基于奇異攝動(dòng)理論的機(jī)器人關(guān)節(jié)控制研究

夏 杭，段現(xiàn)銀，閔華松，黃文暉，吳修玉

(1. 武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北 武漢，430081；3.武昌首義學(xué)院機(jī)電與自動(dòng)化學(xué)院,湖北 武漢，430064)

傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人由于體積大、自重載荷比低和工作環(huán)境單一等缺點(diǎn)，越來越不能滿足人機(jī)共融環(huán)境下的要求，而柔性機(jī)械臂在工作時(shí)表現(xiàn)出良好的順應(yīng)性受到行業(yè)廣泛關(guān)注[1]。但柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部存在具有彈性屬性的元器件、諧波減速機(jī)等零部件，這些具有彈性屬性的零部件讓關(guān)節(jié)控制變得更加困難,且諧波減速機(jī)內(nèi)的非線性摩擦?xí)?dǎo)致機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生抖動(dòng)[2]。關(guān)節(jié)彈性容易導(dǎo)致關(guān)節(jié)在控制過程中產(chǎn)生殘余振動(dòng)、收斂速度慢，且超調(diào)量大[3]，給關(guān)節(jié)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來了很大的挑戰(zhàn)。研究人員對(duì)提高柔性關(guān)節(jié)控制精度所采取的研究方法主要有奇異攝動(dòng)法[4]、反饋線性化法[5]、結(jié)合關(guān)節(jié)扭矩反饋的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)方法[6]。反饋線性化法是將柔性關(guān)節(jié)的非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，但運(yùn)用該方法需要引入狀態(tài)觀測(cè)器，才能保證轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)時(shí)的準(zhǔn)確性，因此也增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性；結(jié)合關(guān)節(jié)扭矩反饋的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)方法是將機(jī)器人系統(tǒng)分為柔性和剛性兩個(gè)部分，然后直接對(duì)剛性部分的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行控制，最后將反饋力矩補(bǔ)償?shù)饺嵝圆糠?，但該方法依賴?zhǔn)確采集系統(tǒng)輸出力矩和精準(zhǔn)的關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型；奇異攝動(dòng)法是將柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)解耦成兩個(gè)子系統(tǒng)，首先補(bǔ)償關(guān)節(jié)柔性部分，再對(duì)關(guān)節(jié)進(jìn)行控制[7]。

為了抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)，國內(nèi)外研究人員展開了系列研究，Petit等[8]提出了基于模型的狀態(tài)反饋控制器，通過將關(guān)節(jié)輸出信號(hào)進(jìn)行處理后反饋到輸入端，從而有效抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)，但該方法在建模時(shí)忽略了關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和外界干擾的影響；Petit等[9]還提出了一種無模型的阻尼控制方法，該方法利用聯(lián)合彈性將動(dòng)能轉(zhuǎn)換為彈性能來實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制；Sun等[10]提出了一種基于在線重力補(bǔ)償?shù)囊终裎恢每刂品椒▉碛行У販p小柔性關(guān)節(jié)輸出角度的超調(diào)量；韓吉霞等[11]提出了在控制策略中引入干擾觀測(cè)器來減小關(guān)節(jié)振動(dòng)和保證關(guān)節(jié)控制的魯棒性。

由于關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力矩形式復(fù)雜且難以估算，目前在對(duì)柔性關(guān)節(jié)控制研究中大多忽略了摩擦力矩對(duì)位置控制的影響，但在實(shí)際應(yīng)用中，彈性元器件和諧波減速機(jī)的使用帶來了關(guān)節(jié)內(nèi)部不可忽略的柔性和摩擦以及關(guān)節(jié)彈性振動(dòng)等問題。為此，本文針對(duì)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)存在位置控制精度低的問題,在考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界擾動(dòng)等因素的情況下，建立柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型，提出基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑?？刂品椒ǎ迷摽刂品椒▽?duì)關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)進(jìn)行Lyapunov穩(wěn)定性分析和MATLAB仿真，以期為機(jī)器人關(guān)節(jié)控制研究提供參考。

1 柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 柔性關(guān)節(jié)的構(gòu)成及控制系統(tǒng)

柔性關(guān)節(jié)的構(gòu)成及控制系統(tǒng)如圖1所示。從圖1(a)中可以看出，柔性關(guān)節(jié)將無框力矩電機(jī)、諧波減速機(jī)、霍爾傳感器、磁環(huán)編碼器、彈性元器件、制動(dòng)器、驅(qū)動(dòng)器等多種零部件集成于一體，該關(guān)節(jié)具有體積小、輸出扭矩大、便于維修等優(yōu)點(diǎn)，并且具有標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)械接口和電氣接口。在圖1(b)中，無框力矩電機(jī)為關(guān)節(jié)提供動(dòng)力；諧波減速機(jī)由于質(zhì)量輕、減速比大，能進(jìn)一步提高關(guān)節(jié)輸出扭矩；彈性元器件具有抗沖擊性強(qiáng)的特點(diǎn)，將動(dòng)力傳遞到關(guān)節(jié)的法蘭；霍爾傳感器和磁環(huán)編碼器采集電機(jī)端和關(guān)節(jié)輸出端的位置和速度信息；制動(dòng)器提供位置保持和電源保護(hù)。

