基于MATLAB對(duì)夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的仿真

李新龍

（西藏大學(xué) 理學(xué)院 物理系，西藏 拉薩 850000）

0 引言

由于光學(xué)成像系統(tǒng)中光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的，所以探討圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射對(duì)于分析光學(xué)儀器成像、評(píng)估儀器成像質(zhì)量以及圓孔衍射實(shí)驗(yàn)的理論教學(xué)具有十分重要的意義。近年來，為推動(dòng)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)的發(fā)展和完善已有夫瑯禾費(fèi)衍射理論教學(xué)，有關(guān)圓孔衍射的研究可見諸于諸多文獻(xiàn)，如：文獻(xiàn)[1]借助衍射理論的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB對(duì)夫瑯和費(fèi)衍射進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，文獻(xiàn)[2]利用MATLAB、GUI設(shè)計(jì)方法和顏色匹配理論，最終可獲得不同顏色的圓孔衍射圖樣。然而，這些文獻(xiàn)缺乏對(duì)整個(gè)衍射過程物理圖像的呈現(xiàn)，無疑給夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的教學(xué)和學(xué)生對(duì)該實(shí)驗(yàn)的理解增加了難度。因此，本文考慮來自光源的一列經(jīng)透鏡折射的平面波正入射到一圓孔衍射屏上，在圓孔衍射屏上取柱坐標(biāo)，而后依據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，導(dǎo)出接受屏上圓孔衍射的光強(qiáng)分布。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用MATLAB對(duì)光線的整過傳播過程進(jìn)行仿真模擬，最終得到了圓孔的夫朗禾費(fèi)衍射仿真圖，這讓學(xué)生直觀地感知了整個(gè)衍射過程，加深了學(xué)生對(duì)圓孔衍射的理解，同時(shí)為圓孔衍射實(shí)驗(yàn)的理論教學(xué)又提供了新的教學(xué)方法。

1 圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射理論

假設(shè)衍射屏上的圓孔的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，一束來自光源的光經(jīng)過凸透鏡后成為一列平面光波正入射到圓形孔上，在該圓孔平面上取柱坐標(biāo)[3-4]（如圖1所示，其中Q為光源，G為圓孔衍射屏，H為接收屏，L1和L2為透鏡，f1和f2分別表示物方焦距和像方焦距），有考慮在點(diǎn)M附近一個(gè)無窮小的面元 ，如果在處的振幅和相位分布由函數(shù) 給出，則在點(diǎn)P來源于那些無窮小面元的波的場分布正比于

圖1 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射原理圖

將式（3）中分母上的r用z來代替，則

其中

表示空間頻率。

由夫瑯禾費(fèi)近似成立的條件[5]。

在這一近似條件下，式（5）可化為如下形式

式中a表示圓孔衍射屏的半徑，且用到 了關(guān)系式[6]

式（9）可化為

為點(diǎn)O’的強(qiáng)度，該光強(qiáng)分布被稱為艾里函數(shù)。其中圓孔衍射光強(qiáng)分布的前幾個(gè)極大值和極小值如下表

表1 圓孔衍射強(qiáng)度分布的前幾個(gè)極大值和極小值

依據(jù)上述理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果，夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射圖樣有以下特點(diǎn)[7-8]：

（1）接收屏上的衍射條紋是一系列明暗交替的同心圓環(huán)。

（2）中央是零級(jí)衍射斑，級(jí)次越大的條紋的角半徑越大。

（3）不同級(jí)次的圓環(huán)之間的角距離不相等。

（4）不同級(jí)次的衍射亮紋的輻射通量并不相等。其中，中央主極大為一圓形亮斑（即艾里斑），其通量約占衍射總通量的84%。

2 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射仿真

依據(jù)夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的理論推導(dǎo)、衍射的原理圖，利用MATLAB強(qiáng)大的可視化功能，對(duì)整個(gè)衍射過程進(jìn)行仿真模擬，MATLAB編寫的程序代碼如下[9-14]：

代碼運(yùn)行結(jié)果

圖2 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射仿真圖

圖3 弗朗禾費(fèi)圓孔衍射強(qiáng)度分布

經(jīng)過與教材[7]中夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射強(qiáng)度分布曲線、衍射圖樣對(duì)比，兩者契合得很好。

3 結(jié)語

運(yùn)用MATLAB對(duì)整個(gè)夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射過程進(jìn)行仿真模擬，仿真的結(jié)果很好地呈現(xiàn)了圓孔衍射的光線傳輸過程、光強(qiáng)分布曲線和衍射圖樣，這與理論推導(dǎo)的結(jié)果契合得非常好，說明了仿真結(jié)果的可靠性。與此同時(shí)，加深了學(xué)生對(duì)圓孔衍射理論和現(xiàn)象的理解以及認(rèn)識(shí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，豐富了教學(xué)的方法，提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。