線性回歸與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型實現(xiàn)變形預(yù)測

夏顯文，褚成鳳，郭際明

（1.中交第三航務(wù)工程局有限公司，上海 200032；2.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079）

0 引言

變形監(jiān)測是利用各種測量技術(shù)獲得觀測數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理和建模分析得到變形量及變形趨勢，為工程施工和運營提供重要的安全信息。變形監(jiān)測數(shù)據(jù)建模的單一模型方法主要有回歸分析[1]、時間序列[2]、卡爾曼濾波[3]、灰色模型[4]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]等，但由于實際施工工程較為復(fù)雜，變形監(jiān)測數(shù)據(jù)受多種因素影響，單一的變形分析模型不能全面概括數(shù)據(jù)序列的所有特征，其預(yù)測精度不高，因而近十幾年，組合預(yù)測模型成為研究熱點。

對于組合預(yù)測模型而言，子模型的選擇和定權(quán)方式的選擇均能對組合預(yù)測的精度產(chǎn)生極大影響。關(guān)于子模型的選擇，已有研究有：小波分析和灰色模型組合[6]、線性回歸和灰色模型組合[7]、灰色模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型組合[8]、小波分析和時間序列模型組合[9]、灰色模型和時間序列模型組合[10]、時間序列模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型組合[11]等。關(guān)于定權(quán)方式的選擇有：熵權(quán)法[12]、最優(yōu)權(quán)法[13]、IOWGA算子[14]等。本文針對太湖隧道圍堰的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行研究，考慮到監(jiān)測點中既有隨時間線性變化分量，又有非線性變化分量，上述已有組合模型不能很好地反映這種數(shù)據(jù)特點，因而本文采用一元線性回歸和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兩種子模型，同時把線性和非線性分量進行考慮，分別采用經(jīng)典權(quán)和IOWGA算子定權(quán)兩種方式構(gòu)建了組合預(yù)測模型，對太湖隧道圍堰進行變形預(yù)測精度分析。

1 組合預(yù)測模型

1.1 變形監(jiān)測模型選擇方法

常用的變形監(jiān)測模型有回歸分析、灰色模型、時間序列、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。其中，回歸分析是線性變形監(jiān)測模型，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是非線性變形監(jiān)測方法，兩者相互補充，因此本文選擇這兩種變形監(jiān)測模型作為組合預(yù)測模型的子模型。

1）一元線性回歸

監(jiān)測點隨時間線性變化的趨勢，可采用一元線性回歸模型來表達[15]。

式中：xt為監(jiān)測點在時間t的觀測值；a0和a1為模型參數(shù)；εt為預(yù)測誤差。

2）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層、輸出層構(gòu)成，其中隱含層可有多層，同一層神經(jīng)元之間不存在連接關(guān)系，只有層與層之間相互連接。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型圖見圖1。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型圖Fig.1 BP neural network model diagram

具體過程為：第一步為正向傳播過程：輸入向量，根據(jù)初始隨機設(shè)置的各神經(jīng)元的權(quán)系數(shù)將向量先向前傳播到隱含層，經(jīng)過激活函數(shù)，再根據(jù)隨機設(shè)置的權(quán)比把隱含節(jié)點的輸入信息傳播到輸出節(jié)點，最后輸出結(jié)果。第二步為反向傳播過程：將輸出的結(jié)果與目標結(jié)果進行對比分析并設(shè)置一個閾值，若輸出結(jié)果與目標結(jié)果的差異超出該閾值范圍，則進行反向傳播，即將在初始權(quán)分配的基礎(chǔ)上重新調(diào)整各層神經(jīng)元之間的權(quán)重分配。然后再進行正向傳播，對比分析該次正向傳播過程輸出的結(jié)果與實測結(jié)果之間的差異，若在閾值之內(nèi)，則直接輸出，否則重復(fù)上述過程[16]。

1.2 定權(quán)方法

組合預(yù)測模型的關(guān)鍵在于各個單一變形監(jiān)測模型的定權(quán)方式，選擇合適的定權(quán)準則，可以有效地提高模型擬合、預(yù)測精度。

