并聯(lián)機構(gòu)靜剛度特性的分析與求解研究

朱春霞,劉曦宏,方 超,胡成柱

(沈陽建筑大學(xué)機械工程學(xué)院,遼寧 沈陽 110168)

相較于串聯(lián)機構(gòu),并聯(lián)機構(gòu)由于“剛度大”的特點而在機床領(lǐng)域獲得了更加廣泛的應(yīng)用,但是究其根本,由于研究時間短,且應(yīng)用并不普及,剛度不足仍然是導(dǎo)致并聯(lián)機床加工精度低的重要原因。

近年來,圍繞并聯(lián)機構(gòu)剛度的研究一直在展開:耿明超等[1]以欠驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,通過建立其連續(xù)非線性柔度模型,得到了機構(gòu)的方向剛度矩陣。徐東濤等[2]以Delta并聯(lián)機構(gòu)為基礎(chǔ),考慮重力和彈性變形的影響,以機構(gòu)彈性變形對機構(gòu)剛度特性進行了評價,使剛度特性分析更具準確性。崔學(xué)良等[3]以3RPS并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,依據(jù)螺旋理論和矢量微分法,對支鏈各個構(gòu)件與整體剛度的關(guān)系進行了分析,并對雅克比矩陣對剛度的影響進行了探討。武振華[4]以3-RPR并聯(lián)機構(gòu)為研究對象,結(jié)合機構(gòu)參數(shù),運用MATLAB編程的方法分析了該機構(gòu)的剛度特性。在更全面、更精確的目標導(dǎo)向下,學(xué)者們總結(jié)出不同的剛度研究方法,但不同的評價標準也給機構(gòu)剛度的比較、分析帶來困難,因此尋求合適的剛度分析方法,并建立統(tǒng)一的評價指標是并聯(lián)機構(gòu)剛度研究中亟待解決的問題。

基于此,筆者以3-TPT并聯(lián)機構(gòu)為對象,通過機構(gòu)力學(xué)雅克比矩陣求解、支鏈軸向剛度的求解以及機構(gòu)靜剛度特性的分析對該機構(gòu)整機剛度特性進行研究。選用最小特征值法和靜剛度性能商法,運用Matlab軟件仿真并聯(lián)機構(gòu)的剛度分布情況,并通過仿真分析,對比兩種評價方法的優(yōu)點及不足,為并聯(lián)機構(gòu)的進一步優(yōu)化設(shè)計做出良好的鋪墊。

1 并聯(lián)機構(gòu)靜力學(xué)分析

靜剛度分析的首要環(huán)節(jié)是靜力學(xué)分析,而靜力學(xué)分析則離不開靜力學(xué)雅克比矩陣的求解。筆者以虛功原理為基礎(chǔ),進行了雅克比矩陣的求解。圖1所示為并聯(lián)機構(gòu)的簡圖。分析機構(gòu)的運動狀態(tài)可知,其動平臺只能平動,不能轉(zhuǎn)動,因此只具有x、y、z三個方向的平移自由度,在三條支鏈上也只有沿著軸線方向的功。

1.定平臺;2.移動副;3.虎克鉸;4.動平臺。

運用虛功原理,當(dāng)3-TPT并聯(lián)機構(gòu)處于靜態(tài)平衡的狀態(tài)時,機構(gòu)所有外力經(jīng)過位移所做的功的總和為零。視機構(gòu)所受的切削力為靜載荷,記作F=(Fx,Fy,Fz),各個支鏈的驅(qū)動力為Fl=(F1,F2,F3),因此,可得出Fxδx+Fyδy+Fzδz=F1δ1+F2δ2+F3δ3.

(1)

式中:δx、δy、δz為輸出點受外力時產(chǎn)生的虛位移;δ1、δ2、δ3為支鏈受外力時產(chǎn)生的虛位移。

推導(dǎo)可得[6]靜力學(xué)正解表達式為

(2)

式中:l1,l2,l3為并聯(lián)機構(gòu)的桿長。

2 并聯(lián)機構(gòu)整機靜剛度矩陣求解

2.1 并聯(lián)機構(gòu)剛度模型建立

忽略并聯(lián)機構(gòu)動平臺和靜平臺的局部變形,將其視為理想剛體。將各個零部件重力、運動過程中產(chǎn)生的摩擦力以及環(huán)境因素帶來的影響忽略不計。推導(dǎo)Gossilin公式可知,3-TPT并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度矩陣為K=J-TKlJ-1。其中,Kl是并聯(lián)機構(gòu)支鏈上的剛度矩陣,可表示為

(3)

其中,kii是第i條支鏈上的驅(qū)動關(guān)節(jié)在其軸向的剛度。

對逆雅可比矩陣進行結(jié)構(gòu)化簡:

(4)

則3-TPT并聯(lián)機構(gòu)的逆運動學(xué)雅可比矩陣為

(5)

