耦合憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡的固定時間同步*

馮 靚，胡 成，于 娟

(新疆大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

1971年，蔡少棠教授首次提出了憶阻器,并以此刻畫電荷和磁通量間的關系[1].由于憶阻器能夠模擬人腦的記憶和遺忘機制,因而被研究者引入到神經(jīng)網(wǎng)絡,建立了憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(MNNs).目前,諸如穩(wěn)定性[2]、同步[3]等MNNs的動力學行為已被各領域學者廣泛研究.另一方面,由于比實值神經(jīng)元具有更高的計算能力和信息存儲能力,近年來復值神經(jīng)元在模式識別、非線性濾波等方面得到了廣泛的應用,并且憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡(MCNNs)也成為了當前的研究熱點[4,5].而在大多數(shù)的研究中,作者先將復值系統(tǒng)分離成兩個實值子系統(tǒng),再利用實值神經(jīng)網(wǎng)絡的經(jīng)典理論分析兩個實值系統(tǒng)的動力學行為.雖然這種分離方法是有效的,但忽略了網(wǎng)絡的復值特征和優(yōu)勢,也會給理論分析和計算帶來一定的困難.因此,探索分析MCNNs的新方法具有重要的理論價值和實際意義.

固定時間控制比傳統(tǒng)的反饋控制具有更快的收斂速度,相較于有限時間控制,停息時間又不受初始條件的限制,因而近年來被各領域學者廣泛研究.盡管目前已有相當豐富的實值MNNs的固定時間同步結果[6,7],而憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡卻由于理論分析上的困難極少受到關注.

基于上述分析,本文將研究具有時變時滯的耦合復值憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡的固定時間同步.首先,為了避免現(xiàn)有結果[4,5]中將耦合憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡分離為兩個實值子系統(tǒng),再設計兩個實值控制器的復雜分析方法,本文引入了復值符號函數(shù)和復數(shù)域中的新范數(shù),使控制器設計、Lyapunov函數(shù)的選取以及理論分析都能夠在復數(shù)域內(nèi)直接進行.其次,建立并證明了一個新的固定時間穩(wěn)定性定理,改進了現(xiàn)有的結果[8].基于該定理,對耦合憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡設計了新的固定時間控制策略,簡化了以往的控制器設計,并得到了低保守性的固定時間同步準則.

1 模型描述及預備知識

參考Chen等提出的MCNN模型[9],本文考慮由N個MCNNs耦合而成的復雜網(wǎng)絡,其動力學模型描述為:

對任意的1≤i≤N,定義同步誤差為ei(t)=yi(t)-xi(t),那么由(3)和(5)可得,

為了得到本文的主要結論,還需引入如下引理及假設.

假設1 對任意的k=1,2,···,n,存在正常數(shù)Lk,Hk以及νk使得對任意的x1,x2∈C,

定義1 若存在正常數(shù)T*(φ,ψ),使得

并且存在正常數(shù)Tmax,使得對任意的φ,ψ∈CNn有T*(φ,ψ)≤Tmax,則稱主從耦合MCNNs(1)和(4)是固定時間同步的,其中e(t)=(e1(t)T,e2(t)T,···,eN(t)T)T,φ和ψ分別為系統(tǒng)(1)和(4)的初始值.

引理1[12]對任意的i=1,2,···,N,假設bi≥0,并且0＜θ≤1,δ＞1,那么

引理4[12]對任意復數(shù)z∈C,如下結論成立:

定義2[14]令V(x(t)):Rn→R是一個正定、正則且徑向無界的函數(shù),并且x(t)在[0,+∞)的任意閉區(qū)間上是絕對連續(xù)的,那么x(t)和V(x(t))在t∈[0,+∞)上幾乎處處可微,并且

其中:?V(x(t))表示V(x(t))的廣義梯度.

引理5 假設V(x(t)):Rn→R+是一個正定、正則且徑向無界的函數(shù),并且x(t)在[0,+∞)的任意閉區(qū)間上是絕對連續(xù)的,如果

2 主要結論

注1 在定理1中,如果β=0,T0的估計值將退化為如下形式

注2 在以往關于MCNNs動力學分析的理論研究中[4,5],其主要結論是通過將復值系統(tǒng)事先分離成兩個實值子系統(tǒng),再進行理論分析而得到的.不同于這種分離方法,本文復值符號函數(shù)的引入使得控制器設計、Lyapunov函數(shù)的選取以及理論分析均在復數(shù)域內(nèi)進行.

注3 在大多數(shù)關于固定時間同步的研究中[6,7],關于同步誤差的線性項在控制器設計中是必不可少的.與此不同,本文給出的控制策略移除了該線性部分,簡化了傳統(tǒng)的控制設計.另外,引理5將現(xiàn)有的固定時間穩(wěn)定性推廣到不連續(xù)系統(tǒng)中,并提高了已有工作[8]中給出的停息時間估計精度.

3 數(shù)值模擬

本部分將通過一個數(shù)值實例說明所得結論的有效性.

在系統(tǒng)(1)和(4)中,選取網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)為N=12,n=2,Πik={xik(t)∈C;|Re(xik(t))|+|Im(xik(t))|≤1.5,k=1,2},fk(xik(t))=tanh(Re(xik(t)))+i sin(Im(xik(t))),k=1,2,憶阻連接權重定義為:當xik(t),yik(t)∈Πik,di1=1.07+0.22i,di2=0.49-0.60i,ai11=2.20-1.03i,ai12=-0.14+0.60i,ai21=-5.10+3.49i,ai22=3.00-2.02i并且bi11=-1.59+0.10i,bi12=-1.19-0.13i,bi21=-0.10-0.42i,bi22=-2.10-1.90i;當xik(t),yik(t)∈/Πik,di1=0.98+0.12i,di2=0.51-0.62i,ai11=2.10-0.99i,ai12=-0.11+0.56i,ai21=-5.12+3.51i,ai22=3.10-2.08i,并且b i11=-1.65+0.15i,bi12=-1.11-0.12i,bi21=-0.19-0.40i,bi22=-1.99-1.89i.

基于以上參數(shù),系統(tǒng)(1)中孤立節(jié)點的實部和虛部動力學行為模擬如圖1和圖2所示,這里x1(0)=-2.18-1.09i,x2(0)=-1.97+1.22i.

圖1 孤立節(jié)點的實部相

圖2 孤立節(jié)點的虛部相圖

對任意的i=1,2,···,12,k=1,2,選取gk(xik(t))=tanh(Re(xik(t)))+i tanh(Im(xik(t))).通過簡要計算可得,Lk=νk=1,Hk=2.在控制器(8)中,選取下列控制參數(shù):mi=14.70,ρ1=11.20,ρ2=34.26,θ=1.42.則由定理1可知,耦合MCNNs(1)和(4)是固定時間同步的,如圖3和圖4所示.此外,對應的停息時間估計分別為T*0=22.00,T*2=21.82.

圖3 β=0.5時的同步誤差演化

圖4 β=0時的同步誤差演化

4 結論

本文主要討論了一類具有時滯的耦合憶阻復值神經(jīng)網(wǎng)絡的固定時間同步.基于引入的復值符號函數(shù)和新的固定時間穩(wěn)定性理論,設計了新的不連續(xù)復值控制策略,并通過構造新的Lyapunov函數(shù)來分析網(wǎng)絡的固定時間同步.此外,所提出的控制方法通過移除線性部分簡化了傳統(tǒng)控制設計.未來工作將研究脈沖系統(tǒng)或時空網(wǎng)絡的固定時間控制問題.