尺度疊加高斯相關(guān)模型在GRAPES-RAFS 中的應(yīng)用*

莊照榮 李興良

ZHUANG Zhaorong LI Xingliang

1. 國家氣象中心，北京，100081

2. 中國氣象局?jǐn)?shù)值預(yù)報(bào)中心，北京，100081

1. National Meteorological Centre，Beijing 100081，China

2. Numerical Weather Prediction Center of CMA，Beijing 100081，China

1 引 言

隨著模式分辨率的提高，區(qū)域同化系統(tǒng)需要具有更精細(xì)的中小尺度分析能力，既需要使用包含更豐富的局地小尺度信息的高時(shí)、空分辨率的觀測(cè)資料，例如雷達(dá)觀測(cè)，又需要分析框架的背景誤差協(xié)方差能含有中小尺度特征。變分分析框架的中小尺度分析能力和背景誤差協(xié)方差的空間相關(guān)有關(guān)。觀測(cè)信息在格點(diǎn)空間的傳播是通過背景誤差空間相關(guān)關(guān)系傳遞的，也就是說背景誤差空間相關(guān)決定著不同尺度上的分析增量分布。

在變分同化系統(tǒng)中使用的背景場(chǎng)誤差協(xié)方差是高度模型化的，這不僅使同化方案易于實(shí)施，也是為了保持背景場(chǎng)誤差協(xié)方差矩陣的正定性，使極小化過程易收斂。在實(shí)際運(yùn)用中，背景誤差水平相關(guān)常用高斯（Gauss）和二階自回歸（soar）函數(shù)來近似，通過遞歸濾波來實(shí)現(xiàn)相關(guān)矩陣和向量的乘積（Vandenberghe，et al，1999；薛 紀(jì) 善 等，2008）。Purser 等（ 2003a） 介 紹 了 三 維 變 分 同 化 系 統(tǒng)（3DVar）中應(yīng)用不同階的遞歸濾波技術(shù)實(shí)現(xiàn)高斯相關(guān)模型對(duì)背景誤差水平相關(guān)的描述。在區(qū)域GRAPES（Global/Regional Assimilation and Prediction System）的三維變分同化系統(tǒng)（GRAPES-3DVar）中也采用高斯相關(guān)（薛紀(jì)善等，2008；莊照榮等，2006，2019）。研究（王金成等，2014）表明，高斯相關(guān)模型應(yīng)用于3DVar 會(huì)造成不符合實(shí)際的較大風(fēng)場(chǎng)負(fù)相關(guān)，導(dǎo)致不合理的風(fēng)場(chǎng)分析增量。二階自回歸型相關(guān)函數(shù)是Thiebaux（1976）為氣候背景場(chǎng)構(gòu)造的相關(guān)模型，在全球GRAPES-3DVar 中也主要采用二階自回歸函數(shù)描述背景誤差水平相關(guān)（王金成等，2014）。

相關(guān)研究（Vandenberghe，et al，1999）指出，高斯相關(guān)函數(shù)在小尺度上的功率譜不足，對(duì)小尺度作用不大。比較區(qū)域GRAPES-3DVar 的分析增量與同樣背景場(chǎng)下的T639 模式的分析增量，在高斯相關(guān)模型下GRAPES 風(fēng)場(chǎng)分析增量的譜密度在中小尺度段下降較快，說明在動(dòng)力場(chǎng)上中小尺度部分的GRAPES 分析還不夠精細(xì)（莊照榮等，2018）。Purser 等（2003b）構(gòu)造出不同尺度疊加的高斯函數(shù)來代表背景誤差水平相關(guān)模型，這種模型比單一高斯模型能構(gòu)建更有益、多樣化的協(xié)方差形狀，而且這種模型也更有利于控制相關(guān)模型拉普拉斯算子的旁瓣峰值。

何光鑫等（2011）在GRAPES-3DVar 中采用尺度疊加高斯相關(guān)模型，通過四階遞歸濾波方式在保持大尺度信息的基礎(chǔ)上獲得一些中小尺度的信息。吳洋等（2018）也采用多特征尺度的遞歸濾波器在分析和預(yù)報(bào)中獲得了更多的α 中尺度信息。雖然他們的研究在個(gè)例試驗(yàn)中增加了分析增量的中小尺度信息，但是對(duì)于不同相關(guān)模型如何影響分析增量的不同尺度信息，以及控制變量的相關(guān)模型結(jié)構(gòu)如何影響分析風(fēng)場(chǎng)都沒有明確結(jié)論。因而文中針對(duì)背景誤差水平相關(guān)模型進(jìn)行研究，通過改進(jìn)尺度疊加高斯相關(guān)模型來增加分析的中小尺度信息和減小風(fēng)場(chǎng)分析的偏差，同時(shí)提高區(qū)域分析和預(yù)報(bào)的質(zhì)量。

2 背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)

背景誤差水平相關(guān)描述背景誤差在水平空間兩點(diǎn)的相關(guān)程度，背景誤差水平相關(guān)決定著觀測(cè)信息傳播到格點(diǎn)后的分析增量結(jié)構(gòu)，以及觀測(cè)信息在格點(diǎn)空間傳播的遠(yuǎn)近。在區(qū)域GRAPES-3DVar 中背景誤差水平相關(guān)采用高斯模型來描述，并用遞歸濾波方案來實(shí)現(xiàn)觀測(cè)信息在格點(diǎn)空間的傳播。通過美國國家氣象中心（NMC，National Meteorological Center）方法統(tǒng)計(jì)背景誤差水平相關(guān)的結(jié)構(gòu)，分析不同相關(guān)模型的性質(zhì)和在3DVar 中應(yīng)用時(shí)不同動(dòng)力場(chǎng)變量間的相關(guān)關(guān)系。

2.1 統(tǒng)計(jì)的水平相關(guān)結(jié)構(gòu)