1）經(jīng)典權(quán)

最常用的經(jīng)典權(quán)定權(quán)準則是誤差平方和倒數(shù)法，即取各個模型的擬合預(yù)測值數(shù)據(jù)序列和實際觀測序列的殘差序列的平方和的倒數(shù)[17]。一般殘差數(shù)據(jù)序列的平方和越大，說明該變形監(jiān)測模型的擬合值與原始觀測數(shù)據(jù)差異性越大，即該變形監(jiān)測模型的預(yù)測精度越低，將其作為子模型參與組合模型，應(yīng)對其賦予較小的權(quán)系數(shù)，故取其倒數(shù)。該方法的數(shù)學(xué)模型如下：

式中：xt為時間t的實際觀測值；xit和eit分別為第i種單一模型在時間t的模型擬合值和擬合殘差；n為選取的計算觀測值殘差的個數(shù)。

2）IOWGA算子

IOWGA算子的定義如下：

假設(shè)存在m個二維數(shù)組（[d1，b1]，[d2，b2]，…，[dm，bm]），若有：

則稱IOWGAP是由誘導(dǎo)值序列d1，d2，…，dm所產(chǎn)生的維誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子（Induced Ordered Weighted Geometric Averaging Operator），簡稱IOWGA算子。其中，pi是與算子相關(guān)的權(quán)系數(shù)，且滿足：

di是bi的誘導(dǎo)值，將誘導(dǎo)值序列按照從大到小的順序進行排列，則d-index（i）是從大到小排列的誘導(dǎo)值序列的第i個大的誘導(dǎo)值的下標。IOWGA算子是對從大到小順序排列誘導(dǎo)值序列所對應(yīng)的排序后的實測數(shù)據(jù)序列進行有序加權(quán)幾何平均，pi與bi的大小以及在原始數(shù)據(jù)序列中的位置無關(guān)，只與其誘導(dǎo)值di在原始誘導(dǎo)值序列中的位置有關(guān)[18]。

IOWGA算子的建立流程如下：

式中：xt為實際觀測值數(shù)據(jù)序列；xit為第i種單一變形監(jiān)測模型在第t時刻的模型擬合值；dit表示第i個單一變形監(jiān)測模型在第t時刻的擬合精度，且dit∈[0，1]。把各單一變形監(jiān)測模型的擬合精度dit作為擬合值的誘導(dǎo)值。于是，m種單一變形監(jiān)測模型第t時刻的擬合精度dit和該時刻所對應(yīng)的擬合值xit就構(gòu)成了m個二維數(shù)組[dit，xit]，i=1，2，…，m。

按照從大到小的順序?qū)φT導(dǎo)值序列d1t，d2t，…，dmt進行排序，設(shè)第i個大的誘導(dǎo)值的下標為d-index（it），則由擬合精度序列d1t，d2t，…，dmt作為誘導(dǎo)值建立的第t時刻的IOWGA組合模型擬合值為：

設(shè)矩陣P=（p1，p2，…，pm）T為基于IOWGA算子的組合預(yù)測模型中的權(quán)系數(shù)向量矩陣，在式（7）和殘差的平方和最小的約束條件下，利用MATLAB中的最優(yōu)化工具箱即可求解權(quán)因子的具體數(shù)值[9]。

根據(jù)預(yù)測的連續(xù)性原則，在求解得到建模數(shù)據(jù)的IOWGA組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)后就可以進行預(yù)測。

