水下FG圓柱殼臨界載荷和固有頻率預(yù)測(cè)方法

李 戎，楊 萌，劉林霞，梁 斌

(河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023)

0 引言

作為新型可設(shè)計(jì)性非均勻復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，功能梯度材料圓柱殼(以下簡(jiǎn)稱FG圓柱殼)在船舶和海洋工程中有著廣泛的應(yīng)用，其力學(xué)行為已經(jīng)成為復(fù)合材料力學(xué)的重要研究方向[1]。由于功能梯度材料性質(zhì)在厚度方向的連續(xù)性變化導(dǎo)致功能梯度材料結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出與均勻材料結(jié)構(gòu)不同的特性[2-3], 在殼體幾何參數(shù)、載荷工況以及邊界條件等相同的情況下，F(xiàn)G圓柱殼的振動(dòng)、屈曲等宏觀力學(xué)行為的分析要比相應(yīng)各向同性圓柱殼更為復(fù)雜。

近年來(lái)，雖然已經(jīng)有研究涉及水下圓柱殼這一領(lǐng)域，但是這些研究主要關(guān)注水下各向同性圓柱殼的宏觀力學(xué)行為[4-9]，討論各向同性圓柱殼的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性，分析各向同性圓柱殼固有頻率和屈曲臨界載荷的影響因素[4-6]，以及針對(duì)各向同性圓柱殼進(jìn)行臨界載荷預(yù)測(cè)[7-9]。關(guān)于非均勻材料圓柱殼方面的研究則主要集中在FG圓柱殼的振動(dòng)特性和穩(wěn)定性[1,10]以及對(duì)傳統(tǒng)復(fù)合材料和夾芯復(fù)合材料圓柱殼的振動(dòng)特性以及屈曲研究上[11-12]，主要討論非均勻材料的特殊性質(zhì)、殼體幾何尺寸、載荷工況、邊界條件等對(duì)非均勻材料圓柱殼力學(xué)行為的影響，而針對(duì)水下FG圓柱殼的振動(dòng)頻率和屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)方法的研究還十分有限。

為此，筆者基于水下FG圓柱殼固有頻率和靜水壓力之間的關(guān)系，提出了一種適用于水下FG圓柱殼的屈曲臨界載荷和固有頻率預(yù)測(cè)方法。預(yù)測(cè)時(shí)，最少需3組固有頻率數(shù)據(jù)便可在保證精確度的基礎(chǔ)上快速建立靜水壓力下FG圓柱殼固有頻率趨勢(shì)線方程，進(jìn)而得到水下FG圓柱殼屈曲臨界載荷和固有頻率的預(yù)測(cè)值。通過(guò)多組算例對(duì)比分析，驗(yàn)證了預(yù)測(cè)方法的可行性和準(zhǔn)確性。

1 FG圓柱殼的力學(xué)模型

假定FG圓柱殼力學(xué)模型如圖1所示，殼體外表面材料為金屬、內(nèi)表面材料為陶瓷，平均半徑為R，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，壁厚為h。將正交坐標(biāo)系(x,θ,z)建立在殼體中面上，其中x、θ和z分別表示殼體的軸向、周向和徑向；u、v和w表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。

圖1 FG圓柱殼模型Figure 1 Geometry of a FG cylindrical shell

由于功能梯度材料的結(jié)構(gòu)和組成沿厚度方向呈梯度連續(xù)變化，其材料的力學(xué)性能由組分材料的體積分?jǐn)?shù)比所控制。對(duì)于具有均勻厚度h的功能梯度圓柱殼，其體積比可表示為[3]：

(1)

式中：Vi和Vo分別為功能梯度材料內(nèi)外表面材料的體積百分比；N為非負(fù)實(shí)數(shù)冪指數(shù)(0≤N<+∞)，當(dāng)N=0時(shí)，功能梯度材料退化為各向同性材料。

本文中，F(xiàn)G圓柱殼內(nèi)外表面材料參數(shù)分別為彈性模量Ei、Eo,泊松比μi、μo，質(zhì)量密度ρi、ρo，則FG圓柱殼沿殼體厚度方向等效的彈性模量E、泊松比μ和質(zhì)量密度ρ如下所示：

