一種n維組合混沌系統(tǒng)及其性能

張雪鋒，王培森

(西安郵電大學 網(wǎng)絡(luò)空間安全學院，陜西 西安 710121)

隨著互聯(lián)網(wǎng)和多媒體技術(shù)的發(fā)展，越來越多的數(shù)字圖像在互聯(lián)網(wǎng)上傳播。如何防止數(shù)字圖像在傳輸過程中的信息泄密，成為了信息安全領(lǐng)域的研究熱點之一[1]。

目前，主流的數(shù)字圖像保護技術(shù)包括信息隱藏、數(shù)字水印和數(shù)字圖像加密技術(shù)[2-4]等。其中，數(shù)字圖像加密技術(shù)通過將原始圖像轉(zhuǎn)化為不可識別的噪聲圖像以實現(xiàn)對圖像的保護，可以有效防止數(shù)字圖像內(nèi)容信息的泄露，成為當前數(shù)字圖像保護的主流技術(shù)之一[4]。

數(shù)字圖像加密技術(shù)主要包括壓縮感知、小波變換和混沌理論[5-8]等?；煦缡且环N類似隨機的偽隨機現(xiàn)象[9]?；煦缦到y(tǒng)具有對初始值的敏感性、長期的不可預(yù)測性和遍歷性等特點[10]，與加密算法對加密性能的要求具有一致性，設(shè)計性能優(yōu)越的混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為了密碼技術(shù)的主要研究方向之一[11-12]。

常見的一維混沌系統(tǒng)包括Logistic、Sine和Tent混沌系統(tǒng)等[13-15]。一維混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，但存在密鑰空間小和混沌行為簡單的缺陷，可以對其混沌軌道進行估計，并對其參數(shù)或者初始值進行預(yù)測[13]，這些弱點限制了其在安全領(lǐng)域的應(yīng)用。

與一維混沌系統(tǒng)相比，高維混沌系統(tǒng)至少有兩個變量，如Henon映射[16]、Lorenz系統(tǒng)[17]和Chen系統(tǒng)[18]等。另外，高維混沌系統(tǒng)通常具有更大的密鑰空間、更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和更好的混沌性能，這使得它們的軌道更加的難以預(yù)測，在抗攻擊方面，比一維混沌系統(tǒng)更具優(yōu)勢，成為了一種很好的加密選擇，得到了更廣泛的關(guān)注。例如，文獻[19]提出一種二維 Sine-Logistic組合映射(2D Sine Logistic Modulation Map,2D-SLMM)混沌系統(tǒng)，將Sin、Logistic兩種映射組合起來，利用正弦映射和系統(tǒng)參數(shù)來調(diào)節(jié)Logistic映射的輸出，以增強系統(tǒng)的隨機性和非線性。但是，該混沌系統(tǒng)密鑰空間較小，隨機性較差，且輸出未能在相空間中均勻分布。文獻[20]提出一種二維Logistic-Sin組合映射(Two-Dimensional Logistic-Adjusted-Sine Map，2D-LASM)混沌系統(tǒng)，將Logistic和Sin兩種映射組合起來，輸出結(jié)果從一維擴展到二維，但存在密鑰空間小、混沌行為不穩(wěn)定的情況。文獻[21]提出一種基于余弦變換的組合混沌系統(tǒng)模型，同樣存在密鑰空間小、混沌行為簡單的問題，但是，該模型的優(yōu)點是可以利用該模型生成不同的混沌系統(tǒng)。

為了擴大密鑰空間，提高加密效果，擬在文獻[21]提出的混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上，提出一種通用的n維組合混沌系統(tǒng)，并以二維混沌系統(tǒng)為例，仿真分析該二維混沌系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)、分岔圖、相關(guān)性、初值敏感性等相關(guān)性能，并將其應(yīng)用于較為經(jīng)典的圖像加密算法中，以驗證所提加密算法的安全性。

1 預(yù)備知識

1.1 Logistic映射

Logistic映射[13]迭代序列值的數(shù)學表達式為

xi+1=μxi(1-xi)

(1)

其中：xi∈(0,1)表示第i(i=1,2,…,n)次迭代序列值；μ∈(0,4)為系統(tǒng)參數(shù)，當3.569 946…<μ≤4，時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。

