考慮阻尼性能的復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計

倪維宇,張橫,姚勝衛(wèi)

1. 上海理工大學 公共實驗中心,上海 200093 2. 上海理工大學 機械工程學院,上海 200093

薄壁板殼結(jié)構(gòu)由于其高剛輕質(zhì)特性而廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域結(jié)構(gòu)中。然而,由于板殼結(jié)構(gòu)本身阻尼小、輻射面積大、輻射效率高,在外部激勵下更易引起振動,產(chǎn)生噪聲,振動需要較長時間才能衰減,板殼振動問題變得尤為突出[1]。因此,對板殼結(jié)構(gòu)進行振動控制設(shè)計一直是近年來研究的熱點問題。

對板殼結(jié)構(gòu)進行減振設(shè)計,一種行之有效的措施是在結(jié)構(gòu)上施加阻尼材料,通過提高結(jié)構(gòu)阻尼達到減振目的。傳統(tǒng)的通過施加諸如橡膠等單一阻尼材料的設(shè)計方案由于阻尼材料本身模量較低,為了達到設(shè)計要求,材料施加量較多,不可避免會增加結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,與航空航天結(jié)構(gòu)高剛輕質(zhì)的設(shè)計要求背道而馳,產(chǎn)生這樣后果的主要原因是阻尼材料的材料屬性和敷設(shè)方案不合理,從本質(zhì)上說阻尼材料的設(shè)計與高剛輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的設(shè)計要求不匹配。阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動特性不僅與結(jié)構(gòu)宏觀構(gòu)型有關(guān),還與阻尼材料自身的材料性能相關(guān),因此為設(shè)計和制造具有高剛度、高阻尼和輕質(zhì)特性的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu),在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段就要對阻尼材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計、復(fù)合結(jié)構(gòu)的宏觀幾何形態(tài)設(shè)計等關(guān)鍵問題進行研究。輕量化要求阻尼材料具有高剛度和高阻尼的特性,使用較少的材料即可達到設(shè)計要求。單一阻尼材料的剛度和阻尼往往不能兼顧,若剛度大則往往阻尼較小,難以達到減振設(shè)計的目的；若阻尼材料阻尼大則往往剛度又較小,會使結(jié)構(gòu)剛度減小,結(jié)構(gòu)質(zhì)量增加較多。復(fù)合材料可通過不同阻尼材料組合,兼顧每一相基材料的優(yōu)點,實現(xiàn)具有高剛度和高阻尼特性的復(fù)合材料的設(shè)計。

目前針對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計研究多集中于宏觀結(jié)構(gòu)或微觀結(jié)構(gòu),在宏觀設(shè)計方面,Kang[2]、Kim[3]、Yamamoto[4]、鄭玲[5]等對板結(jié)構(gòu)的約束阻尼層進行了分布優(yōu)化設(shè)計,提高了結(jié)構(gòu)的阻尼性能。Takezawa[6]、EI-Sabbagh[7]、Zhang[8]、Yun[9-10]等對阻尼材料在結(jié)構(gòu)上的宏觀分布形態(tài)進行了深入研究,而Yi[11-12]、Andreassen[13]、Chen[14-15]、Andreasen[16]、Huang[17]、Liu[18]等對阻尼材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型進行了研究。事實上,最優(yōu)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)應(yīng)該在宏觀和微觀上均是最優(yōu)的,即阻尼材料自身的材料性能和阻尼材料在板殼結(jié)構(gòu)上的分布形態(tài)均是最優(yōu)的。但是目前對于阻尼材料分布的多尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計研究的文獻十分罕見。Andreassen和Jakob[19]提出了一種阻尼結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計方法,包括兩個設(shè)計步驟：① 最大化阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)的阻尼性能,得到最優(yōu)的阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型；② 使用第 ① 步優(yōu)化得到的阻尼復(fù)合材料進行宏觀分布設(shè)計,得到阻尼材料在宏觀上的分布形態(tài)。這種設(shè)計方法從嚴格意義上講還是單尺度設(shè)計方法,并不是真正的多尺度設(shè)計方法。在多尺度設(shè)計問題上,對于結(jié)構(gòu)基體的多尺度設(shè)計問題研究較多,Rodrigues等[20]首先提出了材料與結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計問題,并以宏觀結(jié)構(gòu)最小柔順性為目標得到了宏觀結(jié)構(gòu)和材料微結(jié)構(gòu)的設(shè)計。同樣Zhang和Sun[21]也對該問題進行了研究,但是他們研究的微結(jié)構(gòu)中每一個單胞的構(gòu)型都是不同的,這就使得優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)難以制造。其他類型的多尺度設(shè)計方法則是將微結(jié)構(gòu)單胞構(gòu)型的種類進行了限定,如Niu[22]和Zuo[23]等研究了最大化結(jié)構(gòu)頻率的兩尺度設(shè)計問題,其設(shè)計模型中,微結(jié)構(gòu)僅包含有一種形態(tài)。Vicente等[24]研究了頻率響應(yīng)問題下的多尺度設(shè)計問題,使優(yōu)化后整體結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能提升明顯。

