Maple在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用

孟勇

(合肥北辰教育培訓(xùn)學(xué)校有限公司 安徽 合肥 230041)

1 引言

在日常的物理教學(xué)過程中，部分教師可能會遇見一些不利于達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的問題出現(xiàn)，具體表現(xiàn)為：對于有限時(shí)長的課堂中，教師在進(jìn)行復(fù)雜公式的推導(dǎo)和大量數(shù)據(jù)的計(jì)算時(shí)會耗費(fèi)大量的精力與時(shí)間，以至于對重點(diǎn)知識內(nèi)容的深入講解會出現(xiàn)時(shí)間不夠的現(xiàn)象發(fā)生，從而影響了上課的效果與進(jìn)度.同時(shí),部分學(xué)生的邏輯思維能力不強(qiáng)，導(dǎo)致對抽象化的概念難以理解，久而久之可能會失去學(xué)習(xí)興趣.此外對于一些物理實(shí)驗(yàn)的演示會受到客觀實(shí)際條件的制約而效果不佳，乃至難以實(shí)現(xiàn)，因此,導(dǎo)致了部分學(xué)生對實(shí)驗(yàn)原理難以理解或是對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象無法留下深刻的印象.

Maple作為全球范圍內(nèi)廣泛使用且享有盛名的數(shù)學(xué)軟件[1,2]，素有“數(shù)學(xué)家的軟件”之稱.它具有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算功能以及能夠滿足各種科研與教學(xué)需求的豐富的程序包.本文以Maple軟件為平臺，分別將其四大主要功能應(yīng)用到中學(xué)物理的各個(gè)知識板塊之中，進(jìn)而說明通過Maple軟件的使用來達(dá)到提升教學(xué)質(zhì)量的目的.

2 符號演算功能在力學(xué)中的應(yīng)用

Maple作為數(shù)學(xué)軟件有著非常強(qiáng)大的符號計(jì)算能力，能夠快速解決如微積分求解、矩陣運(yùn)算、矢量計(jì)算等問題.并且其輸入方式與輸出方式跟筆紙計(jì)算時(shí)無異，所以能像教科書似的顯示數(shù)字與文字.因此，可以將Maple應(yīng)用到物理公式的推導(dǎo)與方程的求解之中.

針對近年來高考或者競賽中的部分應(yīng)用題，教師在根據(jù)相關(guān)定理以及位置關(guān)系列出若干表達(dá)式之后，對于這些表達(dá)式的求解若通過紙筆計(jì)算的方式進(jìn)行求解，將需要花費(fèi)大量時(shí)間且可能會有少許錯(cuò)誤出現(xiàn).因此，可以通過Maple軟件的符號計(jì)算功能來簡化求解過程或者驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性.下面以一道競賽題為例演示Maple的題目求解過程.

【例題】如圖1所示，質(zhì)量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動，并且其傾角為α.同時(shí)質(zhì)量為m1的運(yùn)動員與斜面之間亦無摩擦，求運(yùn)動員相對斜面的加速度及其對斜面的壓力.

圖1 運(yùn)動員在斜面上的運(yùn)動

首先建立坐標(biāo)系并對m1和m2進(jìn)行受力分析，如圖2所示.

圖2 受力分析

可得以下方程

-FN1sinα=m1ax1

(1)

FN1cosα-m1g=m1ay1

(2)

FN1sinα=m2ax2

(3)

FN2-m2g-FN1cosα=0

(4)

并且由于運(yùn)動員在斜面上運(yùn)動，必然受到斜面的制約.所以運(yùn)動員和斜面的加速度滿足下列關(guān)系

(5)

然后再列出運(yùn)動員相對斜面的加速度公式為

(6)

最后通過Maple軟件聯(lián)立式(1)～(6)求解出本題答案，其代碼如下所示.

eq1:=-F[N1]*sin (alpha)=m[1]*a[x1]:#對m1在x方向列牛頓運(yùn)動方程

eq2:=F[N1]*cos(alpha)-m[1]*g=m[1]*a[y1]:#對m1在y方向列牛頓運(yùn)動方程

eq3:=F[N1]*sin (alpha)=m[2]*a[x2]:#對m2在x方向列牛頓運(yùn)動方程

eq4:=F[N2]-m[2]*g-F[N1]*cos(alpha)=0:#對m2在y方向列牛頓運(yùn)動方程

eq5:=tan(alpha)=a[y1]/(a[x1]-a[x2]):#m1在m2斜面上運(yùn)動時(shí)加速度所滿足的關(guān)系

Solution1:=solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5},{F[N1],F[N2],a[x1],a[x2],a[y1]});#求解出各個(gè)作用力與兩者相對于地面的加速度

solution2:=subs(Solution1,eq6):#將上式帶入eq6得到運(yùn)動員相對于斜面的加速度大小

將上述代碼運(yùn)行后可得到最終答案為：

Solution1:

(7)

(8)

從式(7)～(8)的表達(dá)式可知：比起通過紙筆進(jìn)行復(fù)雜又費(fèi)時(shí)費(fèi)力且有一定出錯(cuò)率的人工計(jì)算來說,Maple確實(shí)能快速得到求解方程，得到正確的運(yùn)算結(jié)果，這非常適合于在課上進(jìn)行演示.因此,這說明Maple軟件在求解應(yīng)用題目時(shí)所發(fā)揮的重要的輔助作用.

