專題型微課在初中數(shù)學(xué)幾何推理能力培養(yǎng)中的應(yīng)用

南寧市第三十七中學(xué) 李明哲

微課是運(yùn)用信息技術(shù)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)片段教學(xué)的一類教學(xué)資源，具有主題突出、問題聚焦、時間簡短、制作簡便等優(yōu)點(diǎn)，更有利于初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。課堂教學(xué)更多的是基于對全班學(xué)生整體水平的預(yù)估而進(jìn)行的，進(jìn)度基本統(tǒng)一，很難關(guān)注到所有學(xué)生的個性化需求。而且每個學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、理解能力、接受能力、課堂專注度和學(xué)習(xí)習(xí)慣各不相同，同樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不同層次的學(xué)生在課堂上的掌握情況各不相同。因此，課后可以針對不同學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)狀，設(shè)計專題型微課，實(shí)施更具針對性的教學(xué)。專題型微課既要考慮內(nèi)容上的補(bǔ)充性，又要考慮學(xué)習(xí)對象的針對性。我校開發(fā)了一系列專題型微課，包括資源彌補(bǔ)型、拓展提升型、重難點(diǎn)解析型等系列微課，以“問題解決”為核心，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時，以年級為單位，組建基礎(chǔ)群和提高群兩種層次的學(xué)習(xí)群，不同層次的學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況選擇學(xué)習(xí)群，教師在不同學(xué)習(xí)群推送難度不同的微課，同時輔以微課變式練習(xí)，讓學(xué)生根據(jù)自己的情況選擇微課學(xué)習(xí)和完成同步練習(xí)，自主完善知識體系，形成數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。依據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)、學(xué)習(xí)特點(diǎn)，把幾何推理能力培養(yǎng)分為萌發(fā)期、發(fā)展期、提高期三個階段。專題型微課可以在幾何推理能力培養(yǎng)的三個階段進(jìn)行應(yīng)用，幫助學(xué)生提高邏輯推理能力，拓展數(shù)學(xué)思維。

一、專題型微課在幾何推理萌發(fā)期中的作用

1.培養(yǎng)直觀實(shí)驗(yàn)動手操作能力

低年級學(xué)生的年齡較小，幾何推理能力較低，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平有限，所獲得的知識系統(tǒng)性弱、結(jié)構(gòu)性差。因此，在幾何推理能力萌發(fā)期，重視學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)操作，通過看一看、量一量、做一做的直觀實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行推理和判斷，通過引導(dǎo)，不斷培養(yǎng)學(xué)生的直觀感知，從而提高對圖形的直觀推理能力。

教師在課堂上組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、嘗試、觀察、類比等合情推理的實(shí)驗(yàn)活動時，由于課堂時間有限，每個學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、動手能力、觀察能力和理解能力不同，在同一實(shí)驗(yàn)活動中獲得的數(shù)學(xué)體驗(yàn)及對知識的理解也不盡相同。專題型微課可以在課后補(bǔ)償性學(xué)習(xí)中彌補(bǔ)這個不足，微課可再現(xiàn)實(shí)驗(yàn)操作過程，學(xué)生可通過微課視頻學(xué)習(xí)同時進(jìn)行動手操作。微課具有暫停、快進(jìn)、重復(fù)等功能，不同學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況重復(fù)使用，加深對知識的理解。同時，微課還可以作為課堂內(nèi)容的延伸，針對課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計不同難度的問題，供不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)。例如，在七年級上冊學(xué)習(xí)“長方體展開圖”時，微課可以通過動畫演示十一種側(cè)面展開圖的情況，學(xué)生可以跟著學(xué)習(xí)視頻把一個盒子同步拆解，在動手實(shí)驗(yàn)過程中領(lǐng)悟由立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化，各種展開圖之間的區(qū)別以及其中蘊(yùn)含的規(guī)律。微課可以開展拓展性學(xué)習(xí)，對學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的學(xué)生，可讓其根據(jù)微課學(xué)習(xí)收獲設(shè)計制作長方體形狀的包裝紙盒，以提高學(xué)生動手能力，培養(yǎng)幾何直觀思維，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深度探究。

