基于GM模型的巖體透水率預(yù)測

黃 勇， 田紹華， 周麟桐

（1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，南京 211100； 2.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，成都 610036）

裂隙巖體透水性的確定是水利水電、交通、礦山以及核廢料處理等各類地下工程不可缺少的一項(xiàng)內(nèi)容，其大小將直接反映工程建設(shè)區(qū)的地下水流運(yùn)動(dòng)規(guī)律、地下洞室滲流和涌水量問題、污染物擴(kuò)散以及地下工程的防滲排水措施設(shè)計(jì)等［1-3］. 鉆孔壓水試驗(yàn)資料顯示，隨著深度的增加，巖體透水性越來越小，但缺少明確的定量關(guān)系. 另外，由于裂隙、斷層等地質(zhì)構(gòu)造的影響，巖體透水性表現(xiàn)為強(qiáng)烈的非均質(zhì)各向異性，雖然巖體透水性總體趨勢是隨深度增加而減小，但局部存在透水性增大的現(xiàn)象，對(duì)地下水的防滲、排水以及工程安全帶來不利影響，因此，對(duì)巖體滲透性的預(yù)測研究具有重要的工程實(shí)際意義.

巖體透水性一般通過壓水試驗(yàn)來確定，但鉆孔壓水試驗(yàn)要求條件較高，周期長，特別是高壓壓水試驗(yàn)，因此，一些學(xué)者提出了估算巖體透水性的方法，如劉繼山［4］提出了單裂隙受正應(yīng)力作用下的滲流公式，表明巖體的滲透性與裂隙隙寬和應(yīng)力有關(guān). 仵彥卿［5］獲得了巖體裂隙應(yīng)力與滲流的分形幾何關(guān)系，并推導(dǎo)了巖體在不同方向應(yīng)力作用下裂隙的滲流公式. 胡繼華等［6］指出低滲透性頁巖的巖體透水率與地應(yīng)力總體上服從負(fù)指數(shù)關(guān)系. 平揚(yáng)［7］通過鉆孔壓水試驗(yàn)獲得了巖體透水率和P～Q曲線的變化規(guī)律，并分析了不同自重應(yīng)力以及巖性等因素對(duì)裂隙巖體滲透性的影響. 殷黎明等［8］提出了巖體滲透系數(shù)隨地應(yīng)力變化的經(jīng)驗(yàn)公式. 喬偉等［9］指出巖體滲透系數(shù)和鉆孔單位涌水量隨地應(yīng)力呈相同的負(fù)指數(shù)規(guī)律逐漸減小. 陳康達(dá)等［10］指出巖體透水率與深度、RQD以及波速具有很好的相關(guān)性. 蔣小偉等［11］研究了巖體平均滲透系數(shù)與RQD和平均變形模量間的關(guān)系，郭永春等［12］建立了覆蓋型巖溶的透水率與潛蝕塌陷裂隙開度之間的定量關(guān)系. 楊勇等［13］基于某尾礦庫初期壩的壓水試驗(yàn)資料，探索了巖體透水率與完整性系數(shù)和BQ值之間的關(guān)系. 陳君等［14］利用鉆孔壓水試驗(yàn)和鉆孔電視圖像資料，建立考慮埋深、RQD以及FSD等指標(biāo)的滲透系數(shù)估算模型. 王錦國等［15］采用R/S 分析方法對(duì)鉆孔壓水試驗(yàn)資料進(jìn)行了分析，給出了能反映巖體透水性特征的分維數(shù)，通過對(duì)不同水電工程中壓水試驗(yàn)的分析，探討了不同巖性、構(gòu)造條件下裂隙巖體透水性的分形特征和滲透系數(shù)參數(shù)的取值.

1 方法

1.1 灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型簡介

灰色系統(tǒng)理論由中國學(xué)者鄧聚龍?jiān)?982年創(chuàng)立，是一種研究“小數(shù)據(jù)”、“貧信息”不確定問題的新方法［17］，主要通過對(duì)部分已知信息的挖掘，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控. 灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，客觀世界的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中展現(xiàn)的數(shù)據(jù)必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律，關(guān)鍵是通過一定的方法去挖掘利用這一規(guī)律. 運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論解決實(shí)際問題的重要步驟是找到數(shù)據(jù)序列的算子，使得數(shù)據(jù)經(jīng)過算子作用后體現(xiàn)出一定的規(guī)律性. 因此，特別適用于數(shù)據(jù)有限、復(fù)雜、影響因素較多，而且具有不確定性問題的分析和評(píng)價(jià)［18］.

