算機(jī)學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)，“算法”指的是用計(jì)算機(jī)解決問題的步驟，是為了解決問題而需要讓計(jì)算機(jī)有序執(zhí)行的、無歧義的、有限步驟的集合，需要解決的問題包含數(shù)值計(jì)算和非數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)處理。根據(jù)廣義的算法概念，可以認(rèn)為計(jì)算思維不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)學(xué)科，也適用于其它各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的問題解決過程，是一種通用思維。數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算機(jī)學(xué)科中“算法”的定義高度一致，可見，從解決數(shù)學(xué)問題出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維是一條最直接的路徑。例1面積計(jì)算問題，在計(jì)算建?；A(chǔ)上，分解的子問題①、②、③，可以設(shè)計(jì)成有先后關(guān)系、依次執(zhí)行的三個(gè)算法步驟：①→②→③或者②→①→③，每個(gè)子問題又有相應(yīng)的算術(shù)運(yùn)算步驟。

4 從小學(xué)典型數(shù)學(xué)問題出發(fā)的編程學(xué)習(xí)實(shí)例

4.1 從常用編程語法教材中發(fā)掘?qū)W習(xí)實(shí)例

在C++語言入門教材里一般都會(huì)用到一些小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的例題和練習(xí)題，對(duì)于大部分教材用戶，小學(xué)數(shù)學(xué)問題已經(jīng)不存在數(shù)學(xué)建模的困難，所以這些題目的作用主要是幫助熟悉C++語法，但在面向小學(xué)生的教學(xué)中，這些題目往往是開展計(jì)算思維培養(yǎng)的好素材。教師要善于把數(shù)學(xué)問題和小學(xué)數(shù)學(xué)課堂結(jié)合起來，為最終通過計(jì)算機(jī)編程解決搭建良好的思維情境。例如，判斷閏年問題是編程常用例題，教師可以從人教版《數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)》第六課“年、月、日”找到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。教學(xué)中可以結(jié)合數(shù)學(xué)教材，完成閏年等概念抽象，同時(shí)明確什么是判斷閏年問題。接著，通過分析閏年形成的原因，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)教材里判斷閏年的規(guī)則“公歷年份是4的倍數(shù)的，一般都是閏年；但公歷年份是整百數(shù)的，必須是400的倍數(shù)才是閏年”。下一步，把年份抽象成一個(gè)數(shù)字，問題就轉(zhuǎn)換為對(duì)年份數(shù)字的判斷，完成計(jì)算建模。將閏年判斷規(guī)則整理為可操作的算法步驟：判斷年份數(shù)字能被4整除但不能被100整除，或者判斷能被400整除。最后，用C++代碼實(shí)現(xiàn)，語法要求并不高，套用IF語句格式就行。另外，像“雞兔同籠”問題也是很好的例題，人教版數(shù)學(xué)教材里先讓學(xué)生通過列表分析“雞、兔、腳”之間的關(guān)系，所以編程教學(xué)中需要從枚舉算法入手，之后可以拓展解析算法，這樣會(huì)更符合計(jì)算思維解決問題的過程。

4.2 從小學(xué)數(shù)學(xué)教材入手開發(fā)學(xué)習(xí)實(shí)例

教師可以從數(shù)學(xué)教材中找適合運(yùn)用計(jì)算思維的問題實(shí)例。例如，人教版《數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)》第七節(jié)“植樹問題”。植樹問題是指在一定的線路上，根據(jù)總路程、間隔長和棵數(shù)進(jìn)行植樹的問題。編程解決的問題簡單描述為“總路程為L米的馬路，在一邊每間隔S米種M棵樹，一共要種幾棵樹”。抽象建模：樹用點(diǎn)來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的點(diǎn)與被均分的線段之間的關(guān)系問題。算法設(shè)計(jì)：根據(jù)問題描述，如果線段兩端都植樹，計(jì)算公式：總數(shù)=(L÷S+1)×M。代碼編寫只要定義相應(yīng)int類型變量，順序結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)。

可以對(duì)教材中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行拓展。例如，植樹問題進(jìn)行拓展，描述為“長度為L米的馬路上有一排樹，樹從頭到尾間隔1米種植，現(xiàn)在馬路中的一段要建十字路口，要把從A米起到B米之間的樹移走，問還有多少棵樹”。抽象建模仍然是線上的點(diǎn)與被均分的線段之間的關(guān)系問題。算法可以0到A-1的線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)加上B+1到L的線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也可以是0到L的線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)減去A到B的線段上點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

將上述植樹問題再進(jìn)一步拓展，就是一道經(jīng)典的全國信息學(xué)奧林匹克聯(lián)賽試題“校門外的樹”（NOIP2005普及組第二題），問題簡單描述：某校大門外長度為L米的馬路上每間隔1米種著一棵樹，把馬路看成一個(gè)數(shù)軸，即數(shù)軸0到L的位置都種有一棵樹，馬路上有一些區(qū)域要用來建地鐵，這些區(qū)域用它們?cè)跀?shù)軸上的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的坐標(biāo)表示，這些坐標(biāo)都是整數(shù)，區(qū)域之間可能有重合的部分，現(xiàn)在要把這些區(qū)域中的樹移走，問馬路上還剩多少棵樹。問題拓展到這里，學(xué)生對(duì)其數(shù)學(xué)模型已經(jīng)很清楚了，但在計(jì)算的時(shí)候如果分別考慮地鐵區(qū)域的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)坐標(biāo)，一段一段來計(jì)算會(huì)十分復(fù)雜。計(jì)算建?？梢钥紤]按建地鐵區(qū)域要求將所有樹都移走后數(shù)軸的最終狀態(tài)，0到L的數(shù)軸上一些點(diǎn)有樹一些點(diǎn)沒有。所以，C++編程中定義長度為L的數(shù)組，模擬這個(gè)數(shù)軸狀態(tài)變化就行。

5 結(jié)束語

C++語言在小學(xué)被認(rèn)為是編程界面枯燥、學(xué)習(xí)難度大的一種編程語言。筆者認(rèn)為，字符化編程界面并不是孩子們?nèi)鄙倥d趣的原因，看煩了都市五顏六色的霓虹，你會(huì)發(fā)覺寂靜夜空的美麗。編程學(xué)習(xí)中的抽象和算法設(shè)計(jì)的復(fù)雜，才是真正讓孩子們感到困難的，而這些正是計(jì)算思維培養(yǎng)的最核心內(nèi)容。對(duì)于小學(xué)高年級(jí)的孩子來說，在編程學(xué)習(xí)中過多地將時(shí)間花費(fèi)在如Scratch圖形對(duì)象的設(shè)計(jì)上或者機(jī)器人編程硬件設(shè)備的組裝上，而問題本身的算法難度不提升，那么，一則培養(yǎng)效率低下，二則會(huì)阻礙孩子抽象能力的發(fā)展。從小學(xué)數(shù)學(xué)問題出發(fā)在小學(xué)高年級(jí)開展編程教學(xué)是計(jì)算思維培養(yǎng)一條順理成章之路。