其中,Ki1、Ki2、Ki3是剛度矩陣K中的元素,給定并聯(lián)機構(gòu)的各個參數(shù),整機剛度矩陣K便可求出。

2.2 并聯(lián)機構(gòu)支鏈剛度求解

3-TPT并聯(lián)機構(gòu)的支鏈組成包括主、被動關(guān)節(jié)和桿件(見圖2)。求得各個部分的剛度便可獲得整個支鏈的剛度,求解過程如下。

1.虎克鉸;2.連桿;3.滾珠絲杠;4.連桿;5.軸承;6.虎克鉸。

(1)主動關(guān)節(jié)軸向剛度計算。并聯(lián)機構(gòu)的主動關(guān)節(jié)為滾珠絲杠,在軸向上,其剛度主要包括絲杠的軸向剛度KS滾珠螺母的剛度KN,支承軸的剛度KB以及螺母支架和軸承支架的剛度KH。一般情況下,支撐軸承為標準件,而軸承支架、螺母支架的軸向剛度并不會對主動關(guān)節(jié)的軸向剛度產(chǎn)生過大的影響,因此對于這三個部分的剛度不做過多分析此。則該并聯(lián)機構(gòu)主動關(guān)節(jié)剛度K3為

(6)

(2)被動關(guān)節(jié)軸向剛度計算。對于3-TPT并聯(lián)機構(gòu)而言,其被動關(guān)節(jié)包括支鏈和動平臺連接的虎克鉸1以及其與靜平臺相連接的虎克鉸6兩部分(見圖2)。在軸向上,虎克鉸的剛度由軸承、軸承座以及轉(zhuǎn)軸三大部分組成。由于軸承座具有較高的剛度,對整體剛度而言影響不大,而軸承為通用軸承,因此忽略這兩部分的剛度影響,只考慮兩轉(zhuǎn)軸的軸向剛度。

(3)桿件剛度計算。在并聯(lián)機構(gòu)的支鏈上,主要包含兩個連桿,分別將滾珠絲桿與動、靜平臺相連(見圖2)。其中,桿件2為實心桿,桿4為中空結(jié)構(gòu)。

剛度結(jié)構(gòu)組成及計算結(jié)果如表1所示。

表1 各部分剛度計算Table 1 Stiffness calculation of each part

經(jīng)過上述計算,可以得到3-TPT并聯(lián)機構(gòu)的支鏈剛度為

83 207.21 N/mm.

(7)

則支鏈的剛度矩陣可表示如下:

(8)

2.3 3-TPT并聯(lián)機構(gòu)整機剛度求解

選取機構(gòu)工作空間上的兩個極限位置點A(499.55,-286.11,699.98)、B(0,0,1 052),以及其工作空間內(nèi)的任一點C(20,120,700),進行剛度矩陣的求解。

代入A點坐標到逆雅可比矩陣進而可以求得末端輸出位置移動到A點時的剛度矩陣:

KA=J-TKlJ-1=105×

(9)

同理可得,B點的剛度矩陣為

KB=J-TKlJ-1=105×

(10)

C點的剛度矩陣:

KC=J-TKlJ-1=105×

(11)

分析A、B、C三點的逆雅可比矩陣和剛度矩陣可以得知:

(1)逆雅可比矩陣和剛度矩陣隨著機構(gòu)末端輸出點坐標的變化而變化,因此很難依據(jù)矩陣數(shù)值的變化來分析剛度矩陣的變化規(guī)律。

(2)當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)的輸出點位于z軸上時,機構(gòu)的剛度矩陣為對角矩陣,此時,其在x、y、z三個方向上的剛度可以較為容易的得到。

(3)如果想要得知當(dāng)機構(gòu)受到外力作用時,其動平臺上輸出位置的變形,還需要進行更深入的分析。

3 并聯(lián)機構(gòu)剛度分析方法對比與分析

3.1 最小特征值法仿真分析

最小特征值法是運用矩陣變換,求解機構(gòu)剛度變換矩陣的最小特征值,并以此為基礎(chǔ),進行工作空間上最小剛度值的分析。

將并聯(lián)機構(gòu)末端輸出點受到的外力記為向量F,其在外力作用下產(chǎn)生的變形記為向量X,求得兩向量的內(nèi)積并做比,則得到一個系數(shù)Q(X):

(12)

設(shè)矩陣K0=KTK,K0的特征值為λi(i=1,2,3),運用矩陣的性質(zhì),Q(X)的取值范圍可以確定,即λmin

利用Matlab軟件,分別選取Z=700 mm、Z=800 mm、Z=900 mm、Z=1 000 mm四個平面,對3TPT并聯(lián)機構(gòu)工作空間內(nèi)的點進行仿真分析,得到機構(gòu)最小特征值λmin的分布如圖3所示。