為GM（1，1）模型的均值形式，其本質(zhì)為一個(gè)差分方程，即

其中

式（4）為GM（1，1）模型均值形式的微分方程，求解該方程即可得到X()1的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，即X()1與自變量間的函數(shù)關(guān)系. 對(duì)非負(fù)數(shù)據(jù)序列，先求出其一次累加生成序列，再構(gòu)造相應(yīng)的緊鄰均值生成序列，通過式（5）估計(jì)參數(shù)a、c 的值，再代入微分方程進(jìn)行求解.

1.2 巖體透水性與埋深的關(guān)系推導(dǎo)

由質(zhì)量守恒定律，忽略巖體本身的透水性，可以得出巖性致密的裂隙巖體滲透系數(shù)與結(jié)構(gòu)面寬度之間的關(guān)系，即裂隙立方定律［19］：

式中：K 為滲透系數(shù)，單位為m/s；b 為結(jié)構(gòu)面開度，單位為m；g 為重力加速度，單位m/s2；μ 為動(dòng)力黏滯系數(shù)，單位為m2/s；L 為裂隙間距，單位為m.

在地下巖體內(nèi)部，地應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)面寬度有影響，在裂隙巖體內(nèi)部，地應(yīng)力隨深度增加而增加，從而使裂隙寬度減小. Brown和Hoek對(duì)大量實(shí)測資料的統(tǒng)計(jì)分析，提出了垂向地應(yīng)力與埋深的經(jīng)驗(yàn)公式［20］，即

品牌發(fā)展無法脫離時(shí)代停滯不前，華誼在面對(duì)瞬息萬變的市場時(shí)應(yīng)該改牢牢抓住消費(fèi)導(dǎo)向。要嘗試擁有把握未來話題、未來潮流走向的精準(zhǔn)眼光，以及要進(jìn)行活躍的市場調(diào)研，進(jìn)而依照手中信息來要求新的故事題材、新的人物形象即新的IP加入到產(chǎn)品當(dāng)中，目的是使消費(fèi)者感到華誼的產(chǎn)品緊跟其需求，最終起到吸引消費(fèi)者喜愛和信賴的積極作用。

式中：h 為裂隙巖體的埋深，單位為m；σn單位為MPa.

孫廣忠［21］提出的指數(shù)形式的結(jié)構(gòu)面法向閉合變形法則為

式中：bm0為結(jié)構(gòu)面最大閉合量；kn=bm0k0，稱為法向剛度系數(shù)，單位為MPa/cm，k0為初始法向剛度系數(shù)；bm為結(jié)構(gòu)面的閉合量，令結(jié)構(gòu)面開度為b，可知b=bm0-bm，即結(jié)構(gòu)面開度可表示為

將式（10）代入式（7），得

由式（11）可知，滲透系數(shù)與深度之間存在負(fù)指數(shù)關(guān)系，上式可以簡寫為：

其中

式中：m 主要由裂隙面幾何特征確定；n 主要由裂隙巖體的力學(xué)性質(zhì)決定. 殷黎明等［22］通過壓水試驗(yàn)結(jié)果研究顯示，當(dāng)壓水試驗(yàn)的壓力為0～2 MPa時(shí)，巖體透水率和滲透系數(shù)具有很好的線性關(guān)系（1 Lu≈1×10-5cm/s）.因此根據(jù)式（12），也可以認(rèn)為巖體透水率與深度之間滿足負(fù)指數(shù)關(guān)系，符合GM（1，1）模型的適用條件，可以借助GM（1，1）模型預(yù)測巖體透水率隨深度的變化.

2 結(jié)果與討論

惠州抽水蓄能電站位于廣東省惠州市博羅縣城郊，為一座周調(diào)節(jié)的純抽水蓄能電站. 該工程上水庫位于工程區(qū)東側(cè)中高山區(qū)，庫區(qū)為高程700～800 m左右的山間盆地. 為確定帷幕灌漿的深度和下限，于2016年9月在上水庫及廠房區(qū)進(jìn)行鉆孔壓水試驗(yàn)，并獲取了巖體的完整性和滲透性等參數(shù). 本次研究的目的是利用已有鉆孔的壓水試驗(yàn)資料，基于GM（1，1）模型，建立透水率隨深度的定量關(guān)系，從而預(yù)測不同深度的透水率變化. 通過本模型的方法預(yù)測不同深度透水率，可以減少勘探孔布置，節(jié)省工程成本.