針對板殼阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計問題,本文提出了一種基于變密度法的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度設(shè)計方法,以期通過同時對阻尼材料的分布及阻尼材料微結(jié)構(gòu)進行設(shè)計,使優(yōu)化后的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)具有最優(yōu)的性能。

1 兩尺度阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)

為實現(xiàn)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的兩尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計,需要首先建立阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的計算模型,并進行有限元分析。

1.1 兩尺度阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的組成

圖1所示為兩尺度自由阻尼層結(jié)構(gòu),圖1(a)為阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖,對其進行兩尺度設(shè)計,圖1(b) 為阻尼材料在宏觀上的分布形態(tài),圖1(c)為周期性阻尼復(fù)合材料,圖1(d)為阻尼復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型。在兩尺度優(yōu)化設(shè)計模型中,阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計及其在基板上的分布是同時進行的。

圖1 兩尺度阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of two scale damping composite structure

1.2 結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的計算

為準確描述阻尼材料的變化對結(jié)構(gòu)阻尼的影響,阻尼材料的阻尼特性使用復(fù)模量表示,如式(1)所示,不考慮阻尼材料性能隨溫度和頻率改變特性。

E=E′+jE″=E′(1+jη)

(1)

式中：E′、E″和η分別是黏彈性材料的儲能模量、損耗模量和材料損耗因子；j為虛數(shù)單位。

結(jié)構(gòu)自由振動的運動微分方程為

(2)

式中：u為結(jié)構(gòu)的位移；M和K分別是結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,由于阻尼材料模量的復(fù)數(shù)形式,可知結(jié)構(gòu)剛度矩陣K為復(fù)剛度矩陣：

K=Kp+Kv=KR+jKI

(3)

式中：Kp和Kv分別為基體和阻尼層的剛度矩陣,下標“p”和“v”分別代表金屬層和阻尼層；KR和KI分別為剛度矩陣的實部和虛部,上標“R”和“I”分別代表實部和虛部。KR和KI為

(4)

(5)

基于模態(tài)應(yīng)變能法[25]計算結(jié)構(gòu)的第k階模態(tài)阻尼比可近似表達為

(6)

2 優(yōu)化數(shù)學模型及靈敏度分析

2.1 需優(yōu)化的數(shù)學模型

為最大化結(jié)構(gòu)的阻尼性能,以結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼因子為目標對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計,多尺度優(yōu)化的數(shù)學模型為

Find:X(xi,yj)

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

0

(7e)

0

(7f)

2.2 靈敏度分析

在雙尺度模型中,對于單元的靈敏度分析要建立在對結(jié)構(gòu)在兩個尺度(微觀和宏觀)下分析的基礎(chǔ)上。在宏觀尺度上對結(jié)構(gòu)進行有限元分析可以計算出整體結(jié)構(gòu)的性能,基于均勻化法[26]在微觀尺度上對復(fù)合阻尼材料單胞進行有限元分析可以得到單胞的等效材料性能。

在微觀結(jié)構(gòu)的有限元分析過程中,通過對單胞施加周期性邊界條件,求解可得到微結(jié)構(gòu)的廣義位移：

ku=fMI

(8)