(a)關(guān)節(jié)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖

(b)關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)框圖

1.2 柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型

Spong[12]建立了一種最初的柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型，將關(guān)節(jié)中具有彈性屬性的元器件和諧波減速機(jī)等零部件等效為彈性系數(shù)不變的扭簧，但該模型忽略了關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界干擾等因素的影響，不能完整地表示關(guān)節(jié)內(nèi)部的物理特性。良好的動(dòng)力學(xué)模型不僅能真實(shí)反映關(guān)節(jié)內(nèi)部的物理特性，而且是實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)準(zhǔn)確控制的前提。本文在考慮關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和關(guān)節(jié)外部干擾因素的情況下，對(duì)摩擦力進(jìn)行辨識(shí)，并對(duì)柔性關(guān)節(jié)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，其簡(jiǎn)化模型如圖2所示。柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

式中，Tm、T、Ta、Tf、Te分別為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩、關(guān)節(jié)力矩、關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦與外界擾動(dòng)產(chǎn)生的力矩之和、關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力矩、外界擾動(dòng)力矩，N·m；Jm、Jl分別為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；K為柔性扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)，N·m/rad；Bl為負(fù)載阻尼系數(shù)，N·m·s/rad；θm、θl分別為電機(jī)轉(zhuǎn)角、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，rad。

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型

1.3 摩擦力模型與參數(shù)辨識(shí)

柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦屬于混合摩擦，單一的摩擦形式無法準(zhǔn)確描述柔性關(guān)節(jié)內(nèi)部的摩擦情況。Stribeck摩擦模型[13]包含有庫倫摩擦和最大靜摩擦，能比較全面地描述關(guān)節(jié)內(nèi)摩擦特性，其模型為：

(2)

式中,fc、fs分別為關(guān)節(jié)內(nèi)部庫倫摩擦力矩、最大靜摩擦力矩，N·m；ω、ωs分別為關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角速度和Stribeck速度，rad/s；Bv為關(guān)節(jié)內(nèi)部黏性摩擦系數(shù)，N·m·s/rad。

對(duì)于單關(guān)節(jié)Stribeck摩擦模型的參數(shù)辨識(shí)，首先設(shè)計(jì)三階傅里葉級(jí)數(shù)作為激勵(lì)軌跡，激勵(lì)頻率為100 Hz，采樣周期為10 s；其次采集關(guān)節(jié)角度與力矩值，對(duì)關(guān)節(jié)角度差分求取關(guān)節(jié)角速度，對(duì)關(guān)節(jié)角度二次差分獲取關(guān)節(jié)角加速度，并采用低通濾波對(duì)所采集的關(guān)節(jié)力矩值以及關(guān)節(jié)角度信號(hào)進(jìn)行濾波；最后用最小二乘法辨識(shí)求得關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦力模型參數(shù)如表1所示。

表1 Stribeck 摩擦模型參數(shù)

2 控制器的設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

由于柔性關(guān)節(jié)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中容易產(chǎn)生振動(dòng)，因此需要設(shè)計(jì)能同時(shí)實(shí)現(xiàn)位置跟蹤和抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)的控制器。依據(jù)奇異攝動(dòng)理論，將柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)解耦為不同時(shí)間尺度并且相互獨(dú)立的兩個(gè)低階子系統(tǒng)，然后分別針對(duì)兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器[14]。令:

Tm=us+uf

(3)

式中，uf為快變子系統(tǒng)控制量，N·m；us為慢變子系統(tǒng)控制量，N·m。

(4)

快變子系統(tǒng)控制律為：

(5)

式中，Kv為力矩反饋微分增益系數(shù)。

關(guān)節(jié)力矩方程可表示為：

(6)

令ε=0，得慢變子系統(tǒng)方程為：

(7)

2.1 基于干擾觀測(cè)器的慢變子系統(tǒng)滑?？刂?/h3>

將式(7)化為標(biāo)準(zhǔn)形式得：

(8)

所設(shè)計(jì)的滑模面函數(shù)(s)為：

(9)

式中，關(guān)節(jié)位置誤差e=θd-θl，其中θd為關(guān)節(jié)期望位置。

針對(duì)慢變子變系統(tǒng)，設(shè)計(jì)滑?？刂坡蔀椋?/p>

(10)

式中，fd為通過干擾觀測(cè)器對(duì)f項(xiàng)的估計(jì)值，N·m；kf為切換增益系數(shù)，將其設(shè)計(jì)為：kf>|fe|，其中，fe為f項(xiàng)的估計(jì)誤差，N·m,fe=f-fd。

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(11)

=-[fd+kfsgn(s)]+f

=fe-kfsgn(s)

(12)

由式(11)和式(12)得：

(13)

由于對(duì)f項(xiàng)的估計(jì)誤差fe足夠小，則需要將切換增益系數(shù)kf設(shè)計(jì)成很小的值，從而有效地抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)。

干擾觀測(cè)器的設(shè)計(jì)為：

(14)

2.2 穩(wěn)定性分析

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)得：

(16)