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來自GRAPES 區(qū)域中尺度數(shù)值模式的預(yù)報(bào)產(chǎn)品，模式水平分辨率為3 km，垂直分為51 層，區(qū) 域 為（17°—50°N，102°—135°E）。采 用2018 年6 月2 日—8 月31 日180 個(gè)預(yù)報(bào)樣本（同一時(shí)刻24 h 與12 h 的預(yù)報(bào)場(chǎng)差別）來統(tǒng)計(jì)背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)。區(qū)域中心點(diǎn)（33.5 °N，118.5 °E）與其他格點(diǎn)的背景誤差水平相關(guān)系數(shù)分布如圖1 所示。

圖1 第30 層中心點(diǎn)與其他格點(diǎn)的背景誤差水平相關(guān)系數(shù) （a. 流函數(shù)，b. 非平衡勢(shì)函數(shù)，c. 非平衡地面氣壓，d. 非平衡溫度，e. u 風(fēng)場(chǎng)，f.v 風(fēng)場(chǎng)，g. 比濕，h. 第1 層u 風(fēng)場(chǎng)，i. 第1 層v 風(fēng)場(chǎng)）Fig. 1 Horizontal correlation coefficients for statistical samples on model level 30 （a. stream function，b. unbalanced velocity potential，c. unbalanced surface pressure，d. unbalanced temperature，e. u-component，f. v-component，g. specific humidity，h. u-component on mode level 1，i. v-component on model level 1）

從圖1 可以看出，流函數(shù)與非平衡勢(shì)函數(shù)的背景誤差水平相關(guān)更接近各向同性，并且水平相關(guān)尺度更大，其中非平衡勢(shì)函數(shù)的背景誤差水平相關(guān)在東西方向比南北方向傳播得更遠(yuǎn)（圖1a、b）。由于流函數(shù)和非平衡勢(shì)函數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為風(fēng)場(chǎng)的診斷導(dǎo)出量，區(qū)域邊界的計(jì)算不準(zhǔn)確造成在區(qū)域邊界處的相關(guān)系數(shù)基本為負(fù)。非平衡地面氣壓的水平相關(guān)系數(shù)和地形有關(guān)，呈現(xiàn)非各向同性，水平相關(guān)尺度明顯小于流函數(shù)與非平衡勢(shì)函數(shù)（圖1c）。非平衡溫度、比濕和風(fēng)場(chǎng)的背景誤差水平相關(guān)尺度較小，其中比濕更接近各向同性分布（圖1g），非平衡溫度和u 風(fēng)場(chǎng)在東西方向的相關(guān)明顯高于南北方向（圖1d、e），同時(shí)也可以看出u 風(fēng)場(chǎng)在遠(yuǎn)離中心點(diǎn)南北兩側(cè)都存在明顯負(fù)相關(guān)。對(duì)于高層v 風(fēng)場(chǎng)在遠(yuǎn)離中心點(diǎn)東西兩側(cè)也存在負(fù)相關(guān)（圖1f）。從第1 層u 風(fēng)場(chǎng)的相關(guān)可以看出（圖1h），最大相關(guān)尺度的軸線為東南—西北向，在軸線兩側(cè)遠(yuǎn)處有明顯的負(fù)相關(guān)；而第1 層v 風(fēng)場(chǎng)的最大相關(guān)尺度的軸線為西南—東北向（圖1i），在軸線兩側(cè)遠(yuǎn)處也有明顯的負(fù)相關(guān)。風(fēng)場(chǎng)的背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)與風(fēng)壓場(chǎng)關(guān)系有關(guān)，例如北半球西風(fēng)觀測(cè)會(huì)造成西風(fēng)以北氣旋，以南反氣旋，因而觀測(cè)西風(fēng)較遠(yuǎn)處兩側(cè)會(huì)有反向的東風(fēng)（背景誤差水平相關(guān)就為負(fù)相關(guān)）。由于近地層的地面摩擦力的作用，北半球西風(fēng)觀測(cè)會(huì)向右偏，因而低層u 風(fēng)場(chǎng)的背景誤差水平相關(guān)尺度在東南—西北向最大，負(fù)相關(guān)也在最大相關(guān)尺度軸線的兩側(cè)，對(duì)于v 風(fēng)場(chǎng)也是如此，低層大氣風(fēng)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)相關(guān)結(jié)構(gòu)結(jié)果與Gustafsson 等（2001，圖9）給出的風(fēng)場(chǎng)相關(guān)結(jié)構(gòu)相似。

為了研究各變量的水平相關(guān)隨高度的變化，統(tǒng)計(jì)區(qū)域（30°—40°N，115°—125°E）內(nèi)所有格點(diǎn)與其他格點(diǎn)的平均水平相關(guān)系數(shù)隨距離和高度的變化（圖2）。

從統(tǒng)計(jì)的u 風(fēng)場(chǎng)相關(guān)（圖2a）可以看出，不同高度u 風(fēng)場(chǎng)在X 方向的相關(guān)尺度都比在Y 方向的大，觀測(cè)在X 方向會(huì)傳播的更遠(yuǎn)，同時(shí)u 風(fēng)場(chǎng)在X 方向沒有負(fù)相關(guān)，而在Y 方向的中層存在小于0.1 的負(fù)相關(guān)。不同高度的v 風(fēng)場(chǎng)在X 和Y 方向的水平相關(guān)尺度也略有不同（圖2b），其中v 風(fēng)場(chǎng)從低層到中高層X 方向存在小于0.1 的負(fù)相關(guān)，在Y 方向沒有負(fù)相關(guān)。與圖1 結(jié)論一致，在自由大氣風(fēng)壓場(chǎng)以地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系為主，因而造成風(fēng)場(chǎng)在X 和Y 方向的水平相關(guān)結(jié)構(gòu)不同。從圖2c、d 可以看出，比濕和非平衡溫度的相關(guān)系數(shù)在X 方向的相關(guān)尺度都略比Y 方向大，而且這兩個(gè)變量在X 和Y 方向基本沒有負(fù)相關(guān)。從圖2 也可以看出濕度場(chǎng)在平流層水平相關(guān)尺度明顯大于模式的中低層，這是由于在平流層水汽很少，濕度接近于0，對(duì)于穩(wěn)定少變的變量相關(guān)尺度較大，與冬季干冷天氣狀態(tài)下濕度的水平相關(guān)尺度比夏季大很多的結(jié)論相似（莊照榮等，2019）。