式中：k和u分別為微結(jié)構(gòu)單胞的剛度矩陣和位移矩陣；fMI為載荷矩陣。微結(jié)構(gòu)單胞的剛度矩陣k為

(9)

式中：ki為單胞上第i個單元的剛度矩陣；Y為微結(jié)構(gòu)的設(shè)計域；Yi為單胞上第i個單元的體積；b為應(yīng)變位移矩陣；DMI為微結(jié)構(gòu)上第i個單元的彈性矩陣。

因此式(8)中的載荷矩陣fMI為

(10)

基于均勻化法求解阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)單胞的等效復(fù)彈性矩陣DH為

(11)

式中：ui為微結(jié)構(gòu)中第i個單元的位移場,可通過式(8)求得；|Y|為微結(jié)構(gòu)單胞的體積；I為單位矩陣。

為獲得清晰的設(shè)計結(jié)果,基于SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization method)插值方法,微結(jié)構(gòu)上第i個單元彈性矩陣的插值模型為

(12)

式中：p為懲罰系數(shù),p取3；D1和D2分別為剛度材料和阻尼材料的彈性矩陣。

(13)

根據(jù)式(12)和式(13),可得優(yōu)化過程中復(fù)合阻尼材料的等效復(fù)彈性矩陣DH為

(I-bui)dY

(14)

對式(7b)目標函數(shù)的靈敏度分析可分別對兩項進行求導(dǎo)再相加即可。第1項對設(shè)計變量靈敏度可通過式(6)對設(shè)計變量X求導(dǎo)得到：

(15)

(16)

式中：kv,j為第j個單元的剛度矩陣；B為應(yīng)變位移矩陣；Ω為單元積分域。

(17)

(18)

通過式(14)可得等效彈性矩陣對設(shè)計變量xi的靈敏度計算為

(19)

(20)

將式(19)和式(20)分別代入式(17)和式(18),復(fù)合阻尼材料剛度矩陣虛部和實部對設(shè)計變量的靈敏度計算公式為

(21)

(22)

將式(21)和式(22)代入式(15),可得到結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)阻尼因子對微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的靈敏度。

考慮阻尼復(fù)合材料在宏觀上的分布設(shè)計問題,通過式(13)插值公式,式(15)中結(jié)構(gòu)剛度矩陣對宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量在單元上的靈敏度分別為

(23)

(24)

將式(23)和式(24)代入式(15),即可得到結(jié)構(gòu)的第k階模態(tài)阻尼比對宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的靈敏度。

2.3 優(yōu)化流程

考慮阻尼性能的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)多尺度拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的主要設(shè)計步驟如圖2所示,包括如下幾個設(shè)計步驟：

1) 初始宏觀微觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型的建立

對宏觀結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分,宏觀結(jié)構(gòu)的每一個網(wǎng)格都為一個微結(jié)構(gòu)單胞,因此再把每個宏觀網(wǎng)格假想為一個設(shè)計域,并進行網(wǎng)格劃分,建立兩尺度優(yōu)化的模型,基板設(shè)置為非設(shè)計域,阻尼層設(shè)置為可設(shè)計域。

（2）階段二。橋梁中間設(shè)置隔離墩，將左幅橋梁封閉，右幅實現(xiàn)雙向車道通行，同時設(shè)置合理的通行時速。此階段進行施工的過程中，對左幅需要進行拼接施工，同時橋面需要進行鋪裝施工。

2) 微結(jié)構(gòu)有限元分析

對單胞進行網(wǎng)格劃分,建立單胞的有限元模型,單胞所有的單元均設(shè)置為設(shè)計變量。通過均勻化方法對單胞進行有限元分析,得到單胞的等效復(fù)彈性矩陣DH。

3) 結(jié)構(gòu)宏觀性能有限元分析

使用第2)步得到的單胞的等效復(fù)彈性矩陣DH,代入式(16)得到每個宏觀單元的剛度矩陣,再進行組裝得到宏觀結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣并進行有限元分析,計算得到整體結(jié)構(gòu)的性能,主要包括目標函數(shù)和約束函數(shù)值的計算。

