地震動(dòng)廣義動(dòng)力放大系數(shù)譜及其特性研究

何浩祥，丁佳偉，程時(shí)濤

(北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

地震動(dòng)是復(fù)雜的時(shí)間-空間隨機(jī)變化過程，其特性一般用幅值、頻譜和持時(shí)三個(gè)要素描述。20世紀(jì)30年代初期，Biot等[1-2]提出可以將結(jié)構(gòu)分解為一系列的單自由度系統(tǒng)并求解時(shí)程反應(yīng)的最大值，從而獲取地震反應(yīng)譜曲線。之后大量學(xué)者在此基礎(chǔ)上建立了地震反應(yīng)譜理論[3-4]。彈性反應(yīng)譜的定義為：地震作用下具有指定阻尼比的單自由度彈性體系的最大反應(yīng)隨自振周期變化的曲線或函數(shù)關(guān)系。反應(yīng)譜是地震動(dòng)特性與結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)之間的紐帶，將大量實(shí)際地震記錄的反應(yīng)譜的包絡(luò)線或平均線作為標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜并基于振型分解反應(yīng)譜法可以實(shí)現(xiàn)多自由結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)[5]。

在我國(guó)GB 50011—2010《抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[6]中，將反應(yīng)譜用地震影響系數(shù)α曲線來表示，地震影響系數(shù)α是地震系數(shù)k與動(dòng)力放大系數(shù)β的乘積，地震系數(shù)k是地震地面運(yùn)動(dòng)峰值加速度amax與重力加速度g的比值，反映了一個(gè)地區(qū)基本烈度的大小，與結(jié)構(gòu)的性能無關(guān)。動(dòng)力放大系數(shù)β是單自由度彈性體系在地震作用下加速度反應(yīng)最大絕對(duì)值與地面加速度最大絕對(duì)值的比值，即單質(zhì)點(diǎn)最大加速度比地面最大加速度放大的倍數(shù)，為無量綱量，與地震烈度無關(guān)。β譜反映了準(zhǔn)概率意義下的不同周期結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值的均值，通常是按照?qǐng)龅貤l件、震級(jí)與震中距等分類的實(shí)際地震記錄計(jì)算并進(jìn)行平均化和平滑化處理獲得的[7-8]。

從上述分析可知，反應(yīng)譜及β譜主要反映了地震動(dòng)頻譜特性與結(jié)構(gòu)阻尼和自振周期的關(guān)系，但對(duì)頻域非平穩(wěn)性僅做了均值意義上的近似處理，對(duì)地震動(dòng)時(shí)域非平穩(wěn)性的表征也更加不充分。近年來，隨著地震動(dòng)特性研究的發(fā)展及結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)精細(xì)化的需求，研究者對(duì)地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)性的研究日益關(guān)注且對(duì)傳統(tǒng)反應(yīng)譜的概念和抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的局限性有了更深刻的認(rèn)識(shí)[9-11]。重新審視傳統(tǒng)反應(yīng)譜概念的不足，回溯反應(yīng)譜理論發(fā)展歷程[12]中有益的各階段成果是改進(jìn)和提升傳統(tǒng)反應(yīng)譜概念和計(jì)算方法的有效途徑。

地震反應(yīng)譜尤其是β譜的概念發(fā)軔于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力系數(shù)定義和概率極限狀態(tài)設(shè)計(jì)法的思想[13-14]，認(rèn)為采用結(jié)構(gòu)反應(yīng)最大值與地震動(dòng)幅值最大值的比值即可表征結(jié)構(gòu)反應(yīng)的包絡(luò)，在單自由度結(jié)構(gòu)層面至少具有足夠的安全性。然而，對(duì)于具有中長(zhǎng)自振周期的結(jié)構(gòu)，由于其自身頻譜特性與地震動(dòng)頻譜特性有所區(qū)別，加之結(jié)構(gòu)阻尼較小，其最大反應(yīng)通常會(huì)滯后，出現(xiàn)在地震幅值較小的時(shí)刻，而并非地震動(dòng)峰值時(shí)刻，有時(shí)偏差甚至較大。上述現(xiàn)象導(dǎo)致傳統(tǒng)β譜的數(shù)值與理想的物理需求值相比是偏小的，并沒有預(yù)期的保守性。