本文以ZK2002和ZK2085為例，探討GM（1，1）模型對(duì)巖體透水率的預(yù)測計(jì)算. 這兩個(gè)孔主要位于地下廠房區(qū)附近，能反應(yīng)廠房區(qū)巖體透水性的變化，通過兩個(gè)鉆孔建立的預(yù)測模型，能夠?yàn)閺S房區(qū)的防滲設(shè)計(jì)提供相關(guān)依據(jù). 其中，ZK2002位于地下廠房A東北方向、地下廠房B西北方向斷層f 273附近，該孔壓水試驗(yàn)區(qū)段巖性為：6.4～11.6 m，黑褐色煌斑巖，弱風(fēng)化，巖石新鮮；11.6～32.70 m為褐灰色弱風(fēng)化混合巖，32.70～50.55 m為灰-褐灰色微風(fēng)化混合巖. ZK2085位于廠房斜井段，各段巖性為：1.25～15.7 m，全風(fēng)化條帶狀混合巖，褐灰色，巖石風(fēng)化成砂質(zhì)黏土狀；15.7～29.0 m，弱風(fēng)化條帶狀混合巖，灰白夾深灰色，巖質(zhì)堅(jiān)硬，裂隙較發(fā)育，局部極發(fā)育；29.00～33.50 m，微風(fēng)化條帶狀混合巖，灰夾白色，巖質(zhì)堅(jiān)硬，發(fā)育少量裂隙，充填綠泥石及方解石為主；33.50～40.11 m，弱風(fēng)化混合巖，灰色，巖質(zhì)較硬；40.11～55.6 m，微風(fēng)化混合巖，巖質(zhì)堅(jiān)硬，巖芯長柱狀；55.6～67.7 m，微風(fēng)化混合巖，灰白色為主，巖質(zhì)堅(jiān)硬，巖芯長柱狀為主；67.70～77.65 m，微風(fēng)化條帶狀混合巖，裂隙不發(fā)育；77.65～155 m，微風(fēng)化條帶狀混合巖夾混合巖，裂隙不發(fā)育，鈣質(zhì)渲染為主，少量綠泥石化.ZK2002巖體實(shí)測透水率隨深度的變化見圖1.

從圖1中可以看出，巖體透水率隨深度呈明顯衰減規(guī)律，在巖體深部逐漸趨向一個(gè)較小的穩(wěn)定值，為了計(jì)算方便，將巖體埋藏深度以整數(shù)代替，即以5 m為1個(gè)長度單位，分別將5、10、…、30 m處的巖體透水率看作x（n）（n=6），根據(jù)圖1獲取各深度的巖體透水率，得到數(shù)據(jù)序列X（表1）. 對(duì)X 中的數(shù)據(jù)系列x（n）取自然對(duì)數(shù)，得新數(shù)據(jù)序列為X(0). 對(duì)上述序列建立GM（1，1）模型，其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

圖1 ZK2002透水率隨深度變化圖Fig.1 Permeability variations of the ZK2002 with depth

對(duì)式（14）進(jìn)行累減還原，得

設(shè)預(yù)測透水率為y，則可以表示為如下形式

將各序列數(shù)據(jù)代入，得到GM（1，1）模型對(duì)巖體透水率的計(jì)算值，將X 中的透水率作為標(biāo)準(zhǔn)值，其計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值間的誤差見表1. 其中巖體在深度5～30 m（n=6）的透水率值為模型的驗(yàn)證結(jié)果，35～45 m 的數(shù)據(jù)為GM（1，1）模型對(duì)巖體透水率的預(yù)測值. 從表1中可以看出，除了在個(gè)別深度外（h=10 m、15 m、30 m），模型的計(jì)算值和實(shí)測值絕對(duì)誤差一般不超過1 Lu，相對(duì)誤差不超過10%，表明可以用GM（1，1）模型對(duì)巖體透水率進(jìn)行預(yù)測.