3 程序設(shè)計(jì)在熱學(xué)中的應(yīng)用

Maple軟件不僅像C語言一樣具有完善的編程語言，同時(shí)有別于傳統(tǒng)的編程語言，它自身就蘊(yùn)含著非常豐富的命令集，所以,可以非常方便地供編程所用.下面就主要利用Maple的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)rand進(jìn)行編程設(shè)計(jì)，制作出擴(kuò)散現(xiàn)象的動畫來展現(xiàn)熵增過程.

擴(kuò)散現(xiàn)象是指物質(zhì)分子從濃度高的區(qū)域向低濃度區(qū)域轉(zhuǎn)移直至均勻分布的現(xiàn)象，例如花香飄散、炊煙裊裊等等.其本質(zhì)是因?yàn)榻M成物質(zhì)的粒子都在永不停息地做著無規(guī)則熱運(yùn)動,進(jìn)而導(dǎo)致質(zhì)量遷移的現(xiàn)象.并且隨著溫度的升高，粒子的無規(guī)則運(yùn)動也越來越劇烈，進(jìn)而加快擴(kuò)散過程的進(jìn)行.同時(shí)從熵變的角度來說，該變化導(dǎo)致體系混亂度的增加，所以是典型的熵增過程.并且注意到熵作為一個(gè)非常抽象難懂的概念，如何能夠真實(shí)而又形象地描述熵變的過程，這考驗(yàn)著中學(xué)教師的教學(xué)水平與能力.因此，教師可以通過Maple軟件進(jìn)行編程制作出擴(kuò)散現(xiàn)象的動畫，進(jìn)而以具象化的方式展示擴(kuò)散現(xiàn)象中熵的變化.

首先利用Maple的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)rand，并通過循環(huán)結(jié)構(gòu)的設(shè)置使得粒子的位置不僅會隨時(shí)間無規(guī)則改變，并且其移動速度越來越快，其關(guān)鍵性的命令如下所示：

Random:=rand(0..180)#設(shè)計(jì)隨機(jī)數(shù)名為Random，并且讓其隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的范圍在0到180之間

Seq(Random(i),i=0..100);#驗(yàn)證隨機(jī)數(shù)是否產(chǎn)生成功

X||n[i]:=X||n[i-1]+(i/100)*evalf(2*

cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180));#在第i次循環(huán)中對于第n粒子設(shè)置它的X[i]坐標(biāo)，使之比X[i-1]變化了(i/100)*evalf(2*cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180))

Y||n[i]:=Y||n[i-1]+(i/100)*evalf(2*

cos(Random(Y||n[i-1])*Pi/180));#在第i次循環(huán)中對于第n粒子設(shè)置它的Y[i]坐標(biāo)，使之比Y[i-1]變化了(i/100)*evalf(2*cos(Random(X||n[i-1])*Pi/180))

利用上述關(guān)鍵性的命令再配合其它循環(huán)，就可以得到擴(kuò)散運(yùn)動動畫，如圖3所示.

(a)t=0 (b)t=34

(c)t=98 (d)t=189

從圖3可以看出當(dāng)包圍小球的擋板撤掉之后，16個(gè)小球就會沿著任意方向以不同的速度移動.于是16個(gè)小球就會四散開來，并且從每個(gè)小球的運(yùn)動軌跡中可以看出小球確實(shí)是在做無規(guī)則的熱運(yùn)動，從而幾乎遍尋了整個(gè)空間,所以熵在逐漸變大.此外，當(dāng)外界調(diào)節(jié)使系統(tǒng)增加溫度時(shí)，代表溫度的背景顏色變深，小球無規(guī)則的運(yùn)動速率也逐漸變大，這些特點(diǎn)基本與擴(kuò)散現(xiàn)象相符合.

4 圖形動畫在電學(xué)中的應(yīng)用

Maple的圖形動畫制作功能非常強(qiáng)大，不僅能繪制出如隱函數(shù)圖、密度圖、等高線圖等各種復(fù)雜而又高精準(zhǔn)的函數(shù)圖像，并且還能制作出生動形象的科技動畫[3].此外其“所想即所得”的交互式的圖形操作命令更是能直接用于物理教學(xué)之中.