另一方面，對(duì)任一具體地震動(dòng)，傳統(tǒng)β譜僅考慮其最值效應(yīng)，對(duì)該地震動(dòng)時(shí)域和頻域統(tǒng)計(jì)特征均沒有充分考慮，而是通過對(duì)大量地震動(dòng)及結(jié)構(gòu)反應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)來實(shí)現(xiàn)均值描述，且在結(jié)構(gòu)不同周期處的概率含義是不一致的[15]。以上不足導(dǎo)致傳統(tǒng)β譜對(duì)地震動(dòng)時(shí)頻統(tǒng)計(jì)特征挖掘并不充分。針對(duì)這一問題，胡聿賢等[16]曾在20世紀(jì)60年代建議通過建立結(jié)構(gòu)反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差動(dòng)力放大系數(shù)β譜來作為普通反應(yīng)譜的有益補(bǔ)充。該β譜是將地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)反應(yīng)視為平穩(wěn)隨機(jī)過程，用隨機(jī)振動(dòng)理論求出具有不同周期的結(jié)構(gòu)反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和地震動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差并將二者的系列比值視為動(dòng)力放大系數(shù)譜。該β譜慮及了地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)反應(yīng)的整個(gè)過程，并將峰值之比改為標(biāo)準(zhǔn)差之比，更真實(shí)地反映了二者的統(tǒng)計(jì)特征，具有明確的物理意義和實(shí)用價(jià)值。然而，由于當(dāng)時(shí)對(duì)隨機(jī)振動(dòng)理論和頻域分析的重視程度不夠加之傳統(tǒng)反應(yīng)譜易于計(jì)算，有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)差動(dòng)力放大系數(shù)β譜的研究并沒有系統(tǒng)開展，其影響力甚微，甚至一直沒有獲得統(tǒng)計(jì)意義上的譜值并與傳統(tǒng)譜進(jìn)行對(duì)比。

有鑒于此，針對(duì)傳統(tǒng)反應(yīng)譜的局限性，本文提出能夠考慮地震動(dòng)多個(gè)峰值影響的β譜，從而能夠全面考慮地震動(dòng)時(shí)域非平穩(wěn)的影響；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差譜的概念建立了考慮大量地震動(dòng)統(tǒng)計(jì)特性的不同場(chǎng)地條件下的β譜。上述兩種β譜在理論上彌補(bǔ)了傳統(tǒng)反應(yīng)譜的不足，且在某些結(jié)構(gòu)周期段上的數(shù)值更大，因此本文進(jìn)而將三種β譜的包絡(luò)線定義為廣義β譜，可為結(jié)構(gòu)抗震分析提供更保守的計(jì)算依據(jù)。算例分析結(jié)果表明按廣義β譜進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)更安全可靠。

1 傳統(tǒng)譜缺陷及等效動(dòng)力放大系數(shù)譜

(1)

式中:T和ζ分別為結(jié)構(gòu)的自振周期和阻尼比;ω和ωd分別為結(jié)構(gòu)無阻尼和有阻尼的圓頻率;τ為單位脈沖作用時(shí)刻;t為地震動(dòng)時(shí)間。β譜反映了地震動(dòng)的頻譜特性，具有不同自振周期的結(jié)構(gòu)有不同的動(dòng)力效應(yīng)，地震動(dòng)的特性決定了β譜的形狀，與場(chǎng)地條件、震級(jí)和震中距等有密切關(guān)系。

在傳統(tǒng)的研究中，一般認(rèn)為地震動(dòng)的加速度最大值致使結(jié)構(gòu)加速度反應(yīng)出現(xiàn)最大值，二者是因果關(guān)系且?guī)缀跏峭瑫r(shí)發(fā)生的。然而計(jì)算分析表明上述觀點(diǎn)是不正確的。為了具體驗(yàn)證，本文以加速度絕對(duì)值最大值為0.2g的El Centro波和Taft波為例，分別計(jì)算阻尼比在2%和5%時(shí)不同自振周期結(jié)構(gòu)出現(xiàn)最大加速度反應(yīng)的時(shí)刻，結(jié)構(gòu)自振周期間隔為0.01 s，最大結(jié)構(gòu)自振周期為6 s，結(jié)果如圖1所示。