圖3 最小特征值分布圖Fig.3 The distribution diagram of the minimum eigenvalues

仿真圖中,x、y軸為并聯(lián)機構(gòu)動平臺輸出點的X、Y坐標,z軸為四個平面上,工作空間內(nèi)每一點對應(yīng)的最小特征值。

分析圖3可知:

(1)在Z=700 mm、Z=800 mm、Z=900 mm、Z=1 000 mm四個平面上,最小特征值的分布呈現(xiàn)圓環(huán)形的變化趨勢。其中,當(dāng)輸出點位于z軸上時,具有最大的最小特征值,隨著離中心位置越來越遠,其最小特征值也不斷減小。這與靜剛度性能商的分析結(jié)果相符。

(2)由于在四個平面上,最小特征值的變化規(guī)律相似,也可以推斷,并聯(lián)機構(gòu)在空間z軸上的任一平面上,最小特征值的分布基本呈現(xiàn)由中間向兩邊遞減的趨勢。

(3)分析四個平面上最小特征值的極值可以發(fā)現(xiàn),隨著輸出點Z坐標的增加,最小特征值的最大值減小,而當(dāng)工作空間逐漸減小時,最小特征值的最小值反而增大。

總而言之,最小特征值法具有簡單便捷的優(yōu)點,但是運用此種方法得到的分析結(jié)果也具有一定的局限性,只能反映機構(gòu)剛度性能可能的最小值點,而不能反映在外力作用下,剛度的變化規(guī)律,因此不夠明晰和準確。

3.2 靜剛度性能商法仿真分析

不同于最小特征值法,靜剛度性能商法求出了直接值,而不是給出了一個范圍,因此更為準確,更具有指導(dǎo)意義。

分析并聯(lián)機構(gòu)在x,y,z方向不同、大小相同的力的作用下,水平方向和豎直方向的剛度情況,對該并聯(lián)機構(gòu)進行兩組仿真。第一組,對末端執(zhí)行器分別施加三個沿坐標軸方向的力,其力的向量分別為Fx=(500,0,0)、Fy=(0,500,0)、Fz=(0,0,500),選取工作空間中的Z=800 mm平面,分析該平面上的靜剛度性能商值分布。第二組,對末端執(zhí)行器施加三個沿坐標軸方向的力,分別為Fx=(500,0,0),Fy=(0,500,0),Fz=(0,0,500),選取并聯(lián)機構(gòu)工作中的中心軸位置,通過MATLAB軟件求出該軸上各點在不同的力的作用下、距離靜平臺不同位置的剛度情況。

仿真模型:

(13)

其中,Fi表示Fx、Fy、Fz。

運用MATLAB進行仿真,得到三個不同的外力作用下的剛度性能分布如圖4所示。X,Y為平面上點的x,y軸坐標,z軸的坐標值Z為靜剛度性能商值。當(dāng)X,Y值不變時,剛度矩陣的變化主要與Z值相關(guān)。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 水平方向 上P(X)值分布圖Fig.4 The distribution of P(X)values in the horizontal direction

圖5 豎直方向上P(X)值分布圖

通過圖4可以看出,在水平方向和豎直方向上,靜剛度性能商的值存在著一些規(guī)律:

(1)觀察圖4(a)可知,該并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度性能商在某一個位置達到最大,然后在其四周呈環(huán)形下降;由此可見,與最大值位置的水平距離越大,該點的靜剛度性能商值越小,其變形量越大,因此在并聯(lián)機構(gòu)剛度性能優(yōu)化中,可以對這些點的剛度進行提升。

(2)觀察圖4(b)可知,當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)受x,y方向的力的作用時,在中心軸上,距離靜平臺越遠,靜剛度性能商值越小。而受z軸方向力時,則越遠離靜平臺,靜剛度性能商值越大。除此之外,由于該并聯(lián)機構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu),當(dāng)機構(gòu)受到x,y軸的力的作用時,靜剛度性能商的分布情況大致相同。

(3)分析圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn),在z方向力的作用下,并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度性能商值遠大于受x、y方向力的情況。以此可以推斷,在設(shè)計過程中,可以優(yōu)化機構(gòu)的輸出點受力,使其可能沿z軸方向,并對x方向以及y軸方向上的剛度進行提升,以實現(xiàn)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

4 結(jié) 論

(1)采用兩種評價指標,最小特征值法以及靜剛度性能商法,基于Matlab軟件,對機構(gòu)的剛度情況進行仿真和分析,對比發(fā)現(xiàn)相較于最小特征值法,靜剛度性能商法可以表現(xiàn)出在外力的影響下機構(gòu)剛度的變化趨勢,因此更具有指導(dǎo)意義。

(2)并聯(lián)機構(gòu)在Z軸方向具有更高的剛度,并且越遠離Z軸,下降速度越快;該結(jié)論也為并聯(lián)機構(gòu)進一步的優(yōu)化設(shè)計提供了基礎(chǔ)。