(2)

2 理論推導(dǎo)

根據(jù)Flügge[13]理論，靜水壓力下圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)成如下形式：

(3)

式中：ψ為聲壓；T1和T2分別為靜水壓力對(duì)殼體軸向和環(huán)向的影響因子，T1=R(1-μ2)Po/(2Eh)，T2=R(1-μ2)Po/(Eh)；Po為靜水壓力；K=h2/(12R2)。

假設(shè)流體介質(zhì)為理想流體，則圓柱殼外部聲場(chǎng)滿足柱坐標(biāo)系(x,θ,r)下的Helmholtz方程[14]：

(4)

式中：t為時(shí)間；CF為流體聲速；x和θ與殼體對(duì)應(yīng)坐標(biāo)一致；r坐標(biāo)沿殼體z軸方向選取。

在殼體外壁與流體的接觸面上，流體徑向位移與殼體徑向位移必須相等。該耦合條件表達(dá)式為：

(5)

由式(4)、(5)可得到由于流體聲場(chǎng)作用產(chǎn)生的流體載荷項(xiàng)：

(6)

圓柱殼方程的位移形態(tài)可以用含有軸向波數(shù)km(與邊界條件有關(guān)[15])和環(huán)向波數(shù)n的波傳播形式表示：

(7)

式中：Um、Vm、Wm分別表示x、θ和r方向的波幅；ω為固有角頻率。

將式(7)代入式(3)，結(jié)合方程(6)得到水下FG圓柱殼矩陣形式耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

(8)

求解方程(8)，可以得到：

P1(ω)-P2(ω)FL=0。

(9)

式中，P1(ω)和P2(ω)分別為關(guān)于未知數(shù)ω的多項(xiàng)式，固有頻率f=ω/2π，通過(guò)使用牛頓迭代法即可得到給定靜水壓力下FG圓柱殼的固有頻率值。當(dāng)FL=0、Po=0時(shí)，即可還原為真空中FG圓柱殼的固有頻率計(jì)算。

靜水壓力不變情況下，固有頻率隨模態(tài)改變而發(fā)生變化，固有頻率最小值即為基頻。當(dāng)靜水壓力下FG圓柱殼的基頻為0時(shí)，可認(rèn)為此時(shí)的靜水壓力值即為圓柱殼屈曲臨界載荷值[8]。但是，由于水下FG圓柱殼固有頻率計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，合理有效且便于實(shí)際應(yīng)用的屈曲臨界載荷和固有頻率預(yù)測(cè)方法現(xiàn)在還很有限。為此，筆者基于水下FG圓柱殼固有頻率的平方和靜水壓力之間的線性關(guān)系，提出了一種簡(jiǎn)便實(shí)用的水下FG圓柱殼屈曲臨界載荷和固有頻率預(yù)測(cè)方法。

3 算例與討論

3.1 計(jì)算方法的正確性和有效性驗(yàn)證

表1計(jì)算了真空中FG圓柱殼的固有頻率；表2則以水下各向同性圓柱殼作為研究對(duì)象，計(jì)算了不同邊界條件下殼體的屈曲臨界載荷值。通過(guò)與Loy等[3]和Zhu等[9]的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文關(guān)于靜水壓力下FG圓柱殼固有頻率以及屈曲臨界載荷計(jì)算方法的正確性和有效性。

3.2 屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)