2.培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述能力

在幾何學(xué)習(xí)中，文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言是培養(yǎng)學(xué)生幾何推理的基礎(chǔ)。課堂上通過教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生明確如何將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何符號語言，訓(xùn)練學(xué)生看圖識圖的能力，“圖形+文字”轉(zhuǎn)換為“幾何符號”進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程的證明。在教學(xué)中，教師注重幾何語言規(guī)范和板書規(guī)范，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的幾何文字語言的嚴(yán)謹(jǐn)性，為培養(yǎng)幾何推理打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

學(xué)生學(xué)習(xí)能力不同，在課堂上對幾何推理過程的掌握情況也不盡相同。專題型微課每節(jié)課針對一個小知識點(diǎn)展開學(xué)習(xí)，包括設(shè)置問題情境提出問題、引導(dǎo)分析問題、解決本微課的問題、方法與規(guī)律的歸納、遷移應(yīng)用等五個環(huán)節(jié)。學(xué)生可以通過微課學(xué)習(xí)補(bǔ)上自己知識上的缺漏，規(guī)范書寫格式，學(xué)會分析問題的方法，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，然后通過微課同步變式練習(xí)進(jìn)行遷移應(yīng)用，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。幾何推理要求言之有據(jù)，每一步證明過程都有公理、定理、性質(zhì)作為依據(jù)，學(xué)生在幾何推理的萌發(fā)期對此不是很重視。微課可以通過在視頻中設(shè)置動畫提示、填空、小游戲等形式，讓學(xué)生重視推理過程要有理有據(jù)，理解幾何推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、專題型微課在幾何推理發(fā)展期的作用

在幾何推理的發(fā)展期，學(xué)生隨著年齡的增長，其邏輯推理能力和理解能力進(jìn)一步增強(qiáng)，教材的內(nèi)容由研究點(diǎn)、線、角等基本圖形向三角形、四邊形、多邊形等較復(fù)雜的圖形發(fā)展，同時，此階段出現(xiàn)添加輔助線解決問題等高階思維，對學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、模型意識等數(shù)學(xué)能力提出了進(jìn)一步要求，增強(qiáng)了對綜合能力的考查。

1.培養(yǎng)幾何模型意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 年版）提出“應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想”，數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)有助于學(xué)生應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力的提高。在教學(xué)中，基本概念、定理、性質(zhì)等都是基本幾何模型，在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，為了便捷研究相關(guān)問題，在基本模型基礎(chǔ)上提煉出更復(fù)雜且具有某種結(jié)構(gòu)特征的模型，例如“一線三等角”模型、正方形“十字架”模型、“將軍飲馬問題”等。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)一定程度上就是模型教學(xué)，一個個有序、完備的模型體系構(gòu)成了數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)。每一個模型的建立都對應(yīng)著一個知識模塊，而模型內(nèi)部建立了知識模塊之間的聯(lián)系，從而讓數(shù)學(xué)知識成為一個有機(jī)整體。專題型微課把基本模型設(shè)計成系列微課，讓基本模型系統(tǒng)化、有序化、整體化。學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況自由選擇，強(qiáng)化模型意識，提高解題能力。

3.發(fā)展中國家應(yīng)對BEPS的弱征管能力尋求中國的幫助。BEPS是全球化深入發(fā)展的產(chǎn)物，AP-BEPS是多邊框架，實(shí)施AP-BEPS，需要發(fā)展中國家參與共同協(xié)力合作，才能形成全球稅收征管合力，維護(hù)發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體和發(fā)展中經(jīng)濟(jì)體的稅收利益。發(fā)展中國家征管基礎(chǔ)薄弱，應(yīng)對BEPS的征管能力相對較弱，AP-BEPS的實(shí)施成本較高，迫切需要中國等新興市場經(jīng)濟(jì)體幫助其征管能力建設(shè)，切實(shí)提高其應(yīng)對BEPS的征管能力。

例如，“將軍飲馬問題”系列微課做出了如下設(shè)計（如圖1）：

圖1

學(xué)生通過系列微課的學(xué)習(xí)，掌握求最短路徑的各種情況，對于符合基本模型的圖形求線段和、三角形、四邊形周長都有深入學(xué)習(xí)，在完成基本模型學(xué)習(xí)后進(jìn)行綜合應(yīng)用，完成數(shù)學(xué)能力的遷移和應(yīng)用。