1.2 Tent映射

Tent映射[14]迭代序列值的數(shù)學表達式為

(2)

其中，r∈(0,1)為系統(tǒng)參數(shù)，當0.5≤r≤1時，Tent映射進入混沌狀態(tài)。

1.3 Sine映射

Sine映射[15]迭代序列值的數(shù)學表達式為

xi+1=βsin(πxi)

(3)

其中，β∈(0,1)為系統(tǒng)參數(shù)，當0.87<β≤1時，Sine映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

1.4 基于余弦變換的組合混沌

文獻[21]提出一種基于余弦變換的組合混沌系統(tǒng)模型，其次迭代序列值的數(shù)學表達式為

xi+1=cos(π(F(a,xi)+G(b,xi)+β))

(4)

其中：a和b為控制參數(shù)；F(a,xi)和G(b,xi)分別為Logistic、Sine和Tent映射中的任意兩種組合；β為一個常數(shù)。

該混沌系統(tǒng)模型為一個一維混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)密鑰空間較小，混沌行為較簡單。

2 n維組合混沌系統(tǒng)

在文獻[21]的基礎(chǔ)上提出一種n維組合混沌系統(tǒng)模型，其迭代序列值的數(shù)學表達式為

(5)

為了證明提出的混沌系統(tǒng)的有效性，下文將給出當n=2時生成的混沌系統(tǒng)并對其進行性能分析。

3 仿真結(jié)果及分析

表1 不同二維混沌系統(tǒng)的函數(shù)表達式

以Logistic和Sine混沌映射組合而成的2D-LSCCM混沌系統(tǒng)為例，分析其相關(guān)性質(zhì)。

3.1 混沌軌跡

混沌軌跡顯示了從給定初始狀態(tài)開始隨著迭代次數(shù)的增加，對應(yīng)每次迭代后輸出的變化?；煦畿壽E在一定程度上能夠反映混沌系統(tǒng)輸出的隨機性。如果一個混沌系統(tǒng)的軌跡占有較大的相空間，則表明其具有良好的隨機輸出和更好的遍歷性，從而具有更好的安全性能。

為了顯示不同混沌系統(tǒng)的實際行為，將各混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)x1和y1均分別設(shè)置為0.7和0.4；2D-LSCCM混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)μ1,α1=0.96,α2=0.9；2D-SLMM混沌系統(tǒng)參數(shù)α=1，β=3；2D-LASM混沌系統(tǒng)參數(shù)μ2=0.99。迭代10 000次，相比于其他兩種混沌系統(tǒng)，2D-LSCCM混沌系統(tǒng)的相空間范圍為[-1,1]，輸出在相空間中占有較大的面積且分布近似均勻，而其他兩種映射的相空間均為[0,1]，且輸出在相空間未能均勻分布，說明2D-LSCCM混沌系統(tǒng)具有良好的隨機性。不同二維混沌系統(tǒng)的混沌軌跡如圖1所示。

圖1 不同二維混沌系統(tǒng)的混沌軌跡

3.2 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)表征了系統(tǒng)在相空間相鄰軌道間發(fā)散或者是收斂的平均指數(shù)率，其描述混沌系統(tǒng)對初始狀態(tài)的不可預(yù)測性和敏感性，是衡量一個混沌系統(tǒng)安全性能的重要指標[22]。

正的Lyapunov指數(shù)意味著無論兩個系統(tǒng)的軌跡多么接近，它們的差異在每次迭代中都會發(fā)散地增大，從而最終導(dǎo)致軌道分離。正的Lyapunov指數(shù)表明該系統(tǒng)對初始值比較敏感。負的Lyapunov指數(shù)意味著經(jīng)過混沌映射的迭代運算，相鄰點最終要靠攏合并成一點，此時系統(tǒng)對應(yīng)穩(wěn)定的不動點和周期運動。負的Lyapunov指數(shù)表明該系統(tǒng)對初始值不敏感。Lyapunov指數(shù)是否大于0可以作為一個系統(tǒng)是否是混沌系統(tǒng)的重要依據(jù)。一個多維的系統(tǒng)可以有多個Lyapunov指數(shù)，如果有一個以上的正Lyapunov指數(shù)，這種現(xiàn)象稱為超混沌行為，具有超混沌行為的動力系統(tǒng)具有極好的混沌性能，其輸出更加的難以預(yù)測。