1.3 效果評價方法

隨著組合預(yù)測模型的發(fā)展，越來越多的定權(quán)方式被提出，為了評價其模型擬合及預(yù)測的效果，目前常用的精度評價指標[19]有：

1）平均絕對誤差

2）中誤差

2 應(yīng)用實例分析

太湖隧道是一條高速公路隧道，位于常州至無錫之間。該隧道于2018年1月開始施工，預(yù)計2021年底完成，建成后或?qū)⒊蔀槿珖铋L的水下高速公路隧道。太湖隧道采用明挖法施工，首先需要建立圍堰。施工過程中由于工況變化，可能發(fā)生圍堰變形，需要對圍堰的變形情況進行監(jiān)測。采用測量機器人觀測和三維激光掃描兩種技術(shù)進行了圍堰變形監(jiān)測，監(jiān)測得到的觀測值為工程坐標系下的（X，Y）坐標值。本文采用位于圍堰上的2-6-099號點從2020-01-18—2020-04-06期間的58期觀測成果進行研究分析。2-6-099號點在圍堰上的相對位置如圖2所示。

圖2 監(jiān)測點的相對位置圖Fig.2 The relative position graph of the monitoring points

垂直于圍堰的變形是監(jiān)測工作最重要的信息，因此將（X，Y）轉(zhuǎn)換為在平行于圍堰（X′）和垂直于圍堰（Y′）這兩個方向為坐標軸的坐標值，后續(xù)進一步對Y′進行研究分析。轉(zhuǎn)換公式為式（10），幾何關(guān)系見圖3所示。

其中，tanβ=YA/XA。

圖3 坐標軸旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.3 Diagram of rotation of axes

2-6-099號點從2020-01-18—2020-04-06期間的67期觀測成果的Y′坐標序列如圖4所示（為了清楚地展現(xiàn)，本文采用的數(shù)據(jù)統(tǒng)一減去監(jiān)測點坐標的整數(shù)值）。由于太湖隧道仍在施工建設(shè)，施工工況隨時間不斷變化，監(jiān)測點的位移變化與工況密切關(guān)聯(lián)，因而本文只對其做1期預(yù)測，即利用前67期觀測數(shù)據(jù)預(yù)測第68期，前68期觀測預(yù)測第69期，以此類推。但單次1期預(yù)測也存在隨機性，因此本文共做了12組1期預(yù)測，利用12組預(yù)測值和實際觀測值求差得出其中誤差，利用中誤差進行效果評價。分別建立回歸分析和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)兩種單一變形監(jiān)測模型，以及對這兩種變形監(jiān)測模型分別采用經(jīng)典權(quán)、IOWGA算子定權(quán)這兩種定權(quán)方式建立組合預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果如表1所示。

圖4 點2-6-099的開始67期Y′坐標及第68—79期的1期預(yù)測值Fig.4 The starting 67 term Y′of point 2-6-099 and the 1 step forecasting value for 68-79 term

表1 12組1期預(yù)測的實測值和模型值對比Table 1 Comparison of the measured values and model values for 1 step forecasting of 12 groups m

根據(jù)4種方式的12組預(yù)測值，計算得到相應(yīng)的中誤差，結(jié)果如表2所示，從表2中可以看出：組合預(yù)測模型的預(yù)測精度優(yōu)于單一變形監(jiān)測模型，IOWGA算子的組合預(yù)測模型的精度又優(yōu)于經(jīng)典權(quán)模型。

表2 各模型預(yù)測精度評價Table 2 Evaluation of prediction accuracy of each mode

3 結(jié)語

本文利用一元線性回歸模型和非線性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型作為子模型，分別采用經(jīng)典權(quán)和IOWGA算子定權(quán)法建立了組合模型，基于對太湖隧道圍堰的觀測數(shù)據(jù)進行預(yù)測精度分析，結(jié)果表明，組合預(yù)測模型的預(yù)測精度優(yōu)于單一變形監(jiān)測模型，組合預(yù)測模型中，IOWGA算子定權(quán)組合模型的預(yù)測精度優(yōu)于經(jīng)典定權(quán)組合模型的預(yù)測精度。

一元線性回歸和非線性的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型按IOWGA算子定權(quán)的組合模型對既有線性變形又有非線性變形的監(jiān)測數(shù)據(jù)序列具有較好的描述，用于太湖隧道施工圍堰的變形預(yù)測比已有方法取得了更好的效果。