從以上結(jié)果可以看出：具有不同自振周期的結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)最大值出現(xiàn)時(shí)刻分布比較散亂，很多情況并非在地震動(dòng)加速度峰值處。當(dāng)周期在1.5～3 s時(shí)，結(jié)構(gòu)加速度最大值出現(xiàn)的時(shí)刻更加分散且嚴(yán)重滯后。隨著阻尼比的增加，結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值出現(xiàn)時(shí)刻向地震波最大值出現(xiàn)時(shí)刻集中，但二者重合的比例仍然很低。結(jié)構(gòu)的位移和速度也具有上述現(xiàn)象，不再贅述。造成這一現(xiàn)象的原因主要在于地震動(dòng)時(shí)頻非平穩(wěn)性、結(jié)構(gòu)本身的振動(dòng)特性與地震動(dòng)頻譜特性的差異及小阻尼比形成的時(shí)滯。正因?yàn)樯鲜霈F(xiàn)象，傳統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)β譜的數(shù)值常常比按理論假定得到的理想值偏小，并沒有達(dá)到預(yù)期的保守性。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)加速度峰值對(duì)β譜的影響并改進(jìn)上述不足，針對(duì)El Centro波，計(jì)算阻尼比為5%情況下原始地震波、去除地震波中8個(gè)及15個(gè)極大峰值點(diǎn)后的修正地震波下結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)最大值出現(xiàn)的時(shí)刻及相應(yīng)的β譜，結(jié)果分別如圖2所示。

(a) 不同周期結(jié)構(gòu)反應(yīng)最值出現(xiàn)時(shí)刻(b) 去除不同峰值后的β譜圖2 去除不同峰值后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.2 Structural responses after deleting different peaks

由結(jié)果可知，去除若干地震動(dòng)極大峰值后結(jié)構(gòu)加速度最大值出現(xiàn)的時(shí)刻有明顯變化，表明并非只有地震動(dòng)加速度最大值影響結(jié)構(gòu)反應(yīng)及其出現(xiàn)時(shí)刻，其他極大峰值對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響不可忽略。此外，圖3結(jié)果表明去除15個(gè)極值的地震波下結(jié)構(gòu)β譜反而最大，這進(jìn)一步證明了需要充分考慮地震動(dòng)其他加速度極大峰值對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的綜合效應(yīng)。有鑒于此，本文建議在建立β譜時(shí)，可以計(jì)算地震波中多個(gè)加速度極值的等效疊加值與相應(yīng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)極值的等效疊加值，并將二者的比值定義為等效動(dòng)力放大系數(shù)β譜，計(jì)算式為

(2)

相對(duì)于傳統(tǒng)β譜，本文提出的等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜不僅能夠考慮地震動(dòng)最大峰值的影響，也考慮了其它地震動(dòng)極值對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響。當(dāng)慮及足夠多的極值點(diǎn)時(shí)，可以認(rèn)為βe譜實(shí)現(xiàn)全面考慮地震記錄非平穩(wěn)性對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)β譜的缺陷。

為了進(jìn)一步確保分析結(jié)果具有足夠統(tǒng)計(jì)精度，針對(duì)四類場(chǎng)地條件，本文從太平洋地震工程研究中心(PEER)數(shù)據(jù)庫(kù)中分別選取世界范圍內(nèi)四類場(chǎng)地各100條典型的地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。具體選波原則包括：① 所選地震震級(jí)范圍在3.5～8.1級(jí)；② 地震波的PGA大于0.05g小于0.80g；③ 震中距大于10 km小于280 km；④ 平均土層剪切波速符合規(guī)范的要求；⑤ 一次地震發(fā)生最多采用2條不同地點(diǎn)的地震記錄；⑥ 均采用水平向的記錄。在最大峰值加速度為0.2g的情況下，以各地震動(dòng)最大絕對(duì)峰值的50%為基準(zhǔn)值(0.1g)，計(jì)算大于此基準(zhǔn)值的前50%、60%和70%的極值(峰值)個(gè)數(shù)n，并根據(jù)式(2)計(jì)算得到等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜，并與傳統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)β譜進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

(a) I類場(chǎng)地等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜(b) II類場(chǎng)地等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜

(c) III類場(chǎng)地等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜(d) IV類場(chǎng)地等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜圖3 四類不同場(chǎng)地等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜Fig.3 Equivalent acceleration spectra of four sites

經(jīng)分析可知：對(duì)于加速度極值數(shù)量取值不同的βe譜，其數(shù)值在短周期段均與傳統(tǒng)β譜十分接近。當(dāng)結(jié)構(gòu)自振周期大于卓越周期時(shí)，βe譜值明顯增大，且影響其響應(yīng)的不僅包括最大加速度峰值，其它峰值的作用不可忽視；對(duì)于自振周期小于卓越周期的結(jié)構(gòu)，主要影響因素是最大加速度峰值，且考慮前50%加速度極值點(diǎn)數(shù)的βe譜值最大，這是由于小幅度的加速度峰值凸顯了結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大效應(yīng)。

