《角的平分線的性質(zhì)》教學設(shè)計及思考

楊穎

[摘 要]定理的教學不能只是告訴學生運用結(jié)論去解題，而應(yīng)該展現(xiàn)定理探究及驗證的完整過程，教師要鼓勵學生大膽動手去畫圖、實驗、猜想、驗證、分析、歸納，讓學生經(jīng)歷“用適當方法提出問題、用適當方法進行特殊化探索、猜想一般性結(jié)論、分析證明思路、陳述證明過程、多樣化表達定理”的完整過程，從而使學生逐步掌握幾何研究的一般方法.探討幾何定理教學方法與策略，能提升教師的教學能力，提高課堂教學效率.

[關(guān)鍵詞]角的平分線;性質(zhì);教學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）08-0008-02

初中幾何證明是培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯思維的重要內(nèi)容，研究幾何定理的教學方法是學生學好初中幾何的前提.教師在進行定理教學時，如果忽略對定理本身的探究，則不利于學生幾何直觀能力以及推理能力的培養(yǎng).本文展示湖北省宜昌市西陵區(qū)“幾何定理教學研討會”上的一節(jié)公開課.本課通過定理的引入、定理的證明、定理的表達以及應(yīng)用等環(huán)節(jié)，展現(xiàn)了幾何定理教學的完整過程.現(xiàn)將本節(jié)課的教學環(huán)節(jié)介紹如下，與同行分享.

一、教學設(shè)計

環(huán)節(jié)一：從生活中的角平分線到幾何中的角平分線

問題1：在紙片上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？（可以用量角器，也可以用折紙的方法）

追問：請大家評價一下，在實際生活中，這些方法可行嗎？（量角器比較方便，但是有誤差;折疊的方法很便捷，但是在木板、鋼板等材料上操作，此方法就不可行了）

問題2：如圖1，是一個平分角的儀器，其中[AB=AD]，[BC=DC]，將點A放在角的頂點.AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

分析：在角平分儀中，[AB=AD]，B[C=DC]，AC是公共邊，符合全等三角形“邊邊邊”的判定條件.

問題3：通過上面的探究，你有什么啟發(fā)？你能用尺規(guī)作圖作已知角的平分線嗎？請你試試看.

分析：引導學生將實物模型抽象為數(shù)學模型，并運用全等三角形的知識進行證明，明確作圖的理論依據(jù).

作法：以O(shè)為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N;分別以M、N為圓心，大于[12MN]的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點C;作射線OC，射線OC即為所求，如圖2所示.

設(shè)計意圖：讓學生運用全等三角形的知識，闡述角平分儀的幾何原理，感受數(shù)學理論與實際生產(chǎn)應(yīng)用的聯(lián)系.用尺規(guī)作角的平分線，增強作圖技能，讓學生在簡單推理的過程中體會作法的合理性.

環(huán)節(jié)二：探究角平分線的性質(zhì)

問題4：用折紙的方法作角平分線，使角的兩邊疊合在一起，把對折后的紙片繼續(xù)折疊，第二次折疊后的兩條折痕長度有何關(guān)系？任意折疊呢？若折出兩條折痕垂直于角的兩邊，觀察兩條折痕，你能得出什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：折紙的方法簡潔明了，增加了幾何直觀性，學生可以依據(jù)測量、疊合等方法得出“兩條線段相等”的結(jié)論.首先由一般到特殊，告訴學生在研究幾何性質(zhì)時，我們總是會研究圖形之中存在的一些特殊位置關(guān)系及特殊數(shù)量關(guān)系;然后讓學生對這一結(jié)論加以描述.學生的說法多種多樣，通過個人理解、小組理解和全班理解，相互補充、相互糾正、共同提高;最后得出關(guān)于角平分線的性質(zhì)的猜想.

猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

問題5：如何證明這個猜想？

如圖3，已知OC平分[∠AOB]，點P在OC上，[PD⊥OA]于D，[PE⊥OB]于E.

求證：[PD=PE].

分析：根據(jù)全等三角形中“角角邊”的判定方法證明[△DOP≌△EOP]，然后很容易就可以得出[PD=PE]，從而證明出了猜想是正確的.

環(huán)節(jié)三：定理的表達

文字語言：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

圖形語言：如圖3.

