對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合仿真分析*

□ 肖 揚 □ 陳董燕 □ 侯圣宇

1.西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院 成都 6105002.中國航發(fā)航空科技股份有限公司 成都 610503

1 分析背景

螺旋錐齒輪是實現(xiàn)相交軸傳遞運動和動力的一種基本部件,在機器中得到大量應(yīng)用。螺旋錐齒輪的質(zhì)量和精度對機器工作的質(zhì)量、精度會產(chǎn)生非常大的影響。對數(shù)螺旋錐齒輪由于齒廓形成時的幾何特性,可以使嚙合時的輪齒重疊因數(shù)增大。對數(shù)螺旋錐齒輪比一般錐齒輪傳動比大,能夠得到嚙合較好的齒輪副,承載能力更強,運轉(zhuǎn)更加平穩(wěn),齒輪壽命也是一般錐齒輪的4～10倍,高速運轉(zhuǎn)時的振動及噪聲顯著減小,目前已廣泛應(yīng)用于航天、航空、汽車等各種精密、高速、重載傳動領(lǐng)域。對數(shù)螺旋錐齒輪的工作情況、制造精度、質(zhì)量直接影響機器的質(zhì)量、效率、噪聲、運動精度、壽命等,因此,對數(shù)螺旋錐齒輪精確模型嚙合時的運動情況、工作情況、接觸斑點、傳動誤差,以及負(fù)載時齒面上彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力分布等問題,一直引起各國學(xué)者的研究和關(guān)注,成為齒輪設(shè)計生產(chǎn)中非常重要的技術(shù)問題。對以上問題進行分析和解決,可以大幅提高螺旋錐齒輪的設(shè)計和制造水平,滿足科技發(fā)展中對高質(zhì)量機器的需求。

對數(shù)螺旋錐齒輪的輪齒由左右兩個齒廓曲面,錐頂、錐底兩個圓錐面,以及前錐、背錐面圍成。左右兩個齒廓曲面以空間球面漸開線為齒廓曲線,以圓錐對數(shù)螺旋線為發(fā)生線運動而形成。建立對數(shù)螺旋錐齒輪三維模型時,通過點云逆向近似,或者基于簡化的對數(shù)螺旋錐齒輪有限元模型,分析模型與實際對數(shù)螺旋錐齒輪的形狀有偏差,分析結(jié)果不可避免地會產(chǎn)生不準(zhǔn)確。筆者在對數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型的基礎(chǔ)上進行仿真分析[3],應(yīng)用ANSYS Workbench 軟件對齒輪嚙合分別進行靜態(tài)和動態(tài)接觸分析,獲得較為準(zhǔn)確的接觸工作情況變化規(guī)律。對數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型如圖1所示。

▲圖1 對數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型

2 靜態(tài)接觸分析

2.1 參數(shù)

在齒輪工作過程中,只會有很少幾對輪齒進行嚙合,沒有嚙合的輪齒不存在接觸應(yīng)力。因此,在靜態(tài)接觸分析時,忽略大齒輪的非嚙合輪齒對綜合剛度矩陣的影響,將嚙合模型簡化為六齒模型來進行嚙合分析。對數(shù)螺旋錐齒輪參數(shù)見表1。

表1 對數(shù)螺旋錐齒輪參數(shù)

2.2 有限元建模

根據(jù)表1,兩個嚙合的對數(shù)螺旋錐齒輪的材料為20CrMnTi,密度為7.85×103kg/m3,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3。

ANSYS Mesh軟件擁有幾種不同的網(wǎng)格劃分方法,網(wǎng)格的疏密程度會直接影響求解結(jié)果的精確性,且過密的網(wǎng)格會使計算成本增加。為了獲得更精確的計算結(jié)果,同時考慮對數(shù)螺旋錐齒輪的復(fù)雜結(jié)構(gòu)特點及邊界條件與載荷,采用混合四面體和六面體網(wǎng)格劃分,并且對參與嚙合的對數(shù)螺旋錐齒輪接觸齒面進行局部細(xì)化。為減小計算量,只取從動齒輪的六齒模型進行求解,并且保證計算的精度。對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸部位網(wǎng)格細(xì)化如圖2所示。

應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對對數(shù)螺旋錐齒輪進行嚙合接觸分析時,需要定義齒輪的接觸區(qū)域。因?qū)?shù)螺旋錐齒輪嚙合齒面的復(fù)雜性,筆者采取面面接觸中的自動接觸方式來定義接觸對,并對有定義接觸關(guān)系的接觸面進行判斷和求解,將主動齒輪定義為接觸面,將從動齒輪定義為目標(biāo)面,所定義的接觸對如圖3所示。在ANSYS Workbench軟件中采用罰函數(shù)來對非線性接觸進行計算。