圖2 各變量在X （a1—d1） 與Y 方向 （a2—d2） 水平相關(guān)系數(shù) （色階） 隨距離 （單位：100 km） 和高度 （模式層） 的變化（a. u 風(fēng)場(chǎng)，b. v 風(fēng)場(chǎng)，c. 比濕，d. 非平衡溫度）Fig. 2 Horizontal correlations （shaded） in X direction （a1—d1） and Y direction （a2—d2） for statistical samples（a. u-component，b. v-component，c. specific humidity，d. unbalanced temperature）

從圖1 和圖2 也可以看出，流函數(shù)、非平衡勢(shì)函數(shù)和地面氣壓的水平相關(guān)尺度較大，為大尺度變量，而非平衡溫度、比濕和u/v 風(fēng)場(chǎng)的水平尺度較小，為較小尺度變量，它們的背景誤差水平相關(guān)系數(shù)分布決定著觀測(cè)資料對(duì)分析增量結(jié)構(gòu)的影響。

2.2 相關(guān)模型的性質(zhì)

從2.1 節(jié)可知，變量中心點(diǎn)和其他格點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)雖然基本為各向異性，但區(qū)域平均下各變量X 和Y 方向相關(guān)系數(shù)基本是對(duì)稱的。在3DVar 分析中背景誤差協(xié)方差為靜止、模型化的結(jié)構(gòu)，其中背景誤差水平相關(guān)關(guān)系假定為各向同性的，可用相關(guān)模型來描述。在GRAPES-3DVar 區(qū)域分析中，用高斯函數(shù) G (r)描述水平相關(guān)關(guān)系。

式中，r 為兩點(diǎn)間的距離， L為水平相關(guān)尺度。由于高斯相關(guān)模型會(huì)造成分析的中小尺度信息不足，如果采用多種尺度疊加的高斯相關(guān)模型會(huì)增加中小尺度信息，尺度疊加的高斯函數(shù)為

式中， R(r)為 水平相關(guān)尺度（ L） 從 l1到 lN的N 種不同尺度的高斯函數(shù)疊加。高斯函數(shù)與尺度疊加高斯函數(shù)的拉普拉斯算子為

高斯函數(shù)與尺度疊加高斯函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，同時(shí)利用傅里葉變換的線性性質(zhì)，它們的譜響應(yīng)函數(shù)分別為

式中， k為頻率。從式（5）、（6）可知，高斯函數(shù)和尺度疊加高斯函數(shù)的譜響應(yīng)函數(shù)隨 kL（頻率和相關(guān)尺度的乘積）而變化。再利用傅里葉變換的微分性質(zhì)， F[f(n)(r)]=(ik)nF[f(r)]，則高斯函數(shù)與尺度疊加高斯函數(shù)拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)分別為

若高斯模型的水平相關(guān)尺度為280 km，尺度疊加的高斯函數(shù)分別采用180、280、380 km 三種尺度疊加而成，280 km 為尺度疊加高斯函數(shù)的平均尺度，則從這兩種相關(guān)函數(shù)的空間分布及其歸一化的負(fù)拉普拉斯算子以及它們的譜響應(yīng)函數(shù)（圖3）可以看出，當(dāng)進(jìn)行不同尺度疊加后，尺度疊加的高斯相關(guān)函數(shù)可以基本保持單一相關(guān)尺度280 km 的高斯函數(shù)分布（圖3a），而且尺度疊加高斯函數(shù)歸一化的負(fù)拉普拉斯算子在近距離也與單一高斯函數(shù)歸一化的負(fù)拉普拉斯相當(dāng)，但尺度疊加的高斯函數(shù)負(fù)拉普拉斯的旁瓣峰值（?0.298）明顯低于高斯函數(shù)的值（?0.446）（圖3b）。如果采用更多的高斯函數(shù)組合，疊加效應(yīng)的優(yōu)勢(shì)更能體現(xiàn)。從圖3c 譜響應(yīng)函數(shù)可以看出，尺度疊加的高斯譜響應(yīng)函數(shù)在長(zhǎng)波大尺度部分能與單一的高斯函數(shù)功率譜相當(dāng)，在中小尺度上功率譜比單一高斯函數(shù)的功率譜增加很多。對(duì)于尺度疊加高斯函數(shù)的拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)也是同樣的結(jié)論（圖3d）。

圖3 相關(guān)函數(shù) （a） 及其歸一化的負(fù)拉普拉斯算子 （b），相關(guān)函數(shù)的譜響應(yīng)函數(shù) （c） 及其拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù) （d）Fig. 3 Correlation function （a） and its normalized negative Laplacian （b），spectral response function of correlation function （c） and its Laplacian （d）

2.3 相關(guān)模型在3DVar 中的應(yīng)用

在GRAPES-RAFS 系統(tǒng)中采用三維變分進(jìn)行同化分析，以求控制變量的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小時(shí)的分析場(chǎng)（薛紀(jì)善等，2008，2012）

式中，w 為控制變量，H 是把大氣狀態(tài)投影到觀測(cè)空間的線性觀測(cè)算子，P 是變量間不相關(guān)的分析變量（δψ、δχu、δ(T,ps)u、δq ） 到模式變量（δua、δva、δπa、δq） 的平衡變換。 d=H(xb)?y為 新息向量， xb為背景場(chǎng)， y為 觀測(cè)。 Σu是由格點(diǎn)上均方根誤差構(gòu)成的對(duì)角矩陣，矩陣 U是相關(guān)系數(shù)矩陣的平方根矩陣，有