鑒于選取適量的對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主要作用的極值點(diǎn)才更有意義，經(jīng)過大量統(tǒng)計(jì)分析與驗(yàn)算后，本文建議取60%～70%的加速度極值點(diǎn)數(shù)計(jì)算βe譜。相比于傳統(tǒng)β譜，βe譜能夠更全面地反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大效應(yīng)，其譜值更大，保守性更強(qiáng)，按此進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)更安全可靠。為了進(jìn)一步確認(rèn)βe譜的適用性和通用性，本文計(jì)算了各類的速度βe譜和位移βe譜，II類場(chǎng)地的結(jié)果如圖4所示，其它場(chǎng)地結(jié)果的規(guī)律一致，不再贅列?？梢钥闯霾煌磻?yīng)量的βe譜在結(jié)構(gòu)短周期內(nèi)均與傳統(tǒng)β譜接近，但中長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)的譜值依然更大。位移、速度和加速度的βe譜均較保守，且三者是可互相驗(yàn)證的。

2 標(biāo)準(zhǔn)差譜及其統(tǒng)計(jì)特性

盡管βe譜針對(duì)傳統(tǒng)β譜對(duì)地震動(dòng)時(shí)域非平穩(wěn)性考慮不足的問題進(jìn)行了改進(jìn)，但這兩者均是從時(shí)域上進(jìn)行動(dòng)力分析獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)峰值并通過大量計(jì)算獲得具有統(tǒng)計(jì)特征的結(jié)果，對(duì)地震動(dòng)頻域非平穩(wěn)性的考慮并不全面。由于地震動(dòng)是典型的隨機(jī)過程，實(shí)際上也可以基于隨機(jī)振動(dòng)理論從頻域分析角度計(jì)算結(jié)構(gòu)反應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征量并建立頻域動(dòng)力放大系數(shù)β譜。在一般的研究中，可假定地震動(dòng)為零均值的高斯過程，則根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)分析理論，結(jié)構(gòu)響應(yīng)也是零均值的高斯過程。盡管結(jié)構(gòu)反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差與結(jié)構(gòu)反應(yīng)峰值分別屬于隨機(jī)分析與確定性分析的結(jié)果表征，但二者是相互對(duì)應(yīng)的，因此可以用結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)差來表征結(jié)構(gòu)頻域反應(yīng)。標(biāo)準(zhǔn)差β譜不同于傳統(tǒng)β譜，它是基于地震動(dòng)頻域能量分布及頻域傳遞函數(shù)來表示結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)放大倍數(shù)。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論求解結(jié)構(gòu)反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差及對(duì)應(yīng)的反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差譜具有重要意義。

(a) 等效速度反應(yīng)譜(b) 等效位移反應(yīng)譜

當(dāng)輸入激勵(lì)x(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，可根據(jù)x(t)的特性求得穩(wěn)態(tài)輸出y(t)的特性，假設(shè)不考慮零初始條件的影響，可求得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)功率譜，進(jìn)行Fourier變換求得穩(wěn)定狀態(tài)的方差響應(yīng)，即有

(3)

式中:Sx(ω)為地震動(dòng)加速度的功率譜函數(shù);σy為結(jié)構(gòu)反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差;H(ω)為結(jié)構(gòu)頻域傳遞函數(shù)。絕對(duì)加速度、速度和位移的頻域傳遞函數(shù)公式依次如下

(4)

由此可以計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)隨機(jī)過程作用下的標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜，計(jì)算公式為

(5)

綜上，根據(jù)單自由度結(jié)構(gòu)的位移、速度和絕對(duì)加速度的頻域傳遞函數(shù)可以分別求得標(biāo)準(zhǔn)差意義下的位移βσ譜、速度βσ譜和絕對(duì)加速度βσ譜。對(duì)前文所用的大量地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析可得各場(chǎng)地條件下的加速度標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜的均值，與傳統(tǒng)β譜和前文的βe譜的比較結(jié)果如圖5所示。此外，II類場(chǎng)地的速度標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜均值和位移標(biāo)準(zhǔn)差β譜均值的結(jié)果如圖6所示。