▲圖2 對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸部位網(wǎng)格細(xì)化

▲圖3 對數(shù)螺旋錐齒輪接觸對定義

所有接觸問題都必須定義接觸剛度,包括法向剛度和切向剛度。法向剛度是最大穿透容差和影響病態(tài)條件的關(guān)鍵因子,考慮到計算收斂等問題,取法向剛度因子為1。

穿透超過最大穿透容差,需要進行新的迭代計算。穿透容差取決于接觸剛度,值太小則會使計算收斂困難。選取最大穿透容差為0.1。

考慮摩擦力因素的影響,在罰函數(shù)常溫下選取對數(shù)螺旋錐齒輪接觸面間的摩擦因數(shù)為0.06。

2.3 邊界條件與載荷

對大對數(shù)螺旋錐齒輪內(nèi)圈表面所有節(jié)點進行全約束,對小對數(shù)螺旋錐齒輪內(nèi)圈控制節(jié)點的徑向和軸向自由度進行固定,使繞軸旋轉(zhuǎn)的周向自由度處于自由狀態(tài)。對數(shù)螺旋錐齒輪由功率為500 kW的電動機驅(qū)動,對于高速傳動對數(shù)螺旋錐齒輪,小齒輪主軸轉(zhuǎn)速為10 000 r/min,計算得到驅(qū)動扭矩為300 N·m。求解中大變形開關(guān)開啟,防止計算收斂困難。

2.4 求解

為了得到對數(shù)螺旋錐齒輪在嚙合過程中齒面接觸應(yīng)力的分布情況,對靜態(tài)狀態(tài)下對數(shù)螺旋錐齒輪不同轉(zhuǎn)角的嚙合模型分別進行分析。在對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合過程中,轉(zhuǎn)角范圍為0°～2.16°,每0.72°取一個對數(shù)螺旋錐齒輪的嚙合模型。通過分析,對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合模型在轉(zhuǎn)角為0°、0.72°、1.44°、2.16°時的齒面接觸應(yīng)力云圖如圖4所示。

▲圖4 對數(shù)螺旋錐齒輪齒面接觸應(yīng)力云圖

取若干位置分別進行有限元接觸分析計算的方法體現(xiàn)出兩個特點。

第一,每個嚙合位置的分析模型均可由主動齒輪的節(jié)點旋轉(zhuǎn)約束實現(xiàn),所以這一方法能夠?qū)崿F(xiàn)對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合周期內(nèi)任一瞬時位置處的接觸分析。

第二,不需要事先預(yù)設(shè)接觸載荷的分布狀況,因為在嚙合接觸狀態(tài)下,ANSYS Workbench軟件能夠自動捕捉及計算接觸區(qū)域與接觸載荷分布情況。

從圖4中可以看出,對數(shù)螺旋錐齒輪開始逐漸進入嚙合,接觸區(qū)域逐漸增大,齒面上的接觸應(yīng)力也逐漸增大。輪齒在嚙合狀態(tài)下,接觸應(yīng)力區(qū)域逐漸增大,接觸應(yīng)力也逐漸增大。觀察接觸斑點區(qū)域能夠發(fā)現(xiàn),各接觸斑點區(qū)域在分布上呈現(xiàn)出直線型。在對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合的各個階段,齒頂附近出現(xiàn)邊緣接觸現(xiàn)象,這會給高速重載工況下的對數(shù)螺旋錐齒輪傳動帶來不利影響。

齒輪嚙合傳動周期內(nèi)的靜力學(xué)接觸分析結(jié)果說明,對數(shù)螺旋錐齒輪在接觸斑點區(qū)域的軌跡在方向上大致呈直線型。在對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合過程中,從點接觸擴展到面域接觸,并且是從小端到大端同時向齒頂方向呈傾斜直線分布。

在嚙合過程中,對數(shù)螺旋錐齒輪幾乎始終有三對輪齒處于接觸狀態(tài),因此對數(shù)螺旋錐齒輪承載能力強,傳動平穩(wěn),傳動效率高。在嚙入過程中,接觸斑點區(qū)域逐漸增大,最大接觸應(yīng)力也隨之增大。對數(shù)螺旋錐齒輪齒面會發(fā)生邊緣接觸,對齒輪傳動的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。在對數(shù)螺旋錐齒輪嚙出過程中,接觸斑點區(qū)域逐漸減小,最大接觸應(yīng)力也逐漸減小。綜合而言,對數(shù)螺旋錐齒輪在一個嚙合周期過程中,輪齒齒面上的接觸應(yīng)力先增大后減小。

通過處理器求解,可以直觀觀察到裝配體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移,以及接觸狀態(tài)、接觸應(yīng)力等。初始位置處對數(shù)螺旋錐齒輪等效接觸應(yīng)力云圖如圖5所示,可以看出,最大等效接觸應(yīng)力為871.1 MPa。