式中， V 為正交垂直模， S 為垂直模的方差向量， R為背景誤差水平相關(guān)矩陣。背景誤差水平相關(guān)矩陣與某個(gè)向量的乘積可用遞歸濾波來逼近（薛紀(jì)善等，2008）

式中， RF為 一次向前一次向后的遞歸濾波， R可以通過 N次向前/向后的遞歸濾波來逼近。在GRAPES-3DVar 系統(tǒng)中，分析變量（ δψ 、 δχu、 δ(T,ps)u、 δq）的背景誤差協(xié)方差采用NMC 方法統(tǒng)計(jì)，其中分析變量的水平相關(guān)模型采用高斯函數(shù)來描述，背景誤差協(xié)方差水平變化部分采用一階遞歸濾波算法，濾波迭代次數(shù)為10。

對(duì)于尺度疊加的高斯相關(guān)模型，利用傅里葉變換線性性質(zhì)，可采用多次不同尺度的遞歸濾波運(yùn)算疊加來實(shí)現(xiàn)。

目前GRAPES-3DVar 中分析變量ψ 、χu、( T,ps)u、q背景誤差水平相關(guān)模型為高斯函數(shù)，則分析變量的背景誤差協(xié)方差可描述為

式中，變量 X 可為 ψ 、 χu、 (T,ps)u、 q，表示背景誤差方差， G(r,LX)和 LX分 別為變量 X的相關(guān)函數(shù)和水平相關(guān)尺度，為 兩 點(diǎn) i,j之 間 的 距 離， ψ、χu控制變量之間的協(xié)方差為

式中， H(r,L)描 述 ψ 和 χu變量的水平相關(guān)系數(shù)。對(duì)于模式變量u、 v和分析變量有以下關(guān)系

根據(jù)Daley（1985）以及Hollingsworth 等（1986），則 u風(fēng)場(chǎng)的協(xié)方差為

同樣， v 風(fēng) 場(chǎng)和u、 v之間的協(xié)方差可表示為

其中

從式（15）—（17）可知，風(fēng)場(chǎng)的背景誤差協(xié)方差由流函數(shù)、勢(shì)函數(shù)及它們間的相關(guān)系數(shù)函數(shù)決定。因而用相關(guān)函數(shù)描述分析變量背景誤差的水平相關(guān)關(guān)系時(shí)，不僅要求相關(guān)函數(shù)本身能匹配實(shí)際分析變量的水平相關(guān)，相關(guān)函數(shù)的拉普拉斯算子也應(yīng)該有合理的結(jié)構(gòu)來描述風(fēng)場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系。

當(dāng)采用高斯函數(shù)描述流函數(shù)與非平衡勢(shì)函數(shù)的背景誤差的水平相關(guān)時(shí)，推導(dǎo)出風(fēng)場(chǎng)背景誤差相關(guān)關(guān)系與高斯函數(shù)的負(fù)拉普拉斯算子的結(jié)構(gòu)有關(guān)（見式（15）、（16）、（17）），而高斯函數(shù)負(fù)拉普拉斯算子的旁瓣值可超過?0.4（圖3b），造成風(fēng)場(chǎng)負(fù)相關(guān)較大，因而單點(diǎn)風(fēng)觀測(cè)的負(fù)增量也比較大（見張華等（2004）的圖4b 與圖5c 以及莊世宇等（2005）圖6）。而采用尺度疊加高斯函數(shù)描述背景誤差水平相關(guān)時(shí)，推導(dǎo)出風(fēng)場(chǎng)背景誤差負(fù)相關(guān)可大幅度變?nèi)酰▓D3b），并可通過調(diào)節(jié)不同尺度參數(shù)使描述的風(fēng)場(chǎng)背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)更符合圖1 和圖2 統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，因而會(huì)緩解風(fēng)場(chǎng)較大負(fù)相關(guān)造成的不合理分析增量問題。

3 GRAPES-RAFS 系統(tǒng)及試驗(yàn)設(shè)置

3.1 GRAPES-RAFS 系統(tǒng)

GRAPES 區(qū)域快速分析預(yù)報(bào)循環(huán)系統(tǒng)（GRAPES-RAFS）是基于區(qū)域GRAPES 模式面三維變分分析（GRAPES-3DVar）（馬旭林等，2009；薛紀(jì)善等，2008，2012）和區(qū)域中尺度數(shù)值預(yù)報(bào)模式（陳德輝等，2006；Chen，et al，2008；Zhang，et al，2008）建立的間歇快速分析預(yù)報(bào)循環(huán)系統(tǒng)（徐枝芳等，2013；莊照榮等，2020）。其中GRAPES-3DVar中控制變量為流函數(shù)、非平衡勢(shì)函數(shù)、非平衡地面氣壓、非平衡溫度和比濕，背景誤差協(xié)方差采用美國國家氣象中心方法（NMC）統(tǒng)計(jì)得到，風(fēng)壓場(chǎng)的平衡關(guān)系依賴線性統(tǒng)計(jì)回歸關(guān)系（王瑞春等，2012），誤差方差為隨高度和緯度變化的二維場(chǎng)，垂直相關(guān)采用NMC 方法統(tǒng)計(jì)的垂直相關(guān)系數(shù)，水平相關(guān)關(guān)系用高斯函數(shù)來描述，水平相關(guān)尺度為隨高度變化的統(tǒng)計(jì)廓線（莊照榮等，2019）。