4) 兩個尺度上的靈敏度分析

使用式(15)計算設(shè)計變量xi和yj的靈敏度。

5) 通過移動漸近線算法更新設(shè)計變量xi

使用移動漸近線算法[27](Method of Moving Asymptotes,MMA)更新設(shè)計變量。MMA通過引入移動漸近線,將隱式的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一系列顯式的可分離嚴格凸近似子優(yōu)化問題。每一步迭代中,通過用梯度類算法求解凸近似子問題更新設(shè)計變量,適用于處理目標函數(shù)復(fù)雜且具有約束的拓撲優(yōu)化問題。

6) 收斂判斷

如果優(yōu)化迭代的目標函數(shù)連續(xù)兩次的差值小于收斂容差,或者迭代次數(shù)到達設(shè)定的最大值N,則退出循環(huán)；否則返回第2步,繼續(xù)迭代,直到達到收斂條件。

圖2 優(yōu)化設(shè)計流程Fig.2 Process of optimization design

3 算 例

通過幾個算例驗證所提設(shè)計方法的有效性。算例中基板為鋁合金,阻尼層由周期性復(fù)合阻尼材料構(gòu)成,復(fù)合阻尼材料由兩相組成,一相為低剛度高阻尼材料(橡膠),另一相為高剛度低阻尼材料(樹脂),材料具體參數(shù)如表1所示。結(jié)構(gòu)劃分為四節(jié)點Mindlin板單元,微結(jié)構(gòu)優(yōu)化中初始構(gòu)型選取如圖3所示,初始密度為微結(jié)構(gòu)中體積分數(shù)設(shè)定值,四角點初始密度設(shè)置為0.001(樹脂)。宏觀和微觀設(shè)計中的過濾半徑均設(shè)置為2倍的單元尺寸。

表1 材料屬性Table 1 Parameters of materials

圖3 初始微結(jié)構(gòu)構(gòu)型Fig.3 Configuration of initial microstructure

3.1 算例1：四點固支板

圖4所示為四點固支板結(jié)構(gòu),其長度L=360 mm,寬度W=250 mm,金屬基板和阻尼層的厚度均為2 mm。宏觀結(jié)構(gòu)劃分為36×25個Mindlin板單元,則微結(jié)構(gòu)的尺寸為10 mm×10 mm,劃分為40×40個四節(jié)點Mindlin板單元。為進一步驗證結(jié)果,對結(jié)構(gòu)進行頻率響應(yīng)分析,采用原點激勵原點響應(yīng)方式,頻率響應(yīng)測試點為圖4中黃色點。

圖4 四點固支結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Diagram of four point fixed support structure

考慮兩種不同的目標函數(shù),第1種為單目標設(shè)計,分別考慮3種算例：算例1——最大化結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)阻尼比、算例2——最大化結(jié)構(gòu)的第2階模態(tài)阻尼比、算例3——最大化結(jié)構(gòu)的第3階模態(tài)阻尼比；第2種為多目標設(shè)計,考慮算例4——最大化結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)阻尼比加權(quán)和,加權(quán)系數(shù)相等。所有算例的體積分數(shù)均相同,fMA=0.5,fMI=0.5。當fMI=0.5時,低剛度高阻尼材料的體積分數(shù)為0.5,即VMI,1=50%,而另外一相高剛度低阻尼材料的體積分數(shù)也為0.5,即VMI,2=50%,VMI,1+VMI,2=100%。由于微結(jié)構(gòu)設(shè)計多為局部解問題,不同的初始微結(jié)構(gòu)構(gòu)型會得到不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。因此,為在相同的宏觀體積約束下得到最優(yōu)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)果,設(shè)計人員需要調(diào)整微結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型,即微結(jié)構(gòu)的體積分數(shù)值,以便得到具有最優(yōu)性能的多尺度結(jié)構(gòu),本文中僅給出了體積分數(shù)為0.5時對應(yīng)的設(shè)計結(jié)果。

圖5～圖7為單目標優(yōu)化設(shè)計結(jié)果,分別對應(yīng)算例1、2和3；圖8為多目標設(shè)計結(jié)果；圖9為迭代歷程圖,可以看出這4種目標函數(shù)對應(yīng)的設(shè)計都收斂。