從以上結(jié)果可以看出：在短周期段標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜偏小于傳統(tǒng)β譜和βe譜，這是由于標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜對(duì)任一自振周期結(jié)構(gòu)均考慮了全頻域范圍的能量分布，而短周期結(jié)構(gòu)偏剛，其加速度反應(yīng)特性與地震動(dòng)加速度特性接近，此時(shí)傳統(tǒng)β譜主要慮及最值，因此傳統(tǒng)譜值大于標(biāo)準(zhǔn)差譜；在中長(zhǎng)周期段，結(jié)構(gòu)反應(yīng)特性與地震動(dòng)峰值的關(guān)聯(lián)減弱，而由于標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜是對(duì)所有頻段反應(yīng)的綜合表征，因此其譜值要明顯大于傳統(tǒng)β譜和βe譜。速度標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜和位移標(biāo)準(zhǔn)差βσ譜也同樣具有上述特性。

3 廣義動(dòng)力放大系數(shù)譜

綜上可知，基于頻域計(jì)算的反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差譜βσ在長(zhǎng)周期段更加合理，且明顯高于其他兩種β譜；基于時(shí)域等效峰值效應(yīng)提出的βe譜與傳統(tǒng)β譜相比在中長(zhǎng)周期段有了顯著的提升，克服了傳統(tǒng)β譜的不足；傳統(tǒng)β譜而在短周期段具有更可靠的理論含義，三種β譜各有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于抗震安全等級(jí)較高的結(jié)構(gòu)和有特殊抗震需求的結(jié)構(gòu)，針對(duì)同一周期可以選擇譜值更大的反應(yīng)譜，因此可以結(jié)合三種動(dòng)力放大系數(shù)的特點(diǎn)，選取三種β譜在任一周期下的最大值，從而形成具有包絡(luò)意義的準(zhǔn)確安全的全新β譜，本文稱之為廣義動(dòng)力放大系數(shù)β譜。不同場(chǎng)地條件下的廣義動(dòng)力放大系數(shù)β譜均值如圖5所示，II類場(chǎng)地的位移和速度的廣義β譜均值如圖6所示。

為了更明確地反映廣義β譜的增強(qiáng)效應(yīng)，本文對(duì)各類場(chǎng)地條件下廣義β譜均值與傳統(tǒng)β譜均值的比值Rβ進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，該比值始終大于1且隨著結(jié)構(gòu)周期的增大也逐漸增大。隨著場(chǎng)地類型的提高，Rβ值逐漸下降，可分別用二次函數(shù)來擬合，具體形式如下

Rβ=aT2+bT+1

(6)

四類場(chǎng)地的參數(shù)擬合值及擬合可決系數(shù)(R-square)如表1所示。可以看出本文提出的擬合函數(shù)的擬合可決系數(shù)接近于1，表明擬合效果良好。

(a) I類場(chǎng)地動(dòng)力放大系數(shù)β譜(b) II類場(chǎng)地動(dòng)力放大系數(shù)β譜

(c) III類場(chǎng)地動(dòng)力放大系數(shù)β譜(d) IV類場(chǎng)地動(dòng)力放大系數(shù)β譜圖5 四類場(chǎng)地動(dòng)力放大系數(shù)β譜Fig.5 Dynamic amplification spectra of different sites

(a) II類場(chǎng)地速度β譜

(b) II類場(chǎng)地位移β譜圖6 II類場(chǎng)地反應(yīng)譜Fig.6 Response spectrum of site II

圖7 四類場(chǎng)地放大比值系數(shù)Fig.7 Dynamic amplification ratio coefficient of four sites