2.變式教學(xué)拓寬思維的深度和廣度

在專題型微課中使用變式教學(xué)，以三維目標(biāo)為導(dǎo)向，有目的、有計劃地對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，最終使學(xué)生透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，同時，通過對數(shù)學(xué)問題的多角度、多方位、多層次討論和思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。變式教學(xué)中使用一題多解、一題多變、一法多用和一題多用等變式，拓寬學(xué)生思維的深度和廣度，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。專題型微課把綜合性較強(qiáng)的題目進(jìn)行分解，對題目涉及的重要知識點(diǎn)進(jìn)行分課時講解，同時對題目進(jìn)行改編，通過變式展示知識發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，從而讓學(xué)生理解知識的來龍去脈，形成知識網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，加深對問題的理解。

例題：如圖2，已知在等邊三角形ABC 中，點(diǎn)O 為BC 邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D 在AC 的延長線上，且OA=OD,求證：AD=AB+OB。

圖2

這道題綜合性比較強(qiáng)，需要添加平行線構(gòu)造等邊三角形或者用截長補(bǔ)短法來解決問題。我們把這道題設(shè)計三個課時的微課，讓學(xué)生從這道題中更深刻地理解平行線構(gòu)造等邊三角形和截長補(bǔ)短法的應(yīng)用。

第一課時：平行線構(gòu)造等邊三角形，共九種方法（如圖3）。

圖3

第二課時：截長補(bǔ)短法構(gòu)造等邊三角形，共六種方法，如圖4。

圖4

第三課時：構(gòu)造等邊三角形綜合應(yīng)用。

由于有前兩個課時的鋪墊，這道題用構(gòu)造平行線或截長補(bǔ)短法就有八種不同的解法，如圖5。

圖5

同步變式：

已知△ABC 為等邊三角形，AD=DE。

（1）如圖6，當(dāng)點(diǎn)D 為線段BC 上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E 在AC 的延長線上時，線段BD、AB、AE 有何關(guān)系？請證明你的猜想。

（2）如圖7，當(dāng)點(diǎn)D 在線段CB 的延長線上，點(diǎn)E 在線段AC 上時，線段BD、AB、AE 有何關(guān)系？請證明你的猜想。

圖6

圖7

三、專題型微課在幾何推理提高期的作用

在幾何推理的提高期，專題型微課注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理和形式邏輯推理，能識別不同圖形的特征和相關(guān)圖形間的關(guān)系，能從復(fù)雜圖形中找到基本圖形和基本模型，接受其內(nèi)在隱含的關(guān)系。專題型微課注重引導(dǎo)學(xué)生通過幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理，尋找出整個推理方向和推理思路，熟練地運(yùn)用形式邏輯進(jìn)行表達(dá)，完成幾何證明的全部過程。在初三的總復(fù)習(xí)中，通常一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題涉及的知識點(diǎn)較多，圖形較復(fù)雜，常常是基本模型的疊加，專題型微課注重引導(dǎo)學(xué)生識別其中的基本圖形和模型，同時把題目中涉及的知識點(diǎn)設(shè)計成系列微課，搭建知識框架，完善知識體系，最后設(shè)計同步變式，完成知識應(yīng)用和遷移。

例如：（2017 年南寧市中考題第25 題）如圖8，AB 是⊙O 直徑，弦CD ⊥AB，垂足為H，連接AC，過 上一點(diǎn)E 作EG ∥AC 交CD 的延長線于點(diǎn)G，連接AE 交CD 于點(diǎn)F,且EG=FG，連接CE。

（1）求證：△ECF ∽△GCE；

（2）求證：EG 是⊙O 的切線；

此題涉及知識點(diǎn)包括：垂徑定理、三角形相似、平行線的性質(zhì)、圓的切線、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用。

專題型微課設(shè)計如下：

（1）就這道題涉及的知識點(diǎn)，設(shè)計5 個系列微課，每一個知識點(diǎn)可以設(shè)計一節(jié)微課，搭建知識框架，完善知識體系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，加深對知識的理解。

（2）設(shè)計系列同步變式訓(xùn)練：

在學(xué)生幾何推理能力的培養(yǎng)中，專題型微課遵循學(xué)生心理、智力的發(fā)展特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地強(qiáng)化幾何知識的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得成就感，激發(fā)他們的探究欲望，促使全體學(xué)生幾何推理能力的提高。在系列微課設(shè)計中注重以“問題解決”為核心及數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。