▲圖5 初始位置對數(shù)螺旋錐齒輪接觸應(yīng)力云圖

從動齒輪、主動齒輪的等效應(yīng)力云圖分別如圖6、圖7所示。從圖6和圖7中可以看出從動齒輪、主動齒輪最大等效應(yīng)力的位置。從動齒輪、主動齒輪的最大等效應(yīng)力分別為274.7 MPa、366.3 MPa,最大等效應(yīng)力位于接觸線邊緣靠近齒根處,輪齒邊緣處有應(yīng)力集中現(xiàn)象。相互嚙合傳動的主動齒輪等效應(yīng)力比從動齒輪大,這是由于靜態(tài)接觸分析中,從動齒輪為全約束,力矩加載在主動齒輪上,在接觸初始狀態(tài)瞬間,主動齒輪接觸沖擊大于從動齒輪。

▲圖6 從動齒輪等效應(yīng)力云圖

▲圖7 主動齒輪等效應(yīng)力云圖

3 動態(tài)接觸分析

在對數(shù)螺旋錐齒輪傳動過程中,負(fù)載是逐齒傳遞的。在傳遞過程中,總會出現(xiàn)單齒、雙齒交替嚙合,引起齒輪嚙合力振動與沖擊,以及載荷與轉(zhuǎn)速的波動,導(dǎo)致嚙合剛度周期性變化。與此同時,存在嚙合齒面間摩擦力等非線性因素,在不同嚙合位置處經(jīng)過多次靜態(tài)接觸來計算接觸應(yīng)力,也只考慮嚙合過程中某一瞬態(tài)的情況,不能準(zhǔn)確全面反映對數(shù)螺旋錐齒輪在傳動過程中的力學(xué)特性。由于對數(shù)螺旋錐齒輪的工作環(huán)境往往為高速重載場合,為了真實模擬對數(shù)螺旋錐齒輪連續(xù)傳動過程中整個周期的接觸應(yīng)力、應(yīng)變等隨時間的變化趨勢,有必要對對數(shù)螺旋錐齒輪進行動態(tài)接觸分析。

考慮轉(zhuǎn)速等影響因素,筆者在ANSYS Workbench軟件中建立對數(shù)螺旋錐齒輪接觸分析有限元模型,對其進行瞬態(tài)動力學(xué)分析,得到傳動過程中動態(tài)接觸應(yīng)力實時變化規(guī)律,同時分析高、中、低三種不同狀態(tài)下動態(tài)嚙合接觸的應(yīng)力變化規(guī)律,為對數(shù)螺旋錐齒輪的設(shè)計提供參考依據(jù)。

在對數(shù)螺旋錐齒輪動態(tài)嚙合過程中,電動機通過聯(lián)軸器為主動齒輪施加一個繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度,同時通過主動齒輪、從動齒輪的接觸驅(qū)動使從動齒輪繞中心軸旋轉(zhuǎn),從動齒輪在輸入轉(zhuǎn)矩與負(fù)載阻力矩的作用下達(dá)到受力平衡。對主動齒輪施加繞中心軸旋轉(zhuǎn)的角速度為1 000 rad/s,從動齒輪的阻力矩為120 N·m。

在瞬態(tài)分析設(shè)置中,打開大變形開關(guān),載荷步結(jié)束時間設(shè)置為0.001 3 s,關(guān)閉自動時間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為30,采用稀疏矩陣求解器對非線性接觸進行瞬態(tài)求解。計算求解過程中力收斂曲線如圖8所示。計算殘差值小于收斂容差值,表示收斂。計算收斂后,將出現(xiàn)虛線間斷線,反之則出現(xiàn)點劃線間斷線。從曲線繞定值周期性振蕩可以看出,非線性接觸分析求解是收斂的。為了分析在嚙合過程中不同時刻的接觸情況,選取高速狀態(tài)下0.000 213 s、0.000 214 s、0.000 581 s、0.000 625 s、0.000 801 s、0.000 90 s六個時刻的對數(shù)螺旋錐齒輪裝配體接觸狀態(tài),其等效應(yīng)力云圖如圖9所示。

選取圖9不同時刻各位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表2。

分析圖9及表2可知,當(dāng)對數(shù)螺旋錐齒輪處于高速狀態(tài)下,齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力大于單齒嚙合時的最大接觸應(yīng)力,這是由于嚙入及嚙出點偏離理論嚙入、嚙出位置點,造成嚙入、嚙出沖擊。雙齒嚙合最大接觸應(yīng)力明顯遠(yuǎn)小于單齒嚙合最大接觸應(yīng)力,這是由于載荷由多個輪齒分擔(dān),并且接觸區(qū)域面積增大,綜合嚙合剛度變大,嚙合接觸彈性變形減小,使接觸應(yīng)力減小。

