撥動(dòng)擴(kuò)散思維之弦 探究數(shù)學(xué)奇幻之美

郝云鳳

摘要

桑代克的效果律認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要做一定量的題目，以讓學(xué)習(xí)效果展現(xiàn)出來(lái)。但教師要指導(dǎo)學(xué)生一題多想，一方面避免不必要的題海戰(zhàn)，另一方面也讓學(xué)生的思維品質(zhì)得到提升，具體來(lái)說(shuō)就是要提升思維的邏輯性、深刻性、獨(dú)立性、靈活性、敏捷性和批判性，尤其是讓擴(kuò)散思維得到發(fā)展，進(jìn)而使學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，發(fā)揮其主動(dòng)性，探究數(shù)學(xué)奇幻之美。

關(guān)鍵詞

初中數(shù)學(xué) 一題多想 擴(kuò)散思維

當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)存在著學(xué)生做題目的時(shí)間多，想題目的時(shí)間少這樣的問(wèn)題。換言之，就是學(xué)生只是在埋頭做題，沒(méi)有真正地去思考與題目相關(guān)的一系列問(wèn)題。這樣的模式會(huì)導(dǎo)致學(xué)生做了許多題目，卻不知道題目的內(nèi)核是什么，在遇到新的題目的時(shí)候，不能從做過(guò)的題目中汲取方法與思路。因此，教師要加強(qiáng)解題教學(xué)中的過(guò)程性引導(dǎo)，幫助學(xué)生的思維品質(zhì)在一題多想的過(guò)程中得到改善，在學(xué)習(xí)上達(dá)到事半功倍的效果。提升思維的邏輯性，思考題目之間的聯(lián)系;提升思維的廣闊性，思考更多的思路;提升思維的深刻性，思考問(wèn)題的內(nèi)核是什么;提升思維的獨(dú)立性，思考這道題目的不同之處在哪兒;提升思維的靈活性，思考有沒(méi)有更多的解法;提升思維的敏捷性，思考有沒(méi)有更簡(jiǎn)單、更快捷的方法;提升思維的批判性，思考別人做題的優(yōu)點(diǎn)與不足。

一、培養(yǎng)學(xué)生的生活意識(shí)

數(shù)學(xué)與生活總是有一定聯(lián)系的，在生活中隨處可見(jiàn)數(shù)學(xué)的影子，在數(shù)學(xué)原理與公式中也能發(fā)現(xiàn)生活中的例子。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生將題目與生活聯(lián)系起來(lái)，從而讓他們的思維得到轉(zhuǎn)化，將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維。因此，在學(xué)生遇到某一題目時(shí)，要讓他們多想一想生活中有沒(méi)有相似的情境。當(dāng)學(xué)生能將題目融入生活，他們就會(huì)對(duì)題目多一份親切感，少一份生疏感，進(jìn)而更容易想出解決的路徑。學(xué)生將題目和生活聯(lián)系起來(lái)，在某種意義上也說(shuō)明他們看懂了題目。

以實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程等相關(guān)問(wèn)題為例，筆者設(shè)置了這樣一道題：某地的A、B兩家工廠急需煤90噸和60噸，該地的C、D兩家煤場(chǎng)分別有100噸、50噸，全部調(diào)配到A、B兩家工廠，已知C、D兩個(gè)煤場(chǎng)運(yùn)到A、B兩家工廠的運(yùn)費(fèi)（元/噸）如下表所示：

運(yùn)送完畢后，A、B兩家工廠共付運(yùn)費(fèi)5200元，問(wèn)煤場(chǎng)C、D各有多少噸煤運(yùn)往A工廠。對(duì)于這樣的題目，學(xué)生很快就能想出解題的思路。他們先設(shè)C運(yùn)給A廠x噸，那么C運(yùn)給B廠就是（100-x）噸，D運(yùn)給A廠就是（90-x）噸，D運(yùn)給B廠就是（x-40）噸。同時(shí)他們由題意得出35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）=5200，進(jìn)而求得x=40，所以煤場(chǎng)C、D有40噸和50噸煤運(yùn)往A工廠。

解答完這樣的題目，學(xué)生就在想：這不就是用數(shù)學(xué)來(lái)解決生活中的問(wèn)題嗎？生活中像這樣的例子不是還有很多嗎？教師再引導(dǎo)學(xué)生想一想生活中有沒(méi)有數(shù)學(xué)的影子，其實(shí)就是通過(guò)生活實(shí)際將數(shù)學(xué)中的認(rèn)知以更直觀的方式展示出來(lái)，這也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種有效方式。

二、培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)

在預(yù)習(xí)的過(guò)程中，教師問(wèn)什么問(wèn)題學(xué)生就思考什么問(wèn)題，將相關(guān)的問(wèn)題弄懂，預(yù)習(xí)也就結(jié)束;在互學(xué)的過(guò)程中，教師會(huì)拋給學(xué)生一些問(wèn)題，他們會(huì)圍繞問(wèn)題展開(kāi)討論，以得出一些結(jié)論;在展學(xué)的過(guò)程中，教師會(huì)設(shè)置一些問(wèn)題，讓學(xué)生將認(rèn)知轉(zhuǎn)化為解題的能力，提升素養(yǎng)。明顯地，在這種模式下，教師成為課堂的主體，掌控著整個(gè)課堂的節(jié)奏，學(xué)生只是在被動(dòng)地接受。在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，比解決問(wèn)題更重要。學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，首先，要有一定的識(shí)記能力，要能記得相關(guān)的原理與定律;其次，需要一定的推理能力，即由這些定律會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中存在的問(wèn)題;最后，還要有一定的分析能力，即要分析這些問(wèn)題是否真的成立，并找到解決方案。因此，在解答一道題之后，教師可以讓學(xué)生的思維保持繼續(xù)發(fā)展的態(tài)勢(shì)，讓他們想一想有沒(méi)有新的問(wèn)題。