本文算例中，F(xiàn)G圓柱殼外表面材料為金屬，內(nèi)表面材料為陶瓷，材料參數(shù)(室溫)見(jiàn)表3[16-17]。

為了能夠?qū)λ翭G圓柱殼進(jìn)行屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)，首先考察了水下FG圓柱殼基頻與靜水壓力之間的關(guān)系，討論了材料組分、殼體幾何尺寸以及邊界條件等對(duì)這兩者關(guān)系的影響(見(jiàn)圖2～6)。計(jì)算結(jié)果顯示，F(xiàn)G圓柱殼基頻與靜水壓力呈非線性關(guān)系，且越接近臨界值(f=0)下降幅度越大，而基頻的平方與靜水壓力卻呈線性關(guān)系。通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，任意模態(tài)固有頻率的平方與靜水壓力均呈線性關(guān)系，驗(yàn)證了水下FG圓柱殼與相應(yīng)均勻材料圓柱殼[7-9]的基頻變化規(guī)律之間呈現(xiàn)很強(qiáng)的相似性這一研究設(shè)想。以上結(jié)果說(shuō)明，水下FG圓柱殼屈曲臨界載荷的預(yù)測(cè)值可以通過(guò)線性擬合方法求得。因此，圖2(b)、圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)、圖6(b)分別給出了采用該方法得到的不同情況下屈曲臨界載荷的預(yù)測(cè)結(jié)果。

表1 真空中Ⅰ型FG圓柱殼固有頻率對(duì)比分析Table 1 Comparison of natural frequencies for type Ⅰ FG cylindrical shell in vacuum Hz

表2 不同邊界時(shí)水下各向同性圓柱殼屈曲臨界載荷Table 2 The critical buckling pressures for a submerged cylindrical shell with different boundary conditions MPa

表3 材料參數(shù)表Table 3 Properties of materials

圖2 不同材料組分時(shí)FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)Figure 2 The prediction of the critical pressure of FG cylindrical shell with different material components

圖3 不同冪指數(shù)N時(shí)FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)Figure 3 The prediction of the critical pressure of FG cylindrical shell with different power law index N

首先以兩端簡(jiǎn)支FG圓柱殼為例，給出了不同材料組分時(shí)FG圓柱殼的屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)值(見(jiàn)圖2(b))。圖2～4中，殼體幾何參數(shù)為：h/R=0.01，L/R=20。

以由不銹鋼/氮化硅復(fù)合的FG圓柱殼為例，使用Excel軟件擬合后得到的線性趨勢(shì)線方程式為y=-135.39x+14.204。令y=0，則x=0.104 9，即可得到臨界載荷預(yù)測(cè)值Pcr=0.104 9 MPa。且擬合時(shí)采用的最大靜水壓力不論是0.03 MPa還是0.07 MPa，得到的臨界載荷數(shù)值均相同。通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，最少需3組數(shù)據(jù)便可以在保證精確度的基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如，僅使用Po=0.01、0.02、0.03 MPa時(shí)的基頻進(jìn)行預(yù)測(cè)，同樣可得到y(tǒng)=-135.39x+14.204，Pcr=0.104 9 MPa。

功能梯度材料的力學(xué)性能由組分材料的體積分?jǐn)?shù)控制。圖3～6中，F(xiàn)G圓柱殼材料組合形式為不銹鋼/氮化硅。如圖3所示，F(xiàn)G圓柱殼的基頻數(shù)值與體積分?jǐn)?shù)的冪指數(shù)N有關(guān)。當(dāng)N發(fā)生變化，而殼體其余參數(shù)不變，通過(guò)使用圖2所示擬合方法，可得到不同N時(shí)FG圓柱殼的屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)值(見(jiàn)圖3(b))。同理，可得到簡(jiǎn)支(SS)邊界、固定(C)邊界、自由(F)邊界下FG圓柱殼的屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)值(見(jiàn)圖4)。

圖4 不同邊界條件下FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)Figure 4 The prediction of the critical pressure of FG cylindrical shell with different boundary conditions

當(dāng)FG圓柱殼壁厚半徑比(h/R)和長(zhǎng)度半徑比(L/R)發(fā)生改變，而其余殼體參數(shù)不變時(shí)，同樣可以由本文方法得到FG圓柱殼的屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)值(見(jiàn)圖5、圖6)。殼體參數(shù)為：N=1，SS-SS。由于靜水壓力可能改變結(jié)構(gòu)的基頻模態(tài)[18]，當(dāng)靜水壓力增大到一定程度時(shí)，L/R=5和L/R=10時(shí)的基頻模態(tài)分別由(1, 2)和(1,3)變?yōu)?1, 3)和(1,4)，因此圖5中這兩種情況僅分別給出(1,3)和(1,4)時(shí)的數(shù)據(jù)結(jié)果。