不同混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)如圖2所示。其中，圖2(a)為2D-LSCCM混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，當系統(tǒng)參數(shù)μ1∈[-0.16,-2]∪[0.16,2]時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進入穩(wěn)定的混沌狀態(tài)。圖2(b)為2D-SLMM混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，當系統(tǒng)參數(shù)α∈[0.89,1]，β=3時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進入穩(wěn)定的混沌狀態(tài)。圖2(c)為2D-LASM混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，當系統(tǒng)參數(shù)μ2∈[0.38,0.91]時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)大于0，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)。

圖2 不同混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)

仿真結(jié)果表明，與其它混沌系統(tǒng)相比，當n=2時，提出的2D-LSCCM混沌系統(tǒng)具有更大的混沌范圍，可以更快的進入混沌狀態(tài)，進一步說明了提出的混沌系統(tǒng)具有更家復(fù)雜的混沌行為。

3.3 分岔圖

分岔圖是分析一個系統(tǒng)是否具有混沌行為的常用工具。通過分岔圖可以直觀的區(qū)分出混沌系統(tǒng)的混沌區(qū)域和非混沌區(qū)域，不同二維混沌系統(tǒng)的y分量分岔圖如圖3所示。由圖3可以看出，隨著參數(shù)μ1的增加，相比于其他兩種混沌系統(tǒng)，提出的2D-LSCCM混沌系統(tǒng)能夠更快地進入到混沌狀態(tài)，且具有更大的混沌范圍，意味著將2D-LSCCM混沌系統(tǒng)用于圖像加密算法時，算法具有更大的密鑰空間，對暴力攻擊的抵御性更強。

圖3 不同二維混沌系統(tǒng)的分岔圖

3.4 序列分布

將2D-LSCCM、2D-SLMM和2D-LASM混沌系統(tǒng)在y維度迭代400次，其所生成的混沌序列在其對應(yīng)區(qū)間上的分布情況如圖4所示。實驗結(jié)果表明，隨著迭代次數(shù)t的增加，2D-LSCCM混沌系統(tǒng)生成的序列在[-1,1]之間隨機分布，2D-SLMM和2D-LASM混沌系統(tǒng)生成的序列均只在[0,1]之間隨機分布，說明2D-LSCCM混沌系統(tǒng)不僅具有較好的隨機性，并且區(qū)間更廣闊，具有更好的加密性能。

圖4 不同混沌系統(tǒng)在y維度的序列分布

為了進一步分析生成的混沌系統(tǒng)性能，將生成的混沌序列轉(zhuǎn)化為二值序列，然后，對轉(zhuǎn)化后的二值序列做進一步的比較。當n=2時，提出的2D-LSCCM混沌系統(tǒng)生成的序列{x1,x2,…,xi},{y1,y2,…,yi}向?qū)?yīng)二值序列{b1,b2,…,bi}，{c1,c2,…,ci}的轉(zhuǎn)化方式為

(6)

對比混沌系統(tǒng)2D-SLMM、2D-LASM的二值序列轉(zhuǎn)化方式為

(7)

3.5 相關(guān)性分析

采用自相關(guān)和互相關(guān)的方法來評估生成序列之間的隨機性，設(shè)生成序列的長度為N，該序列的自相關(guān)系數(shù)[23]的定義為

(8)

其中，m為步長參數(shù)。

自相關(guān)系數(shù)的值與步長m的取值有關(guān)。對于理想的隨機序列，自相關(guān)函數(shù)應(yīng)為δ函數(shù)，當步長變化時，如果自相關(guān)系數(shù)變化越小，說明對應(yīng)序列的隨機性越好。

假設(shè)不同的二值序列b1n和b2n的長度均為N，則兩個序列的互相關(guān)函數(shù)定義為

(9)