符號語言：∵[∠AOC=∠BOC]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，

∴[PD=PE].

問題6：通過剛才的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

1.明確命題中的已知和求證;

2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證;

3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

設(shè)計意圖：通過問題串引導學生動手探究、觀察猜想和推理證明，體驗幾何證明的基本思路，從而提高邏輯思維理能力.

環(huán)節(jié)四：定理的應(yīng)用

設(shè)計意圖：引導學生分析幾何證明的思路，使學生思維的嚴密性得到了加強，思維的指向性更加清晰.分析法和綜合法是幾何證明中常用的基本方法，教學時充分關(guān)注學生思維習慣的培養(yǎng)，引導學生從學會方法到學會思考.

二、教學思考

本節(jié)課的教學基于章建躍博士提出的“理解數(shù)學，理解學生，理解教學”而設(shè)計.

1.理解數(shù)學

角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線的基本特征，是證明線段之間相等關(guān)系的重要工具.本節(jié)課的內(nèi)容是角平分線的定義和全等三角形等知識的運用和延續(xù)，同時又為后面進一步研究幾何圖形的特征提供思路和方法.在設(shè)計本節(jié)課時，教師首先思考如下問題：什么是角平分線？怎樣畫出角平分線？角平分線有什么作用？想清楚這些問題，對教師理解數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系是有幫助的，能幫助教師迅速厘清教學的基本思路.本節(jié)課以全等三角形的相關(guān)知識為基礎(chǔ)，從生活中的角平分儀器入手，引入數(shù)學中的角平分線.通過學生尺規(guī)作圖的活動，讓學生直觀認識角平分線并分析其內(nèi)在特征，歸納得出結(jié)論，再用幾何推理證明結(jié)論.用三種語言——文字語言、圖形語言、符號語言描述性質(zhì)，最后再運用性質(zhì).這些教學環(huán)節(jié)的設(shè)計正是基于對教學內(nèi)容的理解.

2.理解學生

美國著名教育心理學家奧蘇伯爾曾說：“影響學習的唯一最重要的因素就是學生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學.”由此可知，教學活動應(yīng)圍繞著學生的認知起點展開.在七年級，學生已經(jīng)比較系統(tǒng)地學習了角的相關(guān)知識以及角平分線的定義，在此基礎(chǔ)上，八年級上冊教材編排了角的平分線的性質(zhì)的相關(guān)內(nèi)容.在教學中，如果不注意新舊知識的銜接，很容易讓學生有定理從天而降的感覺，從而無法產(chǎn)生對新知識的學習興趣.此外，如果壓縮定理探究過程，過快地使學生聚焦幾何題的解決而不是邏輯推理能力的培養(yǎng)，必將導致學生幾何學習的“苦海無邊”.

學生學習幾何難，最主要的原因是在學習過程中沒有形成一定的幾何直觀能力以及幾何推理能力.因此，在幾何教學中，尤其要關(guān)注對學生這兩方面能力的培養(yǎng).為了幫助學生加深對幾何圖形的直觀認識，教學中可以采取讓學生自己畫圖觀察或利用學具來體現(xiàn)幾何圖形的變化等方法.

3.理解教學

角的平分線的性質(zhì)是初中幾何教學中非常重要的內(nèi)容，在圖形證明和計算中都有廣泛應(yīng)用.通過本節(jié)課的教學要讓學生體驗研究一個幾何圖形的一般思路：背景→定義→性質(zhì)、判定→運用.

數(shù)學定理是分析數(shù)學問題以及推理證明的重要依據(jù)，弄清定理的來龍去脈，不僅有利于學生條理清晰地說理及證明，而且也是學生形成邏輯思維的前提.定理的教學不能只是告訴學生運用結(jié)論去解題，而應(yīng)該展現(xiàn)定理探究及驗證的完整過程，教師要鼓勵學生大膽動手去畫圖、實驗、猜想、驗證、分析、歸納，讓學生經(jīng)歷“用適當方法提出問題、用適當方法進行特殊化探索、猜想一般性結(jié)論、分析證明思路、陳述證明過程、多樣化表達定理”的完整過程，從而使學生逐步掌握幾何研究的一般方法.

（責任編輯 黃桂堅）