3.2 試驗(yàn)設(shè)置

采用GRAPES-RAFS 進(jìn)行間歇分析預(yù)報(bào)循環(huán)試驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)段為2018 年6 月11 日00 時(shí)—28 日12 時(shí)（世界時(shí)，下同），分別在00 和12 時(shí)開始每隔3 h 進(jìn)行一次分析的12 h 循環(huán)，即到12/00 時(shí)終止。在起始00/12 時(shí)的冷啟動(dòng)采用NCEP 全球模式6 h 預(yù)報(bào)的降尺度場(chǎng)作為背景場(chǎng)，NCEP 模式產(chǎn)品分辨率為50 km，垂直分層從1000 hPa 到10 hPa共26 層。與業(yè)務(wù)設(shè)置一樣，為了同化更多的觀測(cè)資料，冷啟動(dòng)分析時(shí)間窗為6 h，正負(fù)3 h 的觀測(cè)資料都作為冷啟動(dòng)時(shí)刻的觀測(cè)資料使用，隨后每3 h分析采用的背景場(chǎng)為上一時(shí)刻區(qū)域模式的3 h 預(yù)報(bào)；熱啟動(dòng)分析時(shí)間窗為3 h，正負(fù)1.5 h 的觀測(cè)資料進(jìn)入分析系統(tǒng)，分析后長(zhǎng)時(shí)間預(yù)報(bào)時(shí)效為24 h。三維變分同化的觀測(cè)資料包括探空、地面報(bào)、船舶報(bào)、飛機(jī)報(bào)、云導(dǎo)風(fēng)、雷達(dá)反演VAD 風(fēng)場(chǎng)和GPS反演的可降水量。云分析使用了風(fēng)云2G 的亮溫和云總量，以及雷達(dá)反射率資料。試驗(yàn)范圍為中國東部區(qū)域（17°—50°N，102°—135°E），模式水平分辨率為3 km，垂直為51 層，模式頂達(dá)33 km。試驗(yàn)中采用非絕熱數(shù)字濾波方案來濾除多次循環(huán)中初始場(chǎng)累積的虛假重力波噪音，只在熱啟動(dòng)時(shí)采用數(shù)字濾波，并且數(shù)字濾波周期為2 h，即絕熱向后積分1 h，然后進(jìn)行向前非絕熱積分2 h，對(duì)向前積分的2 h內(nèi)的預(yù)報(bào)場(chǎng)進(jìn)行時(shí)間上的濾波獲得初始場(chǎng)。

對(duì)照試驗(yàn)（Ctrl）在以上設(shè)置的基礎(chǔ)上采用單一的高斯相關(guān)函數(shù)進(jìn)行分析，其中采用隨高度變化的水平相關(guān)尺度L 如圖4 所示。改進(jìn)試驗(yàn)（SupG）在以上設(shè)置的基礎(chǔ)上采用3 種尺度疊加的高斯相關(guān)函數(shù)，即N=3，3 種水平相關(guān)尺度分別為 (L?100 km)、L、L+100 km。

圖4 流函數(shù)、非平衡勢(shì)函數(shù)、非平衡溫度和比濕的水平相關(guān)尺度隨高度的變化Fig. 4 Horizontal correlation length changes with height for stream function，unbalanced velocity potential，unbalanced temperature and specific humidity

兩組試驗(yàn)采用同樣的GRAPES 區(qū)域模式設(shè)置，時(shí)間步長(zhǎng)30 s，輻射方案采用RRTM 長(zhǎng)波方案和Dudhia 短波方案，沒有采用積云對(duì)流參數(shù)化方案，微物理過程采用WSM6，陸面過程采用NOAH，近地面層采用Monin-Obukhov 方案，邊界層采用MRF 方案。

4 個(gè)例分析

為了更細(xì)致分析尺度疊加高斯相關(guān)模型對(duì)分析預(yù)報(bào)的影響，在批量試驗(yàn)中選取2018 年6 月15 日00 時(shí)的實(shí)際觀測(cè)資料分析和預(yù)報(bào)場(chǎng)，分別從分析目標(biāo)函數(shù)、分析增量結(jié)構(gòu)、分析增量功率譜及預(yù)報(bào)的動(dòng)能譜研究相關(guān)模型的影響。

4.1 目標(biāo)函數(shù)影響

三維變分系統(tǒng)中目標(biāo)函數(shù)直接反映分析靠近觀測(cè)資料的程度和收斂情況。從目標(biāo)函數(shù)隨收斂步長(zhǎng)的變化（圖5a）可以看出，采用SupG 方案后，目標(biāo)函數(shù)（J）和觀測(cè)目標(biāo)函數(shù)比對(duì)照試驗(yàn)下降收斂更快。收斂后SupG 試驗(yàn)的目標(biāo)函數(shù)比對(duì)照試驗(yàn)下降15.83%，觀測(cè)目標(biāo)函數(shù)比對(duì)照試驗(yàn)下降23%，背景場(chǎng)目標(biāo)函數(shù)比對(duì)照試驗(yàn)上升72%。以上結(jié)果說明改進(jìn)的尺度疊加高斯相關(guān)模型對(duì)分析系統(tǒng)的收斂性及分析場(chǎng)影響很大，分析場(chǎng)更靠近觀測(cè)。

從背景場(chǎng)各控制變量的目標(biāo)函數(shù)變化（圖5b）可以診斷不同變量觀測(cè)對(duì)分析的修正程度，可以看出，濕度背景目標(biāo)函數(shù)隨收斂步數(shù)上升緩慢，收斂后濕度目標(biāo)函數(shù)遠(yuǎn)小于溫度場(chǎng)和風(fēng)場(chǎng)，這與目前濕度觀測(cè)資料較少，并且為單變量分析有關(guān)。采用尺度疊加高斯相關(guān)模型后，收斂后濕度目標(biāo)函數(shù)有明顯提高，提高幅度達(dá)39%。對(duì)于流函數(shù)和非平衡勢(shì)函數(shù)，SupG 試驗(yàn)的背景目標(biāo)函數(shù)隨收斂步數(shù)上升程度遠(yuǎn)大于對(duì)照試驗(yàn)，收斂后流函數(shù)目標(biāo)函數(shù)提高幅度達(dá)113%，非平衡勢(shì)函數(shù)達(dá)98%。SupG 試驗(yàn)的溫度場(chǎng)目標(biāo)函數(shù)也增幅明顯，收斂后比對(duì)照試驗(yàn)提高44%。