在學(xué)習(xí)等邊三角形的相關(guān)知識(shí)時(shí)，筆者設(shè)置了這樣一道題：點(diǎn)4是線段BC上一點(diǎn)，△ABD、△AEC都是等邊三角形，BE交AD于點(diǎn)M，CD交AE于點(diǎn)N，如圖1所示。求證：BE=DC。

對(duì)于這樣的問(wèn)題，學(xué)生很快就能想到，因?yàn)椤鰽BD、△AEC都是等邊三角形，所以AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°。有了這些結(jié)論，他們就能通過(guò)列舉條件，進(jìn)而證得△DAC≌△BAE（SAS），所以就有了BE=DC。之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)題目中給出的條件能得出更多的結(jié)論。他們?cè)囍C明△AMN是等邊三角形，先是利用△DAC≌△BAE這一結(jié)論，得出∠ABM= ∠ADN;再?gòu)囊阎獥l件推出的∠BAD=∠EAC=60°中得出∠DAN=60°;然后又由AB=AD，得出了△ABM≌△ADN（ ASA），進(jìn)而有AM=AN，同時(shí)又因?yàn)椤螹AN=60°，證得△AMN是等邊三角形。

學(xué)生充分利用條件和新結(jié)論的過(guò)程，就是他們思維向縱深發(fā)展的過(guò)程。讓學(xué)生多想問(wèn)題，一方面教師能更直觀地看出學(xué)生思維的特點(diǎn)，再為他們制定更好的教學(xué)方案;另一方面學(xué)生能更主動(dòng)地投入到課堂中來(lái)，成為課堂的設(shè)計(jì)者，而不僅僅是一個(gè)聽(tīng)眾。

三、培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)聯(lián)意識(shí)

在教學(xué)的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一種情況，一道題講了很多遍，學(xué)生在做題的時(shí)候還是會(huì)出錯(cuò)。可是在這些做錯(cuò)的學(xué)生當(dāng)中，有許多在聽(tīng)講的時(shí)候，是明白做題思路的?？蔀槭裁磽Q道相似的題，他們就出問(wèn)題了呢？這其中一個(gè)主要的原因就是學(xué)生在做題的過(guò)程中缺少思考的過(guò)程，即沒(méi)有去思考有沒(méi)有做過(guò)相似的題。他們沒(méi)有從做過(guò)的題目中找尋經(jīng)驗(yàn)和靈感，將相關(guān)認(rèn)知聯(lián)系起來(lái)。

每道題的出現(xiàn)都不是孤立存在的，從做過(guò)的題目入手，能更快地喚醒曾經(jīng)的思路，找到解題方法。例如下面這道題。如圖2，已知AB是○O的直徑，AC是○O的切線，連接OC交○0于點(diǎn)D，連接BD。若∠C=40°，則∠B=____。

按照通常的思路，教師會(huì)問(wèn)：因?yàn)锳C是○0的切線，所以我們能得出什么結(jié)論呢？學(xué)生會(huì)答：OA⊥AC，∠OAC=90°，∠AOC=90°-∠C=90°-40°=50°。教師再問(wèn)：因?yàn)镺B=OD，又能得出什么結(jié)論呢？學(xué)生答：∠OBD=∠ODB。同時(shí)他們還會(huì)補(bǔ)充說(shuō)，因?yàn)椤螦OC= ∠OBD+ ∠ODB，所以∠OBD=1/2∠AOC=25°，即∠ ABD的度數(shù)為25°。這樣的教學(xué)模式，只是就題論題，學(xué)生的思維沒(méi)有往更廣闊的領(lǐng)域發(fā)展。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將以往做過(guò)的題目聯(lián)系起來(lái)，既觸類旁通，又彼此補(bǔ)充，不斷深化。

學(xué)生翻看各種講義，他們發(fā)現(xiàn)這樣一題：如圖3，AD是○0的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O，交○0于點(diǎn)C，∠DAB=∠B=30°，問(wèn)直線BD與OD形成的角是否為90°。學(xué)生發(fā)現(xiàn)此題同樣是運(yùn)用有關(guān)切線的認(rèn)知求某一角的數(shù)值，在解決過(guò)程中同樣需要將角度之問(wèn)的數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)換。連接OD，由∠ODA= ∠DAB= ∠B=30°，得∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°?？梢?jiàn)讓學(xué)生回想做過(guò)的題目，能在鞏固認(rèn)知的同時(shí)，進(jìn)一步深化思維。

經(jīng)過(guò)筆者的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生學(xué)會(huì)了自我“搭橋造船”去解決問(wèn)題，一題多想，舉一反三，提高了學(xué)習(xí)效率。當(dāng)然，筆者在教學(xué)反思中也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。例如，要結(jié)合學(xué)生實(shí)際能力，循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生這方面的能力，不能急于求成;不能兩極化，學(xué)生的練習(xí)量要適度保證。

學(xué)生才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中最需要關(guān)心的主體。因此教師在教學(xué)中要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓他們得到最大限度的發(fā)展。讓學(xué)生一題多想，既是在減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又是在提升他們的思維品質(zhì)和擴(kuò)散思維能力。在尊重學(xué)生身心健康的同時(shí)，給予他們最適切的教育，從而讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，發(fā)揮其主動(dòng)性，探究數(shù)學(xué)的奇幻之美。

（作者單位：江蘇省南京江寧濱江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）

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