表1 擬合函數(shù)的參數(shù)取值

對(duì)于中長(zhǎng)周期結(jié)構(gòu)，廣義β譜的增強(qiáng)效應(yīng)較顯著，可以考慮對(duì)結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的β譜進(jìn)行修正。需要指出的是：如果反應(yīng)譜是通過對(duì)地震動(dòng)進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)直接獲得的，則其本身即為真實(shí)地震動(dòng)頻譜特征的反映而不需要修正；但目前大部分規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜均為放大系數(shù)譜，相當(dāng)于已經(jīng)針對(duì)地震動(dòng)峰值進(jìn)行了等效歸一化[17]，因此可以考慮修正譜值或增大地震影響系數(shù)最大值來體現(xiàn)廣義β譜的放大效應(yīng)，修正后的譜值與地震安全評(píng)價(jià)譜更接近。實(shí)際上中國(guó)抗震設(shè)計(jì)譜對(duì)各場(chǎng)地的5倍特征周期以上的結(jié)構(gòu)已經(jīng)進(jìn)行了譜值放大，但并沒有對(duì)短周期段譜值相應(yīng)調(diào)整，目前規(guī)范譜值在不同周期段的概率特性、精度和協(xié)調(diào)性仍然是不一致的，這導(dǎo)致按規(guī)范譜生成的人工地震波的頻譜特性與真實(shí)地震動(dòng)也有一定差別，因此暫不宜探討對(duì)該設(shè)計(jì)譜進(jìn)行再次修正。為了進(jìn)一步探究采用廣義β譜修正傳統(tǒng)β譜的可行性和效果，本文選取沒有對(duì)周期段進(jìn)行修正的美國(guó)NEHRP2003規(guī)范[19]反應(yīng)譜進(jìn)行分析。計(jì)算各類場(chǎng)地類型下的真實(shí)地震動(dòng)傳統(tǒng)β譜的均值譜、廣義β譜的均值譜、美國(guó)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范的β譜及按式(6)和表1進(jìn)行改進(jìn)的廣義β譜，II類場(chǎng)地下的結(jié)果參見圖8，其它結(jié)果類似?？梢钥闯觯焊黝悎?chǎng)地的設(shè)計(jì)β譜和廣義β譜分別與真實(shí)地震的譜值吻合，精度較高、因此廣義β譜及其擬合公式具有良好的工程適用性，可以考慮適當(dāng)應(yīng)用和推廣。

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

上文對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力放大系數(shù)β譜進(jìn)行了分析和討論，但考慮到實(shí)際結(jié)構(gòu)一般均為多自由度結(jié)構(gòu)，有必要研究按廣義β譜和傳統(tǒng)β譜進(jìn)行抗震驗(yàn)算得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)的差別。為此本文建立了一個(gè)8層的二維剪切模型框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型分解反應(yīng)譜法分析和隨機(jī)振動(dòng)分析。結(jié)構(gòu)的場(chǎng)地類型為II類，每層層高為3 m，各層質(zhì)量和剛度沿高度遞減，結(jié)構(gòu)的前三階周期分別為0.725 s、0.254 s和0.154 s。選用圖8中的4條譜分別進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，由于不同譜的數(shù)值在結(jié)構(gòu)自振周期內(nèi)具有一定的差異，因此該結(jié)構(gòu)模型的響應(yīng)可以基本反映各反應(yīng)譜對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響。

圖8 美國(guó)動(dòng)力放大系數(shù)β譜的比較Fig.8 Comparison of the dynamic amplification spectra

采用振型分解反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)構(gòu)反應(yīng)時(shí)，利用SRSS法即對(duì)各振型的最大反應(yīng)平方和再開根號(hào)得到結(jié)構(gòu)的最終反應(yīng)。結(jié)構(gòu)的層間位移及層間位移角結(jié)果如圖9所示。結(jié)果表明：四種反應(yīng)譜的計(jì)算結(jié)果均小于抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中位移角的限值?；趶V義β譜計(jì)算得到的各層層間位移和層間位移角均大于按傳統(tǒng)β譜計(jì)算得到的結(jié)果，其比值約1.20倍左右。美國(guó)規(guī)范β譜與真實(shí)地震β譜均值的計(jì)算結(jié)果接近，美國(guó)規(guī)范廣義β譜與真實(shí)地震廣義β譜的計(jì)算結(jié)果接近，表明本文提出的廣義β譜和Rβ具有良好的適用性。在位移限制符合規(guī)范要求的情況下，基于本文提出的廣義β譜進(jìn)行設(shè)計(jì)或驗(yàn)算可以進(jìn)一步確保結(jié)構(gòu)安全。

(a) 結(jié)構(gòu)各樓層的層間位移

(b) 結(jié)構(gòu)各樓層的層間位移角圖9 結(jié)構(gòu)各樓層位移Fig.9 Structural displacement

對(duì)于采用隨機(jī)振動(dòng)理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的情況，本文利用加速度反應(yīng)譜與加速度功率譜之間的近似轉(zhuǎn)換關(guān)系式計(jì)算所需的功率譜[20]，如下

(7)