4.2 分析增量結(jié)構(gòu)

比較對(duì)照試驗(yàn)（圖6）與SupG 試驗(yàn)（圖7）的分析增量可以看出，對(duì)照試驗(yàn)的分析增量存在明顯的幾個(gè)大值中心，分析增量分布比SupG 試驗(yàn)更平滑，基本為大尺度分析增量。而SupG 試驗(yàn)的分析增量存在更多的大值中心和更精細(xì)的增量結(jié)構(gòu)，尤其是緯向風(fēng)和經(jīng)向風(fēng)分析增量，與對(duì)照試驗(yàn)相差很大。

4.3 分析增量功率譜

從相關(guān)模型的性質(zhì)可知，尺度疊加高斯模型比單一高斯模型在中小尺度部分上有更多的信息，從兩組試驗(yàn)分析增量的功率譜差值（圖8）可以看出，SupG 試驗(yàn)的無量綱氣壓和風(fēng)場(chǎng)分析增量功率譜在2000 km 以上的大尺度部分功率譜小于對(duì)照試驗(yàn)，在2000 km 以下尺度，SupG 試驗(yàn)的功率譜在各高度層上都顯著大于對(duì)照試驗(yàn)。同樣，在2000 km 以上SupG 試驗(yàn)的濕度分析增量大尺度部分功率譜也小于對(duì)照試驗(yàn)；在中小尺度部分，濕度分析增量在模式中低層的功率譜也明顯高于對(duì)照試驗(yàn)。

4.4 預(yù)報(bào)的動(dòng)能譜

從不同預(yù)報(bào)時(shí)效的動(dòng)能譜變化（圖9）也可以看出，在100 km 以下尺度部分，SupG 試驗(yàn)的分析動(dòng)能譜明顯高于對(duì)照試驗(yàn)。隨后1—2 h 預(yù)報(bào)過程中，模式產(chǎn)生更多中小尺度信息，兩組試驗(yàn)的預(yù)報(bào)動(dòng)能譜向觀測(cè)譜線靠近，但二者相差不大。在3—6 h 預(yù)報(bào)過程中，模式預(yù)報(bào)的動(dòng)能譜在高頻部分進(jìn)一步靠近觀測(cè)譜線，模式動(dòng)力、熱力調(diào)整也趨于穩(wěn)定，同時(shí)也可以看出中小尺度部分SupG 試驗(yàn)的動(dòng)能譜略微高于對(duì)照試驗(yàn)。

綜上所述，尺度疊加高斯相關(guān)模型加速了目標(biāo)函數(shù)的收斂程度，收斂后的各變量背景目標(biāo)函數(shù)都有明顯增大，特別是動(dòng)力場(chǎng)背景目標(biāo)函數(shù)；而且顯著增加了分析增量的中小尺度信息，在100 km 以內(nèi)，分析動(dòng)能譜明顯增大，前6 h 預(yù)報(bào)動(dòng)能譜也略有增大。

5 批量試驗(yàn)分析

圖5 2018 年6 月15 日00 時(shí)目標(biāo)函數(shù)隨收斂步數(shù)的變化（a. 總目標(biāo)函數(shù)J、背景目標(biāo)函數(shù)Jb 和觀測(cè)目標(biāo)函數(shù)Jo，b. 各控制變量的背景目標(biāo)函數(shù)）Fig. 5 Variations of objective function at 00:00 UTC 15 June 2018（a. Objective function of J，Jb and Jo，b. control variables of Jb）

圖6 對(duì)照試驗(yàn)第10 層分析增量 （a. 無量綱氣壓；b. 比濕，單位：g/kg；c. u 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s；d. v 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s）Fig. 6 Analysis increments of the Ctrl experiment on model level 10（a. non-dimensional pressure; b. specific humidity，unit: g/kg; c. u-component，unit: m/s; d. v-component，unit: m/s）

對(duì)17 天35 組的循環(huán)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，比較快速分析預(yù)報(bào)循環(huán)中熱啟動(dòng)00 與12 時(shí)起報(bào)的分析預(yù)報(bào)與探空觀測(cè)的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差及熱啟動(dòng)00 時(shí)起報(bào)的24 h 預(yù)報(bào)內(nèi)各時(shí)段各量級(jí)降水ETS 評(píng)分和偏差評(píng)分。尺度疊加高斯相關(guān)模型對(duì)地面2 m 氣溫和10 m 風(fēng)的分析場(chǎng)和預(yù)報(bào)影響不大（圖略）。

5.1 高空要素預(yù)報(bào)檢驗(yàn)

對(duì)比熱啟動(dòng)的分析預(yù)報(bào)與00/12 時(shí)探空觀測(cè)的偏差與標(biāo)準(zhǔn)差（圖10）可以看出，對(duì)于u/v 風(fēng)場(chǎng)，在150 hPa 以下SupG 試驗(yàn)的分析標(biāo)準(zhǔn)差比對(duì)照試驗(yàn)下降幅度達(dá)0.5 m/s，對(duì)風(fēng)場(chǎng)的改進(jìn)非常明顯；但是對(duì)風(fēng)場(chǎng)分析偏差兩組試驗(yàn)差別不是很明顯。同樣，對(duì)于溫度和濕度分析，SupG 試驗(yàn)在150 hPa 以下模式中低層改進(jìn)也很明顯，分析標(biāo)準(zhǔn)差都比對(duì)照試驗(yàn)小，但SupG 試驗(yàn)的溫度分析偏差與對(duì)照試驗(yàn)相差不大，對(duì)照試驗(yàn)的濕度分析偏差在200 hPa 附近反而比SupG 試驗(yàn)更靠近“0”線。