表1 基于GM（1，1）模型ZK2002的巖體實(shí)測透水率和預(yù)測透水率對(duì)比Tab.1 Comparison between measured and predicted permeabilities of ZK2002 rock mass based on GM（1，1）model

巖體透水率隨深度增加總體趨勢減小，兩者之間存在負(fù)指數(shù)關(guān)系（式12）. 但是隨著深度（h）的增大，式（12）中指數(shù)項(xiàng)越來越大，使得根據(jù)公式計(jì)算的巖體透水率趨近于0，與實(shí)際透水率存在一定差距. ZK2085孔深大約160 m，其巖體透水率的經(jīng)驗(yàn)公式可以表示為：

當(dāng)x=18.65代入式（17），得y=3.54，與實(shí)際巖體透水率吻合較好；若將x=147.7 代入，得y →0，而此時(shí)的巖體透水率并不為0 Lu（圖2）.

實(shí)際上，通過計(jì)算表明，當(dāng)深度大于70 m時(shí)，實(shí)測巖體透水率是計(jì)算透水率的200倍，因此，當(dāng)巖體埋深較大時(shí)，不能采用負(fù)指數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式來預(yù)測巖體透水率，但可以采用GM（1，1）模型來計(jì)算. 隨著埋深的增加，巖體處于微、弱風(fēng)化，巖體內(nèi)部裂隙不發(fā)育，趨向于閉合，深度對(duì)透水率的控制作用減弱. 因此，當(dāng)深度較淺時(shí)，巖體透水率相對(duì)較大，采用擬合的負(fù)指數(shù)形式的經(jīng)驗(yàn)公式（式12）直接對(duì)透水率進(jìn)行計(jì)算，精度較高；當(dāng)深度較大，透水率較小且有一定波動(dòng)時(shí)，根據(jù)灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)，考慮本文建立的灰色系統(tǒng)GM模型對(duì)透水率進(jìn)行計(jì)算和預(yù)測是比較合適.

根據(jù)GM（1，1）模型，對(duì)ZK2085 鉆孔的透水率進(jìn)行計(jì)算，并與實(shí)際巖體透水率進(jìn)行比較，從表2 中可以看出，當(dāng)深度大于70 m 時(shí)，預(yù)測的巖體透水率與實(shí)測值誤差較小，表明可以用GM（1，1）模型來預(yù)測巖體的透水率.

圖2 ZK2085透水率隨深度變化圖Fig.2 Permeability variations of the ZK2085 with depth

表2 ZK2085巖體實(shí)測透水率和預(yù)測透水率對(duì)比Tab.2 Comparison between measured and predicted permeabilities of ZK2085

3 結(jié)論

1）根據(jù)立方體定律、質(zhì)量守恒定律和裂隙寬度與應(yīng)力的關(guān)系，推導(dǎo)了巖體滲透性與巖體埋深之間存在負(fù)指數(shù)關(guān)系，由于裂隙巖體滲透性與壓水試驗(yàn)獲取的透水率存在正相關(guān)，因此，可以認(rèn)為巖體透水率與巖體埋深滿足負(fù)指數(shù)關(guān)系. 通過2個(gè)鉆孔的實(shí)測巖體透水率的擬合，也驗(yàn)證了它們之間的關(guān)系.

2）從推導(dǎo)的巖體滲透性與巖體埋深之間的關(guān)系可以看出，隨著深度的增加，指數(shù)函數(shù)值越來越大，此時(shí)計(jì)算的巖體透水率趨近于0 Lu，與實(shí)測巖體透水率差別較大，ZK2085的數(shù)據(jù)也驗(yàn)證了這一點(diǎn). 因此，當(dāng)巖體深度較小時(shí)，可以用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算巖體的透水率，當(dāng)深度較大時(shí)，需要采用其他方法來計(jì)算巖體的透水率.

3）本文采用GM（1，1）模型預(yù)測了巖體的透水率，其優(yōu)點(diǎn)是通過少量數(shù)據(jù)和信息來提取和挖掘研究對(duì)象的內(nèi)部規(guī)律. 不論巖體的埋深較?。╖K2002）還是較大（ZK2085），用GM（1，1）模型預(yù)測的巖體透水率與實(shí)測值都吻合較好，表明該模型可以用于巖體透水率的預(yù)測，特別是巖體埋深較大時(shí)，可以避免由于經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的巖體透水率的較大誤差.