=-fex1+x1(fe-k2x1)

(17)

3 仿真

關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制框圖如圖3所示。計(jì)算得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.405×10-2kg·m2，負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.605×10-2kg·m2，柔性關(guān)節(jié)剛度為450 N·m/rad，阻尼系數(shù)為0.05 N·m·s/rad，外界擾動(dòng)力矩Te取2sintN·m，干擾觀測(cè)器中的極點(diǎn)增益參數(shù)k1=2300、k2=320，切換增益系數(shù)kf=3。分別對(duì)柔性關(guān)節(jié)進(jìn)行定位和位置跟蹤仿真試驗(yàn)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的期望位置分別為5 rad和5sin(2πt)。關(guān)節(jié)輸入為階躍信號(hào)下的響應(yīng)如圖4所示，關(guān)節(jié)輸入為正弦信號(hào)下的響應(yīng)如圖5所示。從圖4中可以看出，在進(jìn)行關(guān)節(jié)位置保持仿真時(shí)，關(guān)節(jié)系統(tǒng)上升時(shí)間為0.107 s，在經(jīng)過0.217 s后進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)5 rad后速度快速降低到0，并且穩(wěn)態(tài)誤差趨近于0，由此表明，該關(guān)節(jié)系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間短、穩(wěn)態(tài)誤差小、定位精度高。從圖5中可以看出，在進(jìn)行關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真時(shí)，關(guān)節(jié)位置跟蹤響應(yīng)時(shí)間為0.109 s，經(jīng)過0.109 s后，關(guān)節(jié)輸出角度與關(guān)節(jié)期望角度(5sin(2πt))接近，關(guān)節(jié)位置誤差在-0.176～0.152 rad范圍內(nèi)波動(dòng)，表明關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差較小，且跟蹤響應(yīng)速度較快。由此可見，本文提出的基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑?？刂品椒軌蛴行p小關(guān)節(jié)內(nèi)部摩擦和外界干擾對(duì)關(guān)節(jié)控制精度的影響。

圖3 關(guān)節(jié)系統(tǒng)控制框圖

(a)關(guān)節(jié)輸出角度

(b)關(guān)節(jié)輸出角速度

(a)關(guān)節(jié)輸出角度

(b)關(guān)節(jié)輸出角速度

PD控制下關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果、無干擾觀測(cè)器關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果分別如圖6和圖7所示，關(guān)節(jié)定位誤差量化對(duì)比如表2所示。對(duì)比圖4、圖6、圖7以及表2可以看出，在PD控制和無干擾觀測(cè)器控制下，關(guān)節(jié)系統(tǒng)超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差過大，采用干擾觀測(cè)器滑模控制方法后，關(guān)節(jié)系統(tǒng)超調(diào)量降低至15.78%，關(guān)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差降低至0.028 rad。由此可得，在有摩擦和外界干擾的影響下，PD控制方法無法實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)輸出保持穩(wěn)定，超調(diào)量大，有明顯的振動(dòng)；在引入干擾觀測(cè)器后，基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑?？刂品椒軌蚴龟P(guān)節(jié)輸出響應(yīng)速度加快，系統(tǒng)在經(jīng)過0.217 s調(diào)節(jié)后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差減小到0.028 rad,系統(tǒng)的控制精度明顯提高。

圖6 PD控制下關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果

圖7 無干擾觀測(cè)器關(guān)節(jié)定位仿真結(jié)果

表2 不同控制方法下關(guān)節(jié)定位誤差量化對(duì)比

PD控制關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果、無干擾觀測(cè)器關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果分別如圖8和圖9所示，關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對(duì)比如圖10所示，不同控制方法下關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差量化對(duì)比如表3所示。由圖8、圖9和圖10以及表3可以看出，在PD控制和無干擾觀測(cè)器控制下，關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差范圍比較大，跟蹤響應(yīng)時(shí)間也較長；在引入干擾觀測(cè)器后，跟蹤誤差范圍縮小為-0.176～0.152 rad，跟蹤響應(yīng)時(shí)間縮短至0.109s。由此可見，基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑?？刂品椒梢詼p小關(guān)節(jié)由內(nèi)部摩擦和外界干擾引起的位置跟蹤誤差，跟蹤響應(yīng)速度更快，跟蹤性能更好。

圖8 PD控制關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果

圖9 無干擾觀測(cè)器關(guān)節(jié)位置跟蹤仿真結(jié)果

圖10 關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對(duì)比

表3 不同控制方法下關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差量化對(duì)比

4 結(jié)語

(1)針對(duì)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)控制精度低的問題，提出了一種基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑模控制方法,該方法在引入干擾觀測(cè)器后，可以減小關(guān)節(jié)內(nèi)部非線性摩擦和外界干擾對(duì)關(guān)節(jié)控制精度的影響。

(2)與PD控制方法和無干擾觀測(cè)器控制方法相比，所提出的基于奇異攝動(dòng)理論的干擾觀測(cè)器滑模控制方法能夠縮短關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間，且超調(diào)量低，能有效抑制關(guān)節(jié)振動(dòng)和提高系統(tǒng)的控制精度。