對(duì)于3 h 預(yù)報(bào)場(chǎng)，SupG 試驗(yàn)的風(fēng)場(chǎng)標(biāo)準(zhǔn)差在150 hPa 以下略低于對(duì)照試驗(yàn)，兩組試驗(yàn)溫度標(biāo)準(zhǔn)差相差不大，SupG 試驗(yàn)濕度標(biāo)準(zhǔn)差在300 hPa 附近略有減少。

經(jīng)過12 h 預(yù)報(bào)后，尺度疊加相關(guān)模型對(duì)風(fēng)場(chǎng)預(yù)報(bào)還有一定的正貢獻(xiàn)，SupG 試驗(yàn)的風(fēng)場(chǎng)預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)差在100 hPa 以下都略小于對(duì)照試驗(yàn)。而溫度和濕度場(chǎng)12 h 預(yù)報(bào)在兩組試驗(yàn)中的差別不明顯。

5.2 降水預(yù)報(bào)檢驗(yàn)

從2018 年6 月12—28 日熱啟動(dòng)00 時(shí)起報(bào)的對(duì)照試驗(yàn)和改進(jìn)試驗(yàn)平均每6 h 降水預(yù)報(bào)的ETS 評(píng)分（圖11）可以看出，SupG 試驗(yàn)的0—6 h 降水預(yù)報(bào)ETS 評(píng)分在各個(gè)降水量級(jí)都比對(duì)照試驗(yàn)顯著提高，SupG 試驗(yàn)的6—12 h 降水預(yù)報(bào)ETS 評(píng)分在中雨和大雨量級(jí)都明顯高于對(duì)照試驗(yàn)。12—18 h 預(yù)報(bào)時(shí)段，SupG試驗(yàn)在小雨、中雨和暴雨量級(jí)的ETS 評(píng)分明顯比對(duì)照試驗(yàn)高；18—24 h 預(yù)報(bào)時(shí)段，SupG 試驗(yàn)的降水預(yù)報(bào)ETS 評(píng)分在小雨、中雨和大雨量級(jí)顯著高于對(duì)照試驗(yàn)。

圖7 SupG 試驗(yàn)第10 層分析增量（a. 無量綱氣壓；b. 比濕，單位：g/kg；c. u 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s；d. v 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s）Fig. 7 Analysis increments of the SupG experiment on model level 10（a. non-dimensional pressure; b. specific humidity，unit: g/kg; c. u-component，unit: m/s; d. v-component，unit: m/s）

從降水預(yù)報(bào)偏差評(píng)分（圖12）可以看出，0—6 h預(yù)報(bào)時(shí)段，對(duì)于大雨、暴雨和特大暴雨量級(jí)降水，對(duì)照試驗(yàn)虛警嚴(yán)重，SupG 試驗(yàn)虛警現(xiàn)象明顯改善，降水偏差顯著降低。6—12 h 預(yù)報(bào)時(shí)段，兩組試驗(yàn)對(duì)暴雨以下量級(jí)的降水預(yù)報(bào)都存在漏報(bào)，對(duì)特大暴雨都存在虛警，虛警現(xiàn)象SupG 試驗(yàn)有明顯改善，降水預(yù)報(bào)偏差評(píng)分從2.3 下降到1.9。12—18 h 預(yù)報(bào)時(shí)段，除去暴雨量級(jí)SugG 試驗(yàn)降水虛警略嚴(yán)重，其他量級(jí)降水虛警現(xiàn)象比對(duì)照試驗(yàn)均有緩解，SupG 試驗(yàn)的降水偏差更接近于1.0。18—24 h 預(yù)報(bào)時(shí)段，SupG 試驗(yàn)小雨、中雨和暴雨量級(jí)的降水預(yù)報(bào)偏差評(píng)分都比對(duì)照試驗(yàn)更接近于1.0，虛警略有改善，但對(duì)特大暴雨量級(jí)降水，對(duì)照試驗(yàn)存在漏報(bào)，而SupG試驗(yàn)存在虛警。

6 結(jié)論和討論

采用NMC 方法統(tǒng)計(jì)背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)，并且研究高斯模型和尺度疊加高斯模型的特征，依據(jù)統(tǒng)計(jì)的水平相關(guān)結(jié)構(gòu)特征來改進(jìn)水平相關(guān)模型。并且通過多次遞歸濾波方案把尺度疊加高斯模型應(yīng)用于GRAPES-RAFS 系統(tǒng)，進(jìn)行觀測(cè)資料同化和預(yù)報(bào)循環(huán)試驗(yàn)，主要得到以下結(jié)論：

（1）在一維空間尺度，疊加高斯模型與單一高斯模型結(jié)構(gòu)相似，但其負(fù)拉普拉斯算子的旁瓣峰值有明顯減小，并且尺度疊加高斯模型及其拉普拉斯算子的譜響應(yīng)函數(shù)在高頻部分的振幅比單一高斯模型的值有明顯提高。

（2）通過3 個(gè)月東部區(qū)域預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)NMC 方法統(tǒng)計(jì)，風(fēng)場(chǎng)背景誤差負(fù)相關(guān)不到?0.1。在GRAPES-3DVar 中，當(dāng)控制變量為流函數(shù)與非平衡勢(shì)函數(shù)時(shí)，風(fēng)場(chǎng)相關(guān)關(guān)系的描述直接與相關(guān)模型的負(fù)拉普拉斯算子有關(guān)，而單一高斯模型負(fù)拉普拉斯算子旁瓣峰值較大會(huì)造成不合理的風(fēng)場(chǎng)負(fù)相關(guān)。尺度疊加高斯相關(guān)模型負(fù)拉普拉斯算子的旁瓣峰值可以通過不同特征尺度組合進(jìn)行調(diào)節(jié)，因而比單一高斯模型更適合描述風(fēng)場(chǎng)的相關(guān)關(guān)系。

