CD播放器與數(shù)學(xué)

2003年，德國《世界報(bào)》不畏艱難，把數(shù)學(xué)題材引入報(bào)紙專欄，結(jié)果取得巨大成功。根據(jù)該專欄100篇文章結(jié)集的圖書《五分鐘數(shù)學(xué)》風(fēng)靡全球，已被翻譯成英、法、俄、意、日、韓、土等十幾個(gè)語種。本書根據(jù)該書持續(xù)修訂后的第四版譯出。本書所有文章講了三個(gè)方面的問題，分別是數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是迷人的，數(shù)學(xué)是自然的語言。這本書為我們挖掘了當(dāng)代生活中蘊(yùn)含的豐富有趣的數(shù)學(xué)素材，揭去了概率論、模算術(shù)、組合論、集合論、極值等高深概念的神秘面紗，也講述了數(shù)學(xué)發(fā)展史上的傳奇故事和偉大人物，啟發(fā)我們要繼續(xù)沿著數(shù)學(xué)道路去理解這個(gè)世界。

編碼與樣本理論

在普通家庭里可以看到的所有電器中，CD 播放器絕對(duì)是數(shù)學(xué)含量最高的裝備，它在兩個(gè)方面非常重要。首先，原始的連續(xù)信號(hào)，例如柏林愛樂樂團(tuán)演出的錄音，被進(jìn)行數(shù)字化處理，轉(zhuǎn)換成一個(gè)由0和1組成的有限集合。它每秒鐘的信號(hào)被采樣大約44000次——關(guān)于信號(hào)處理的定理告訴我們，這種水平的采樣，已經(jīng)捕捉到人類耳朵能聽出來的所有細(xì)節(jié)。

無論是制作CD的過程，還是播放CD的過程，錯(cuò)誤的產(chǎn)生都是不可避免的：也許CD上有一塊污漬，也許它被貓撓出了一道印子。想象一下：如果在傳輸幾兆的數(shù)據(jù)時(shí)，僅僅一個(gè)數(shù)位出現(xiàn)錯(cuò)誤，就導(dǎo)致整個(gè)文件數(shù)據(jù)的丟失，那是多么巨大的問題！因此，CD播放器需要能夠“容忍”小的錯(cuò)誤，這就需要用到更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)結(jié)果。

如果我們希望CD播放器的效果都很完美，那么設(shè)備和碟片都將昂貴到難以承受。

但是問題可以在另一種意義上得到解決，其奧妙就是“編碼理論”a——我們應(yīng)該怎樣傳送數(shù)字化信息，才能使接收者總能讀出正確的信息，即便傳輸中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤也不例外？

如果你想發(fā)送十個(gè)字母長(zhǎng)的摩爾斯電碼，但信號(hào)可能因編碼錯(cuò)誤或天氣干擾而變形。

那么，你需要怎么做，才能夠保證你原始的十字信息能夠被完整地送達(dá)呢？第一個(gè)出現(xiàn)在我們腦海里的想法很可能是：發(fā)送者重復(fù)不斷地發(fā)送，接收者則將重復(fù)頻率最高的信息當(dāng)作正確信息。對(duì)CD播放器而言，這種辦法將會(huì)增加太多太多的工作。為了更有效地解決問題，人們發(fā)明了一種技術(shù)，使得在實(shí)際傳輸?shù)摹皬?qiáng)健”b版信號(hào)中，信號(hào)長(zhǎng)度并沒有顯著的增加。

同時(shí)，傳輸模式已經(jīng)變得對(duì)錯(cuò)誤不敏感，即便出現(xiàn)相當(dāng)程度的干擾，重現(xiàn)的聲音質(zhì)量也不受影響。例如，甚至劃痕嚴(yán)重的CD也可以播放，并且聲音聽起來也沒有什么瑕疵。

很可惜，黑膠唱片沒有相應(yīng)的技術(shù)，它上面的一粒灰塵都會(huì)被聽出來。

采樣理論

對(duì)音樂或其他聲音信號(hào)的原始資源，為了使它們能夠進(jìn)入我們家里的音響系統(tǒng)，我們需要完成幾個(gè)步驟。首先，聲音需要數(shù)字化，也就是轉(zhuǎn)換成很長(zhǎng)很長(zhǎng)的，由0和1組成的序列。這個(gè)過程把信號(hào)從模擬的或說是連續(xù)的，轉(zhuǎn)換成數(shù)字化的，或者說是離散的形式。這是決定性的一步，因?yàn)橹挥袛?shù)字化的材料，才不會(huì)在復(fù)制和處理過程中出現(xiàn)品質(zhì)的降低。

數(shù)字化之所以可能，是因?yàn)槲覀內(nèi)祟惵犛X的不完美。如果我們可以聽到任意高頻的“聲波”，那就不可能有CD存在。但事實(shí)上，我們聽不見超過20千赫的超聲波，所以聲音的數(shù)字化才得以成功實(shí)現(xiàn)。數(shù)字化過程分為兩步：

信號(hào)首先經(jīng)過濾波器，信號(hào)中人類聽不到的高頻率部分被濾去。對(duì)我們的耳朵來說，所得到的結(jié)果與原來的信號(hào)沒有區(qū)別。

接著，我們利用這樣一個(gè)事實(shí)：只要每秒采樣的次數(shù)足夠，限定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)就可以被數(shù)字化，并可以根據(jù)后者精確地重建。

上述第二點(diǎn)所陳述的事實(shí)就是“采樣定理”，其準(zhǔn)確的描述是這樣的：如果一個(gè)信號(hào)由若干頻率組成，其最高頻率為f。那么，只要采樣時(shí)間間隔不大于12f，信號(hào)就可以（根據(jù)采樣結(jié)果不失真地）重建。

例如，如果信號(hào)中最高的頻率是10千赫，那么，采樣間隔必須不大于120000秒。這就是說，每秒采樣次數(shù)要達(dá)到20000次。

這么說好像有些抽象，但這個(gè)定理可以用另一個(gè)領(lǐng)域的例子來說明。假設(shè)你有一個(gè)錄像機(jī)，它每秒錄像的幀數(shù)可以設(shè)置。你家小孩正坐在秋千上，而你正在給她錄像。在正常的幀數(shù)設(shè)置下，錄像會(huì)真實(shí)地重現(xiàn)小孩蕩秋千的場(chǎng)景。但如果你把每秒錄像的幀數(shù)設(shè)置得太低，場(chǎng)景就會(huì)被大大地歪曲：在錄像中秋千只移動(dòng)了一點(diǎn)點(diǎn)，而事實(shí)上錄像機(jī)錯(cuò)過了秋千一個(gè)完整的來回。采樣定理可以被比作錄像機(jī)的使用說明：對(duì)秋千如此這般的往返頻率，錄像機(jī)的每秒幀數(shù)必須達(dá)到如彼那般，否則就無法真實(shí)地錄下蕩秋千的場(chǎng)景。

[德]埃溫哈德·貝蘭茨

柏林自由大學(xué)數(shù)學(xué)教授，主要作品包括《無處不在的數(shù)學(xué)》等。

吳朝陽

南京大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授，科普作者、譯者。