從圖5～圖8的設(shè)計結(jié)果可知,當目標函數(shù)不同時,設(shè)計結(jié)果的宏觀和微觀構(gòu)型不同。結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)振型為中間位置的上下振動,當最大化第1階模態(tài)阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于中間位置,即分布于結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)應(yīng)變能最大處。結(jié)構(gòu)的第2階模態(tài)振型為結(jié)構(gòu)長邊的扭動,當最大化第2階模態(tài)阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于結(jié)構(gòu)長邊兩側(cè),即分布于結(jié)構(gòu)第2階模態(tài)應(yīng)變能最大處。結(jié)構(gòu)的第3階模態(tài)振型為短邊中間位置的振動,當最大化第3階模態(tài)阻尼比時,宏觀上阻尼材料主要分布于結(jié)構(gòu)短邊兩側(cè),即分布于結(jié)構(gòu)第3階模態(tài)應(yīng)變能最大處?？梢钥偨Y(jié)為阻尼材料在宏觀上主要分布于結(jié)構(gòu)應(yīng)變能較大的區(qū)域,以抵制結(jié)構(gòu)的變形,增加結(jié)構(gòu)的阻尼。當最大化前3階模態(tài)阻尼比之和時,阻尼材料分布為算例1、2、3的綜合結(jié)果。在微結(jié)構(gòu)構(gòu)型圖中,不同目標函數(shù)復(fù)合阻尼材料的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型不同,但是都有一個共同的特點,即微結(jié)構(gòu)構(gòu)型中低剛度高阻尼材料的分布相互連接。從微結(jié)構(gòu)的等效復(fù)彈性模量可知微結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出負泊松比。同時其損失模量(微結(jié)構(gòu)復(fù)彈性矩陣的虛部)絕對值相對較大,其阻尼因子(微結(jié)構(gòu)復(fù)彈性矩陣的虛部比實部)也相對較高。

圖5 算例1：最大化第1階模態(tài)阻尼比設(shè)計結(jié)果Fig.5 Example 1: Design results of maximizing first modal damping ratio

圖6 算例2：最大化第2階模態(tài)阻尼比設(shè)計結(jié)果Fig.6 Example 2: Design results of maximizing second modal damping ratio

圖7 算例3：最大化第3階模態(tài)阻尼比設(shè)計結(jié)果Fig.7 Example 3: Design results of maximizing third modal damping ratio

圖8 算例4：最大化前3階模態(tài)阻尼比之和設(shè)計結(jié)果Fig.8 Example 4: Design reslts of maximizing sum of first three modal damping ratios

圖9 迭代歷程Fig.9 Iteration history

表2為各設(shè)計結(jié)果對應(yīng)的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比,為說明設(shè)計結(jié)果的優(yōu)異性,添加兩個對比設(shè)計例,分別為宏觀全部涂敷橡膠或全部涂敷樹脂。圖10為各設(shè)計結(jié)果的頻率響應(yīng)曲線圖,頻率范圍為0～120 Hz,圖10(a)為各設(shè)計結(jié)果的頻率響應(yīng)對比,圖10(b)～圖10(d)分別為頻響函數(shù)曲線在第1、2和3階模態(tài)頻率處的局部放大圖。

綜合圖5～圖8、圖10和表2可得,當最大化結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)阻尼比時,設(shè)計結(jié)果與目標函數(shù)一致,結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)阻尼比最大,同時結(jié)構(gòu)在第1階模態(tài)頻率處的頻率響應(yīng)最小。當最大化結(jié)構(gòu)的第2階或第3階模態(tài)阻尼比時,設(shè)計結(jié)論與最大化結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)阻尼比時相似；在最大化結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)阻尼比的加權(quán)值時,結(jié)構(gòu)在每一階模態(tài)處的阻尼比要小于以對應(yīng)階數(shù)模態(tài)阻尼比為目標時得到的設(shè)計結(jié)果,但是就前3階的總體性能而言,以前3階加權(quán)值為目標得到的設(shè)計結(jié)果更優(yōu)。與基板結(jié)構(gòu)相比,涂敷阻尼材料后結(jié)構(gòu)的頻率有所降低,但是其阻尼大幅增加。與僅涂敷橡膠等高阻尼材料相比,提出的涂敷阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的頻率、阻尼都變大,同時結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)變?。慌c僅涂敷樹脂等高剛度類阻尼材料的情況相比,提出的涂敷阻尼復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的頻率雖然略有降低,但是結(jié)構(gòu)的阻尼增大,頻率響應(yīng)變小。由此可得與全涂敷某一種單一的阻尼材料相比,使用兩尺度優(yōu)化設(shè)計得到的設(shè)計結(jié)果的動態(tài)性能有顯著提高。