為了分析不同工況、不同轉(zhuǎn)速對對數(shù)螺旋錐齒輪動態(tài)接觸應(yīng)力的影響,選取高、中、低三個有代表性的轉(zhuǎn)速,在ANSYS Workbench軟件中對嚙合齒輪進行瞬態(tài)動力學(xué)分析求解,載荷邊界條件見表3。

▲圖8 力收斂曲線

▲圖9 高速狀態(tài)下不同時刻等效應(yīng)力云圖

表2 高速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力

表3 載荷邊界條件

在中速狀態(tài)下,依據(jù)與轉(zhuǎn)速相對應(yīng)的嚙合周期,設(shè)定載荷步結(jié)束時間為0.01 s,關(guān)閉自動時間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為40,提取0.004 52 s、0.005 77 s、0.005 82 s、0.006 77 s、0.008 25 s、0.009 6 s六個時刻對數(shù)螺旋錐齒輪各嚙合位置的等效應(yīng)力云圖,如圖10所示。

選取圖10不同時刻各嚙合位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表4。

分析圖10及表4可知,對數(shù)螺旋錐齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力稍大于雙齒嚙合時的最大接觸應(yīng)力,且與單齒嚙合時接近,說明隨著轉(zhuǎn)速的降低,對數(shù)螺旋錐齒輪緩慢進入傳動平穩(wěn)期,受載變形也變化不大,齒輪受嚙合沖擊的影響減小。

在低速狀態(tài)下,設(shè)定載荷步結(jié)束時間為0.08 s,關(guān)閉自動時間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為40,提取0.038 s、0.045 s、0.052 s、0.06 s、0.072 s、0.08 s六個時刻對數(shù)螺旋錐齒輪各嚙合位置的等效應(yīng)力云圖,如圖11所示。

選取圖11不同時刻各嚙合位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表5。

分析圖11及表5可知,在低速狀態(tài)下,對數(shù)螺旋錐齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力與雙齒嚙合時的最大接觸應(yīng)力相差不大,且單齒嚙合時最大接觸應(yīng)力相差越來越小,說明齒輪嚙合在低轉(zhuǎn)速情況下運動平穩(wěn),傳動性能好。

▲圖10 中速狀態(tài)下不同時刻等效應(yīng)力云圖

表4 中速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力

上述三種轉(zhuǎn)速狀態(tài)下的對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸分析可知,在低速狀態(tài)下,齒輪受載變形及沖擊均較小,隨著轉(zhuǎn)速的提高,受載變形及沖擊均增大。在恒定轉(zhuǎn)矩下,轉(zhuǎn)速是接觸力幅值變化的主要因素之一。

4 結(jié)束語

在恒定轉(zhuǎn)矩下,從對數(shù)螺旋錐齒輪靜態(tài)與動態(tài)接觸的等效應(yīng)力云圖可以觀察到,靜態(tài)與動態(tài)接觸的接觸線均是沿對數(shù)螺旋錐齒輪小端到大端并向齒頂方向傾斜的一條直線,且最大等效應(yīng)力均處在接觸線邊緣靠近輪齒齒根處。在相同轉(zhuǎn)矩情況下,動態(tài)接觸應(yīng)力比靜態(tài)接觸應(yīng)力大,這是由于在嚙合過程中齒輪受載變形,以及在內(nèi)部激勵作用下產(chǎn)生較大的嚙合沖擊,嚙入、嚙出點偏離理論位置點,使嚙合齒輪產(chǎn)生線外嚙合,從而引起周期性振動與沖擊。相比靜態(tài)接觸分析,動態(tài)接觸分析可以在一次算法中求解出嚙合全過程所有時刻的嚙合位置處接觸應(yīng)力變化規(guī)律,并且更接近實際工況。

筆者以對數(shù)螺旋錐齒輪的精確三維模型為基礎(chǔ),應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對對數(shù)螺旋錐齒輪嚙合傳動過程中的工作情況進行靜態(tài)、動態(tài)分析。

通過不同位置處的非線性靜態(tài)接觸分析,得到接觸區(qū)域應(yīng)力變化規(guī)律,并且在ANSYS Workbench軟件中求解得到最大接觸應(yīng)力,結(jié)果與理論計算值比較,驗證了有限元模型法計算接觸問題的準(zhǔn)確性。

另一方面,分析了不同轉(zhuǎn)速狀態(tài)下齒輪在不同嚙合時刻的動態(tài)接觸情況,比較轉(zhuǎn)速對接觸特性的影響規(guī)律。通過分析得到了對數(shù)螺旋錐齒輪工作時靜態(tài)、動態(tài)性能的變化規(guī)律,為進一步研究、設(shè)計、制造對數(shù)螺旋錐齒輪打下了基礎(chǔ)。

▲圖11 低速狀態(tài)下不同時刻等效應(yīng)力云圖

表5 低速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力