電場作為一種抽象而又真實(shí)存在的特殊物質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)高中物理的一個(gè)重難點(diǎn)內(nèi)容.同時(shí)，對于教師來說，能否在有限的課堂時(shí)間里讓學(xué)生從不認(rèn)識到認(rèn)識再到熟悉并記住該知識點(diǎn)，這考查著一個(gè)教師的教學(xué)能力與學(xué)科素養(yǎng).但在以往課堂教學(xué)中，無論是教師在黑板上繪制出的幾類典型電場的電場線與等勢線，以及在課本上出現(xiàn)的幾幅電場圖都無法攬括各種形形色色的電場，從而影響學(xué)生對電場理解的廣度與深度.因此,可以用Maple制作出更有針對性的電場圖來描述出現(xiàn)的特殊電場.

首先進(jìn)行理論分析：對于電場來說最重要的兩個(gè)概念就是電場強(qiáng)度E和電勢φ.它們分別給電場中的電荷賦以力和能的性質(zhì)，而力和能量是決定物體運(yùn)動狀態(tài)的兩個(gè)重要物理量.因此,對于空間中兩個(gè)帶電荷量分別為Q1和Q2的點(diǎn)電荷，在空間中某點(diǎn)形成的電勢為[4]

(9)

其中k是庫侖常數(shù)，r1和r2分別為該點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)電荷的距離.然后再對電勢φ求負(fù)梯度就能得到電場強(qiáng)度E的表達(dá)式

(10)

然后通過在Maple中運(yùn)行如下代碼：

restart;with(plots);with(plottools);with(VectorCalculus);#清零并導(dǎo)入做圖于矢量運(yùn)算程序包

E:=Gradient(-V,[x,y]);#通過對電勢求出負(fù)梯度得到平面各點(diǎn)電場強(qiáng)度的表達(dá)式

NE:=Normalize(E,2);#對電場強(qiáng)度的表達(dá)式進(jìn)行歸一化處理

Explore(display([disk([x[1],y[1]],0.3,color=blue),disk([x[2],y[2]],0.3,color=red)],fieldplot(NE,x=-4..4,y=-4..4,thickness=2,arrows=SLIM),implicitplot({seq(V=1/10*b,b=-28..28)},x=-4..4,y=-4..4,numpoints=5000,color=green,thickness=2,linestyle=1)),parameters=[[x[1]=-3..3,placement=left],[y[1]=-3..3,placement=left],[x[2]=-3..3,placement=left],[y[2]=-3..3,placement=left],[Q[1]=-3..3,controller=volumegauge,placement=right],[Q[2]=-3..3,controller=volumegauge,placement=right]]);#制作出兩個(gè)點(diǎn)電荷的電場線與等勢線就可得到用來描述兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場的電場線與等勢線圖像.如圖4所示.

(a)等量同性小電荷 (b)等量異性電荷

(c)等量同性大電荷 (d)不對稱異性電荷

在圖4(a)與圖4(b)中分別顯示出等量同性正電荷與等量異性電荷產(chǎn)生的電場線與等勢線，它們比書本上的電場圖更加細(xì)致地反映出平面上各處的電場強(qiáng)度與電勢.同時(shí)將圖4(a)與圖4(c)進(jìn)行對比可知，當(dāng)通過改變圖中左邊電荷量的按鈕來同時(shí)增大等量同性電荷時(shí)，其電荷附近的扁圓形等勢線漸漸變成了共同包圍兩個(gè)電荷的橢圓形狀.而在圖4(d)中通過不對稱的改變異性電荷的電荷量和其所在位置，則可觀察到代表零電勢的虛線更靠近小電荷.

因此，通過上述分析說明了在圖4中利用Maple軟件制作出的電場圖更具有較強(qiáng)的針對性與精準(zhǔn)性，從而能更加全面和深入地了解電場的性質(zhì).此外，該軟件具有趣味性的交互式圖形命令可以供學(xué)生進(jìn)行自主研究，進(jìn)而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

5 數(shù)值計(jì)算在光學(xué)中的應(yīng)用

Maple除了有著強(qiáng)大的符號運(yùn)算系統(tǒng)之外，還有著高性能無限精度的數(shù)值計(jì)算引擎，并且它蘊(yùn)含著5 000多個(gè)計(jì)算命令可供各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行使用.下面將利用Maple軟件的數(shù)值計(jì)算功能來計(jì)算雙縫干涉中的光強(qiáng)分布.

托馬斯·楊的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)作為物理學(xué)中最美的實(shí)驗(yàn)之一，是光具有“波動性”的直接證據(jù).同時(shí)它也是高中物理光學(xué)模塊中重要的組成部分.并且在該實(shí)驗(yàn)中，如何分析接收屏上條紋的明暗位置與寬度變化都是學(xué)生所要掌握的內(nèi)容.其示意圖如圖5所示.