表2 兩邊固支結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)果性能對比

圖10 優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)圖Fig.10 Frequency response diagrams of optimized structure

3.2 算例2：航天器儀器安裝板

圖11為某型號航天器儀器安裝板，結(jié)構(gòu)長度為400 mm,寬度為300 mm,厚度為2.5 mm,儀表簡化為盒狀,其尺寸為100 mm×60 mm×75 mm,質(zhì)量為200 g。儀表位于安裝板正中心位置,假設(shè)儀表質(zhì)量均勻分布于接觸面。安裝板四周固定。

以結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)阻尼比為目標對安裝板進行優(yōu)化設(shè)計,結(jié)果如圖12所示。對安裝板中間部位進行頻率響應(yīng)分析,采用原點激勵原點響應(yīng)方式,添加兩個對比算例,分別為全部涂敷橡膠或環(huán)氧樹脂,圖13為分析結(jié)果。可見多尺度設(shè)計結(jié)構(gòu)、全部涂敷橡膠和全部涂敷樹脂對應(yīng)的最大響應(yīng)分別為2.15×10-3mm、6.32×10-3mm和3.17×10-3mm,相較于全部涂敷橡膠材料,多尺度阻尼層結(jié)構(gòu)的響應(yīng)降低了約65.9%,相較于全部涂敷樹脂材料則降低了32.1%。可見使用所提多尺度設(shè)計方法的設(shè)計結(jié)果振動性能明顯提高。

圖11 航天器儀器安裝板結(jié)構(gòu)Fig.11 Structure of spacecraft instrument mounting plate

圖12 儀器安裝板阻尼層的多尺度設(shè)計結(jié)果Fig.12 Multi-scale design results of instrument mounting plate with damping layer

圖13 儀器安裝板的頻率響應(yīng)分析Fig.13 Frequency response analyses of instrument mounting plate

4 結(jié) 論

1) 提出了一種基于非比例阻尼模型的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)兩尺度拓撲優(yōu)化方法,實現(xiàn)了阻尼材料在宏微觀兩尺度上的協(xié)同設(shè)計,同時獲得最優(yōu)的阻尼材料宏觀分布形態(tài)和微觀構(gòu)型。且本文的設(shè)計方法還可擴展應(yīng)用于三維結(jié)構(gòu)的設(shè)計,為阻尼層復(fù)合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供一種有效的設(shè)計方法。

2) 在以結(jié)構(gòu)阻尼為目標的設(shè)計中,研究了不同目標函數(shù)對設(shè)計結(jié)果的影響,設(shè)計結(jié)果表明,當最大化結(jié)構(gòu)的某一階模態(tài)阻尼比時,優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的該階模態(tài)阻尼比最大,同時該階的頻率響應(yīng)最??；當以前3階模態(tài)阻尼比之和為目標時,結(jié)構(gòu)前3階模態(tài)阻尼比的總體性能更優(yōu)。

3) 在微結(jié)構(gòu)構(gòu)型圖中,不同目標函數(shù)復(fù)合阻尼材料的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型不同,但是都有一個共同的特點,即微結(jié)構(gòu)構(gòu)型中低剛度高阻尼材料的分布相互連接。從微結(jié)構(gòu)的等效復(fù)彈性模量可知微結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)負泊松比。同時其損失模量(微結(jié)構(gòu)復(fù)彈性矩陣的虛部)絕對值相對較大,其阻尼因子(微結(jié)構(gòu)復(fù)彈性矩陣的虛部比實部)也相對較高。