互相關(guān)函數(shù)取值越接近0，說明兩個序列的差異程度越大，越互不相關(guān)。

不同混沌系統(tǒng)的自相關(guān)和互相關(guān)分析結(jié)果分別如圖5和圖6所示。

圖5 不同混沌系統(tǒng)的自相關(guān)分析結(jié)果

圖6 不同二維混沌系統(tǒng)的互相關(guān)分析結(jié)果

可以看出，相較于其他兩種系統(tǒng)，提出的組合混沌模型生成的二維混沌系統(tǒng)產(chǎn)成的序列自相關(guān)和互相關(guān)系數(shù)都更加接近于理想情況的計算結(jié)果，說明2D-LSCCM混沌系統(tǒng)生成的序列隨機性能較好。

3.6 初值敏感性分析

采用位變化率來體現(xiàn)混沌系統(tǒng)的初值敏感性，通過對混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)進行微小的變化，統(tǒng)計產(chǎn)生的二值序列中-1和1數(shù)量的變化，位變化率的定義為

(10)

其中：N為序列的長度；N′為對初始參數(shù)進行微小改變后所產(chǎn)生的二值序列與原序列比較時，對應(yīng)位置的值發(fā)生改變的位的個數(shù)。位變化率越接近于50%，說明該系統(tǒng)對于初始參數(shù)越敏感。

三種不同二維系統(tǒng)的初始值均設(shè)置x為0.9，y分別為0.1,、0.2、0.3和0.4，改變后的初始值為x=0.9，y1=y+0.1×10-6。3種不同的二維混沌系統(tǒng)初始參數(shù)發(fā)生微小變化時所生成序列y維度的位變化率如表2所示?？梢钥闯觯峄煦缒Ｐ蜕傻亩S混沌系統(tǒng)產(chǎn)生序列的位變化率均接近于50%，說明生成的序列隨機性良好。

表2 維度混沌序列的位變化率

3.7 頻數(shù)檢驗

頻數(shù)檢驗是檢驗一個序列是否具有隨機性的性能指標。頻數(shù)檢驗主要看生成的二值序列中-1和1的數(shù)量是否接近，頻數(shù)的定義為

(11)

其中：n1表示二值序列中1的個數(shù)；n0表示二值序列中-1的個數(shù)。

表3 不同二維混沌系統(tǒng)y維度的頻數(shù)檢驗結(jié)果

4 圖像加密效果

將提出的混沌系統(tǒng)2D-LSCCM應(yīng)用于較為經(jīng)典圖像[24]的加密中，對256×256大小的Lena、Elaine和Gray明文圖像行實驗測試。當2D-LSCCM混沌系統(tǒng)用于圖像加密時，密鑰長度應(yīng)不小于2128，以此混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)和初值作為密鑰，理論上具有無窮的密鑰空間，考慮到計算機的有限精度效應(yīng)，采用精確到小數(shù)點后15位的雙精度實數(shù)表示，提出系統(tǒng)的密鑰空間為

1015×1015×1015×1015×1015=1075>>2128

足以抵抗密鑰窮舉攻擊。

不同混沌系統(tǒng)的密鑰空間如表4所示。可以看出，相比于其它兩種混沌系統(tǒng)，提出的2D-LSCCM混沌系統(tǒng)具有更大的密鑰空間，可以較好地抵御窮舉攻擊。

表4 不同混沌系統(tǒng)的密鑰空間

使用提出混沌系統(tǒng)加、解密圖像及其直方圖分布情況如圖7所示?？梢钥闯觯褂蒙傻?D-LSCCM混沌系統(tǒng)的加密算法加解密效果良好，加密圖像直方圖均勻，在使用正確密鑰進行解密時才可以恢復(fù)出明文圖像，說明該算法具有良好的安全性能。

圖7 加解密圖像及其直方圖分布情況

5 結(jié)語

針對單一混沌系統(tǒng)密鑰空間小，混沌行為簡單的缺陷，通過加權(quán)組合的形式，提出一種高維組合混沌系統(tǒng)模型，并以生成的二維混沌系統(tǒng)為例，采用混沌軌跡、Lyapunov指數(shù)、分岔圖、相關(guān)性等方法對生成的混沌系統(tǒng)進行了性能分析。實驗結(jié)果表明，生成的二維混沌系統(tǒng)具有更大的混沌空間、更復(fù)雜的混沌行為、更好的初值敏感性，相比于其它系統(tǒng)有更好的混沌性能。另外，將所提混沌系統(tǒng)應(yīng)用于圖像加密時，具有較大的密鑰空間和較好的安全性能。