圖5 雙縫干涉示意圖

根據(jù)文獻(xiàn)[5]可得接收屏上條紋間距與各點(diǎn)光強(qiáng)公式為

(11)

(12)

其中Δφ是從S1和S2發(fā)出的兩束光到達(dá)接收屏上P點(diǎn)的相位差.其值可由以下3式求出

(13)

(14)

(15)

然后再通過Maple軟件輸入以下代碼：

Restart;with(plots):with(plottools):#清零并導(dǎo)入做圖程序包

interference:=proc(d,l,lambda,Color)#編寫雙縫干涉點(diǎn)狀圖程序

local x,i,r1,r2,Δφ,N,intensity;#變量聲明

x[0]:=0:#設(shè)定初始參數(shù)

N:=200:#設(shè)定循環(huán)次數(shù)

for i from 1 to N do:#進(jìn)行循環(huán)編程

x[i]:=x[i-1]+2/N:#對坐標(biāo)進(jìn)行遞增賦值

Δφ:=2*Pi*(r2[i]-r1[1])/lambda:#求出相位差

end do:#完成循環(huán)

pointplot({seq([x[i],intensity[i]],i=1..N)},color=Color,font=[TIMES,ROMAN,20],labels=[“x”,“I/I0”],labelfont=[TIMES,ROMAN,20]):#制作雙縫干涉相對光強(qiáng)的點(diǎn)狀圖

end proc:#完成程序編寫

interference(1,1000,7e-4,red);#設(shè)置相關(guān)參數(shù)產(chǎn)生干涉圖

interference(2,1000,7e-4,red);#設(shè)置相關(guān)參數(shù)產(chǎn)生干涉圖

interference(1,2000,7e-4,red);#設(shè)置相關(guān)參數(shù)產(chǎn)生干涉圖

interference(1,1000,4e-4,COLOR(RGB,128/255,0,1));#設(shè)置相關(guān)參數(shù)產(chǎn)生干涉圖

得到其相對光強(qiáng)的分布圖，如圖6所示.

d=1 mm l=1 m λ=700 nm

d=2 mm l=1 m λ=7 00 nm

d=1 mm l=2 m λ=700 nm

d=1 mm =1 m λ=400 nm

通過觀察圖6(a)能夠很方便地知道光在接收屏上不同位置的相對光強(qiáng)的具體數(shù)值，其相對光強(qiáng)的大小會隨屏幕上觀察點(diǎn)位置改變而進(jìn)行周期性變化.并且通過圖6(a)與圖6(b)的對比可知當(dāng)增加狹縫寬度，條紋將變密變窄.同時(shí)再將圖6(a)與圖6(c)進(jìn)行對比可以看出：當(dāng)擋板與屏幕間距離變大時(shí)，條紋間寬度也將變大.此外由圖6(a)與圖6(d)對比可知：當(dāng)將光的波長變短時(shí)，其條紋寬度會變窄.這些現(xiàn)象皆與式(11)相符合.

6 結(jié)束語

本文通過在力、熱、電、光四大模塊中展現(xiàn)出Maple軟件的主要功能，從而說明Maple軟件在輔助中學(xué)物理教學(xué)中的重要作用.具體來說，通過Maple軟件的符號運(yùn)算與數(shù)值計(jì)算功能可以使教師從重復(fù)性的簡單勞動中解放出來，將自己的聰明才智與創(chuàng)新能力用于更有意義的教學(xué)活動中.同時(shí)，對于中學(xué)物理為什么難教難學(xué)，究其原因除了需要強(qiáng)大的邏輯思維能力與較高的數(shù)學(xué)水平之外，就是缺少作為靈魂的“核心素材”，即真正反映出真實(shí)世界的物理過程的圖形與動畫.而在程序設(shè)計(jì)與圖形動畫功能相互配合下的Maple軟件可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的可視化，從而以生動、形象、逼真的圖形動畫來向?qū)W生闡述物理圖景，讓其認(rèn)清物理本質(zhì)，使物理過程深深印入學(xué)生腦海中.此外其交互式圖形演示教學(xué)可以充分調(diào)動起學(xué)生的好奇心與積極性，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量.

隨著教育改革的深入開展，對教學(xué)手段現(xiàn)代化提出了許多新的要求，Maple在物理教學(xué)中的應(yīng)用只是一個(gè)側(cè)面，而且伴隨教學(xué)軟件的開發(fā)應(yīng)用，還有許多具體技術(shù)問題有待研究解決，通過廣大教師和教學(xué)軟件研發(fā)人員的共同努力，將會有更多更好的軟件用于物理教學(xué).

致謝：感謝焦艷女士的支持與幫助.