立意于“下位學習”的《三角形的中位線》教學探究

張淑波

[摘 要]在《三角形的中位線》教學中，教師普遍采用上位學習形式來探索三角形中位線的性質，但由于思維跨度大、所花時間多，導致偏離了教學重點.而采取下位學習形式來探索三角形中位線的性質能提高教學效率.

[關鍵詞]下位學習;三角形;中位線

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）05-0007-02

命題學習有上位學習、下位學習、并列結合學習三種形式.《三角形的中位線》是在學習平行四邊形之后提出來的.目前在該課的教學中，教師普遍采用上位學習形式來探索三角形中位線的性質，導致性質證明與性質應用的認知過程不深入.基于此，筆者根據(jù)平行四邊形與三角形之間的內在聯(lián)系，采用下位學習形式來探索三角形中位線的性質.

一、教學實錄

1.經歷定義三角形中位線與提出問題的過程

師：我們知道，三角形的中線、高線、角平分線是三角形的相關要素，聯(lián)結三角形兩邊中點的線段以后也會經常遇到.我們把聯(lián)結三角形兩邊中點的線段叫作三角形的中位線.

師：一個三角形有幾條中位線？它與三角形的中線有何差異？

生1：一個三角形有三條中位線.三角形的中位線是聯(lián)結三角形兩邊中點的線段，而三角形的中線是聯(lián)結三角形的頂點與其對邊中點的線段.

師：三角形的中位線與第三邊之間有何關系？本節(jié)課我們就來研究這個問題.（揭示課題）

2.探索并證明三角形中位線的性質

師：如圖1，若過平行四邊形ABCD的對角線交點O，作一條直線EF交平行四邊形ABCD于E、F兩點，則EO=OF.

師：如圖2，當點E是AB中點時，你能發(fā)現(xiàn)哪些結論？

生2：EO=OF，CF=AE=BE.

師：為什么？

生2：首先，根據(jù)上述平行四邊形性質可得EO=OF;其次，因為△AOE≌△COF，AE=BE ，所以CF=AE=BE.

師：有道理.還能發(fā)現(xiàn)什么？

生3：EF=BC.因為CF=BE且CF∥BE，所以四邊形EBCF是平行四邊形，所以EF=BC.

生4：[EO=12BC]，EO∥BC.因為EF=BC，EO=OF，所以[EO=12BC].因為CF=BE且CF∥BE，所以四邊形EBCF是平行四邊形，所以EO∥BC.

師：好的.我們從平行四邊形性質出發(fā)，通過推理得到了三角形中位線與第三邊的關系.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

師：它是解決線段平行問題和線段倍半關系問題的重要工具.定理的幾何模型如圖3所示，用幾何語言表達就是：如圖3，在△ABC中，若E是AB的中點，O是AC的中點，則EO∥BC，[EO=12BC].事實上，在上述推理過程中發(fā)現(xiàn)，不用上述平行四邊形性質，也能證明三角形中位線的性質.

師：如圖3，要證[EO=12BC]，EO∥BC，只要證什么？

生5：如圖4，作以BC為邊的平行四邊形BCFA，延長EO交CF于點D，只要證四邊形EBCD是平行四邊形.

師：你是怎樣想到添這些輔助線的？

生5：因為圖3是從平行四邊形中分解出來的，所以想到讓它還原成平行四邊形.

師：你運用了化歸思想.能證四邊形EBCD是平行四邊形嗎？

生5：能證.因為AO=OC，CF∥AB，所以△AEO≌△CDO（ASA），所以CD=AE=EB，所以四邊形BCDE是平行四邊形.

師：由此，能推出EO∥BC，[EO=12BC]嗎？

生5：能.因為四邊形BCDE是平行四邊形，又因為EO=DO，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：還有其他證明方法嗎？

生6：如圖5，延長EO至點D，使EO=OD，則△AEO≌△CDO，所以CD=AE=EB，且CD∥AB，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：好的.你是怎樣想到添這條輔助線的？

生6：要證[EO=12BC]，只要證2EO=BC，所以想到了添這條輔助線.

師：有道理.“加倍法”是證線段倍半關系的基本策略.還有其他證明方法嗎？

生7：如圖6，取BC的中點D，聯(lián)結DO并延長至點F，使DO=OF，聯(lián)結AF，則△AFO≌△CDO，從而AF=CD=BD，∠F=∠ODC，從而AF∥BD，從而可以推出四邊形AFDB是平行四邊形，進而可以推出四邊形EBDO是平行四邊形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：好的.你是怎樣想到添這條輔助線的？

生7：根據(jù)[EO=12BC].

師：有道理.“折半法”（取長線段的一半）也是證線段倍半關系的基本策略.

生8：還有一種證法，即如圖7，取BC的中點D，連接AD、ED、OD，則S△ABD=S△CAD，S△AED=S△BED，S△AOD=S△COD，所以S△EBD=S△OCD，點O、E到BC的距離相等，EO∥BC.同理OD∥AB，四邊形BEOD是平行四邊形，[EO=12BC]，EO∥BC.

師：妙！你用“面積法”巧妙地證明了這個命題.

師：你是怎樣想到這種證明方法的？

生8：我覺得應該可用“折半法”來證明，但用常規(guī)方法花了很多時間還是證不出來，于是嘗試用面積法去證，結果成功了.

3.參與嘗試定理應用的活動

師：下面請大家合作解決下列三個問題.

問題1：如圖8，要測量B、C兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點A，得到線段AB、AC，并取AB、AC的中點D、E，連接DE.只要測出DE的長，就可以求得B、C兩地的距離.其理論依據(jù)是什么？

問題2：如圖9，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

問題3：如圖10，已知△ABC是銳角三角形.分別以AB、AC為邊，向外側作等邊△ABM和等邊△ACN.D、E、F分別是MB、BC、CN的中點，連接DE、FE.求證：DE=FE.

師（約5分鐘后）：誰來回答問題1？

生9：其理論依據(jù)是三角形的中位線定理.

師：好的.誰來證明問題2？

生10：聯(lián)結AC.根據(jù)三角形中位線定理，得[HG=12AC]，HG∥AC.同理，[EF=12AC]，EF∥AC，所以HG=EF且HG∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

師：好的.誰來證明問題3？

生11：聯(lián)結BN，MC.根據(jù)三角形中位線定理，得[EF=12BN]，[DE=12MC].又因為△ABN ≌△AMC，所以BN=MC，所以DE=FE.

師：好的.怎樣的題型可考慮用三角形中位線定理？

生12：若問題與中點有關，則可考慮用三角形中位線定理.

師：有道理.若問題與中點有關，則可考慮構造三角形中位線的幾何模型.

二、教學分析

本課根據(jù)平行四邊形與三角形之間的內在聯(lián)系，用下位學習形式來探索三角形中位線的性質，設計了“用抽象方式定義三角形的中位線→提出問題（三角形中位線與第三邊之間有何關系？）→邏輯推理（根據(jù)平行四邊形的性質，通過推理得出三角形中位線的性質）→多樣表達（用文字語言、符號語言、圖形語言表達性質）→再探證法（用多種方法證明性質）→解決問題（用獲得的定理解決簡單的問題）→反思內化（欣賞定理，感悟探索的策略與方法及證明性質的思想方法，積淀證線段倍半關系添輔助線的經驗等）” 的教學過程，把教學側重點放在性質證明與性質應用上，并從學生已有的知識與經驗出發(fā)，采用教師價值引導與學生自主建構相結合的適度開放的方式和用激勵來評價學生表現(xiàn)的教學方法.

（責任編輯 黃桂堅）