將線性擬合方法預(yù)測(cè)得到的屈曲臨界載荷和由式(9)計(jì)算得到的屈曲臨界載荷進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果和式(9)計(jì)算結(jié)果之間相對(duì)誤差均小于0.03%。以上結(jié)果表明，本文方法適用于水下FG圓柱殼的屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)精確高、計(jì)算量小。

圖5 不同L/R時(shí)FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)Figure 5 The prediction of the critical pressure of FG cylindrical shell with different L/R ratios

圖6 不同h/R時(shí)FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)Figure 6 The prediction of the critical pressure of FG cylindrical shell with different h/R ratios

3.3 固有頻率預(yù)測(cè)

本文方法不僅可以預(yù)測(cè)屈曲臨界載荷，還可預(yù)測(cè)任意模態(tài)的固有頻率。作為算例，表4和表5分別給出了4種FG圓柱殼和劉佩等[18]對(duì)圓柱殼的固有頻率預(yù)測(cè)結(jié)果。表4中，選取Po=0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08 MPa時(shí)的固有頻率進(jìn)行預(yù)測(cè)。殼體幾何參數(shù)為：h/R=0.01，L/R=20，m=1，n=2，SS-SS。表5中選取相對(duì)深度(水深/半徑)為5、20、50、100、150、300、500時(shí)的固有頻率進(jìn)行預(yù)測(cè)。殼體參數(shù)為：L=1.284 m，R=0.180 m，h=0.003 m，E=206 GPa，ρ=7 850 kg/m3，μ=0.3。結(jié)果顯示，表4中的固有頻率預(yù)測(cè)誤差均控制在0.1%以內(nèi)；表5中的預(yù)測(cè)誤差基本控制在3%以內(nèi)，僅模態(tài)(1,3)，相對(duì)深度=300、500時(shí)預(yù)測(cè)誤差略大，誤差原因與本文預(yù)測(cè)方法是基于理論分析方法，而劉佩等[18]采用有限元分析方法有關(guān)，預(yù)測(cè)時(shí)將FG圓柱殼退化為各向同性圓柱殼也可能導(dǎo)致些許預(yù)測(cè)誤差。

表4 FG圓柱殼固有頻率預(yù)測(cè)Table 4 Prediction of natural frequency of FG cylindrical shell Hz

表5 各向同性圓柱殼固有頻率預(yù)測(cè)Table 5 Prediction of natural frequency of isotropic cylindrical shell Hz

與傳統(tǒng)臨界載荷計(jì)算方法相比，本文預(yù)測(cè)方法計(jì)算量小，預(yù)測(cè)精度高，可以在數(shù)據(jù)有限的情況下快速獲得屈曲臨界載荷以及固有頻率預(yù)測(cè)值。本文預(yù)測(cè)方法不僅適用于振動(dòng)數(shù)值分析預(yù)測(cè)，還可用于振動(dòng)試驗(yàn)預(yù)測(cè)，但是振動(dòng)試驗(yàn)預(yù)測(cè)研究結(jié)果還很有限，后續(xù)將對(duì)此進(jìn)行深入研究。

4 結(jié)論

基于水下FG圓柱殼固有頻率的平方和靜水壓力之間呈線性關(guān)系這一重要結(jié)論，提出了一種適用于水下FG圓柱殼的屈曲臨界載荷和頻率預(yù)測(cè)方法。該方法能夠在保證精確度的基礎(chǔ)上快速得到水下FG圓柱殼屈曲臨界載荷預(yù)測(cè)值以及任意靜水壓力下固有頻率預(yù)測(cè)值，計(jì)算量小，且可以在數(shù)據(jù)有限的情況下進(jìn)行預(yù)測(cè)。將預(yù)測(cè)結(jié)果與數(shù)值分析及數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表明本文預(yù)測(cè)方法精確度高，便于實(shí)際應(yīng)用。