式中:S(ω)為加速度反應(yīng)譜;Td為有阻尼結(jié)構(gòu)的自振周期；r為超越概率;ζ為阻尼比;G(ω)為加速度功率譜。利用式(7)將上述的四種加速度反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為功率譜，如圖10所示。結(jié)果表明在中低頻處廣義β譜轉(zhuǎn)換的功率譜大于傳統(tǒng)β譜的結(jié)果，且與真實(shí)地震動(dòng)功率譜更接近，因此廣義β譜有著更包絡(luò)精度。此外，修正美國(guó)規(guī)范廣義β譜轉(zhuǎn)化成的功率譜相比于美國(guó)規(guī)范β譜也有著更高的精度。

圖10 四種轉(zhuǎn)換功率譜Fig.10 Four converted power spectra

利用隨機(jī)振動(dòng)理論求解結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)，反應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差σs計(jì)算公式如下

(8)

式中:I(ω,t)為結(jié)構(gòu)在確定性激勵(lì)g(t)eiωt下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，g(t)為時(shí)程包絡(luò)函數(shù)。采用上述四種不同功率譜求得結(jié)構(gòu)底層與頂層的響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如圖11所示?？梢钥闯觯夯趶V義β譜的計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)仍然大于基于傳統(tǒng)β譜的結(jié)果，平均比值為1.14，其中最大比值達(dá)到1.63。按廣義β譜與美國(guó)規(guī)范廣義β譜計(jì)算的結(jié)果可以確保結(jié)構(gòu)有更高的安全贅余度，動(dòng)力放大比值系數(shù)公式可以實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)規(guī)范β譜的改進(jìn)，具有較高精度。

綜上，對(duì)于重要結(jié)構(gòu)，在基于規(guī)范反應(yīng)譜進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，可考慮采用廣義β譜進(jìn)行進(jìn)一步的設(shè)計(jì)或驗(yàn)算，從而在充分考慮真實(shí)地震時(shí)頻非平穩(wěn)性的基礎(chǔ)上確保結(jié)構(gòu)足夠安全。

(a) 第一層結(jié)構(gòu)位移標(biāo)準(zhǔn)差

(b) 第八層結(jié)構(gòu)位移標(biāo)準(zhǔn)差圖11 四種轉(zhuǎn)換功率譜結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)果Fig.11 Structural displacement using converted power spectra

5 結(jié) 論

本文通過求解不同周期結(jié)構(gòu)最大反應(yīng)出現(xiàn)時(shí)刻和地震動(dòng)峰值時(shí)刻并進(jìn)行對(duì)比，證明地震動(dòng)的若干極值對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)有著不可忽視的作用，而傳統(tǒng)動(dòng)力放大系數(shù)β譜僅僅考慮最大峰值對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，因而并不具備足夠的保守性。本文提出了考慮地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)反應(yīng)的若干極值的等效動(dòng)力放大系數(shù)βe譜有效克服上述局限，實(shí)現(xiàn)了動(dòng)力放大系數(shù)β譜對(duì)時(shí)域非平穩(wěn)的考慮。結(jié)構(gòu)反應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差動(dòng)力放大系數(shù)βσ譜可以從頻域能量的角度計(jì)算分析結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值，本文計(jì)算了不同場(chǎng)地類型下的βσ譜統(tǒng)計(jì)值，結(jié)果表明其長(zhǎng)周期段的譜值更大。在此基礎(chǔ)上，本文建議在各周期點(diǎn)取傳統(tǒng)β譜、βe譜和β譜的最大值形成廣義β譜，可以為抗震等級(jí)要求高的結(jié)構(gòu)提供更保守的反應(yīng)譜。提出了相對(duì)于傳統(tǒng)β譜的放大系數(shù)擬合公式。我國(guó)抗震規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的譜值在長(zhǎng)周期段已經(jīng)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆糯?，其用意和效果與考慮動(dòng)力放大比值系數(shù)是類似的。如有可能，規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜也可以在其他周期段進(jìn)行適當(dāng)放大或調(diào)整，從而修正地震影響系數(shù)α?？紤]動(dòng)力放大比值系數(shù)后的規(guī)范反應(yīng)譜將具有更合理的力學(xué)統(tǒng)計(jì)意義和安全性。考慮不同的β譜，通過利用振型分解反應(yīng)譜法和隨機(jī)振動(dòng)方法求解算例結(jié)構(gòu)的反應(yīng)并進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了廣義β譜的準(zhǔn)確性、適用性和保守性。