（3）尺度疊加高斯模型在3DVar 中的應(yīng)用加強(qiáng)了觀測(cè)資料對(duì)分析的影響，特別是風(fēng)場(chǎng)觀測(cè)，因而加速了目標(biāo)函數(shù)的收斂，動(dòng)力場(chǎng)的背景目標(biāo)函數(shù)增加100%左右，分析增量的中小尺度信息大幅度增加，中小尺度段分析的動(dòng)能譜明顯增大，前6 h 預(yù)報(bào)的動(dòng)能譜也略有增大。

圖8 SupG 試驗(yàn)與對(duì)照試驗(yàn)的分析增量功率譜差值 （單位：m3/s2） 隨波長(zhǎng)和高度的變化（a. 無量綱氣壓，b. 比濕，c. u 風(fēng)場(chǎng)，d. v 風(fēng)場(chǎng)）Fig. 8 Variations of the power spectrum （unit: m3/s2） of the SupG minus the Ctrl analyses increments（a. non-dimensional pressure，b. specific humidity，c. u-component，d. v-component）

圖9 分析和預(yù)報(bào)場(chǎng)的動(dòng)能譜變化（實(shí)線為SupG 試驗(yàn)，虛線為對(duì)照試驗(yàn)；單位：m3/s2）Fig. 9 Simulated kinetic energy spectra from the analyses and forecasts （solid line：SupG experiment，dished line：Ctrl experiment；unit：m3/s2）

圖10 熱啟動(dòng)00/12 時(shí)的分析預(yù)報(bào)場(chǎng)與探空觀測(cè)的偏差 （a1—d1） 和標(biāo)準(zhǔn)差 （a2—d2） （a. u 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s；b. v 風(fēng)場(chǎng)，單位：m/s；c. 溫度，單位：K；d. 相對(duì)濕度，單位：%）Fig. 10 Biases （a1—d1） and standard deviations （a2—d2） of analyses and forecasts from radiosonde observations at 00:00/12:00 UTC （a. u-component，unit: m/s; b. v-component，unit: m/s; c. temperature，unit: K; d. relative humidity，unit: %）

圖11 各時(shí)段降水預(yù)報(bào)ETS 評(píng)分 （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）Fig. 11 ETS scores of accumulated precipitation forecasts （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）

圖12 各時(shí)段降水預(yù)報(bào)偏差評(píng)分 （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）Fig. 12 Bias scores of accumulated precipitation forecasts （a. 0—6 h，b. 6—12 h，c. 12—18 h，d. 18—24 h）

（4）批量循環(huán)試驗(yàn)的分析預(yù)報(bào)結(jié)果表明，尺度疊加高斯相關(guān)模型的應(yīng)用大幅度降低了熱啟動(dòng)分析的標(biāo)準(zhǔn)差，尤其風(fēng)場(chǎng)分析質(zhì)量提高明顯，同時(shí)3 h和12 h 風(fēng)場(chǎng)預(yù)報(bào)質(zhì)量也略有提高，也顯著提高了前24 h 各量級(jí)降水的ETS 評(píng)分，SupG 試驗(yàn)明顯緩解了對(duì)照試驗(yàn)的虛警現(xiàn)象。

文中依據(jù)統(tǒng)計(jì)的背景誤差水平相關(guān)結(jié)構(gòu)，改進(jìn)了3DVar 中的水平相關(guān)模型。在高分辨率模式系統(tǒng)中，不僅是背景誤差水平相關(guān)，背景誤差均方差、垂直相關(guān)，以及變量之間的相關(guān)關(guān)系都需要重新考慮。背景誤差協(xié)方差中變量之間的相互關(guān)系在以往多有研究，例如區(qū)域GRAPES-3DVar 中最初只考慮了最主要的地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系（張華等，2004；馬旭林等，2009），后來又引入了非線性平衡方案描述強(qiáng)渦旋系統(tǒng)中的風(fēng)壓場(chǎng)平衡關(guān)系（Zhuang，et al，2006）。在全球GRAPES-3DVar 中通過統(tǒng)計(jì)回歸系數(shù)來描述流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)的關(guān)系，初步補(bǔ)充了原方案中沒有旋轉(zhuǎn)風(fēng)和散度風(fēng)之間的平衡關(guān)系（王瑞春等，2012）。而在高分辨率系統(tǒng)中，變量之間的平衡關(guān)系需要更關(guān)注中小尺度的平衡關(guān)系。從文中統(tǒng)計(jì)的風(fēng)場(chǎng)水平相關(guān)結(jié)構(gòu)也可以看出，由于受地面摩擦力影響，大氣邊界層風(fēng)場(chǎng)水平相關(guān)結(jié)構(gòu)是傾斜的，變量之間的平衡關(guān)系要考慮摩擦力作用，同時(shí)也要更細(xì)致考慮動(dòng)力場(chǎng)之間的旋轉(zhuǎn)風(fēng)和散度風(fēng)的關(guān)系。

文中對(duì)地面要素預(yù)報(bào)的檢驗(yàn)結(jié)果表明，尺度疊加高斯相關(guān)模型改進(jìn)對(duì)地面要素分析和預(yù)報(bào)影響不大。這也說明大氣邊界層受復(fù)雜下墊面影響，在動(dòng)力和熱力的共同作用下，大氣邊界層的地面要素尺度小，變化大，比自由大氣中的高空要素場(chǎng)更難準(zhǔn)確分析和預(yù)報(bào)。只改進(jìn)背景誤差相關(guān)模型很難對(duì)近地面要素分析起作用，還需要改進(jìn)大氣邊界層的同化框架，以及改進(jìn)地面觀測(cè)資料的同化算法。

致 謝：感謝數(shù)值預(yù)報(bào)中心王瑞春博士提供的區(qū)域模式預(yù)報(bào)統(tǒng)計(jì)樣本； 感謝數(shù)值預(yù)報(bào)中心王皓博士提供的高空要素預(yù)報(bào)場(chǎng)偏差和標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)程序。