礦區(qū)地表沉降監(jiān)測的一種組合模型預(yù)測方法

周文韜 張文君 楊元繼 馬旭東 冉茂瑩

1 西南科技大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，四川省綿陽市青龍大道中段59號，621010 2 國家遙感中心綿陽科技城分部，四川省綿陽市青龍大道中段59號，621010

礦山地表沉降機理復(fù)雜，通常單一預(yù)測模型預(yù)測數(shù)據(jù)的精度較低，不能反映礦區(qū)地表的真實情況。將單一預(yù)測模型進(jìn)行組合，提取各模型的有效信息來提高預(yù)測精度是當(dāng)前的發(fā)展趨勢[1-4]。差分整合移動平均自回歸(autoregressive integrated moving average,ARIMA)模型和Holt-Winters模型都是基于時間序列變化的預(yù)測模型，適用于礦山地表沉降時序變化預(yù)測。本文基于誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子，以SBAS-InSAR監(jiān)測值作為實際值，將ARIMA模型和Holt-Winters模型進(jìn)行加權(quán)組合，以期為礦山地表沉降監(jiān)測預(yù)測提供新方法。

1 SBAS沉降監(jiān)測及組合預(yù)測模型建立

1.1 SBAS-InSAR技術(shù)原理

小基線集(small baseline subset, SBAS)技術(shù)可有效改善D-InSAR時空失相干、大氣延遲等缺陷，其原理是將傳統(tǒng)D-InSAR的監(jiān)測形變結(jié)果作為單一觀測值，并根據(jù)最小二乘法得到高精度的形變序列[5]。由于實驗研究目標(biāo)為地表垂向沉降變化，因此本文忽略地表水平位移的影響，將LOS向形變轉(zhuǎn)至垂向形變。

1.2 基于IOWA算子的ARIMA和Holt-Winters模型的組合預(yù)測方法原理

ARIMA模型是針對非平穩(wěn)時間序列建模的常見模型。ARIMA(p,d,q)稱為差分整合移動平均自回歸模型，其中AR為自回歸項，p為自回歸階數(shù)，MA為移動平均項，q為移動平均階數(shù)，d為差分階數(shù)。ARIMA(p,d,q)模型可表示為：

(1)

式中，L為滯后算子，d∈Z，d>0。當(dāng)差分階數(shù)d=0時，ARIMA模型等同于ARMA模型(即平穩(wěn)時間序列模型)[6]。本文研究數(shù)據(jù)均為平穩(wěn)時序數(shù)據(jù)，故d均為0。

指數(shù)平滑預(yù)測法是以具有某種指標(biāo)的本期監(jiān)測數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，引入平滑系數(shù)，以求取平均數(shù)的一種時間序列預(yù)測法，其預(yù)測公式為：

(2)

Holt-Winters線性指數(shù)平滑法是在上述一次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上進(jìn)行二次指數(shù)平滑，其公式為：

(3)

誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子是根據(jù)有序加權(quán)平均(OWA)算子發(fā)展而來的新型加權(quán)方法，基于IOWA算子的組合預(yù)測模型可以有效克服傳統(tǒng)組合預(yù)測方法在某個時間點預(yù)測精度不同的缺點。IOWA算子原理如下：

假設(shè)存在一組監(jiān)測值xi(i=1,2,…,N),采用m種可行的單預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，第t種方法在時刻i的預(yù)測值(或擬合值)為xti(t=1,2,…,m)。設(shè)L=(l1,l2,…,lm)為m種單項預(yù)測在組合預(yù)測中的加權(quán)系數(shù)，且滿足：

(4)

根據(jù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式，令

(5)

第t種方法在時刻i的預(yù)測精度pti可表示為：

(6)

利用m種方法獲得預(yù)測值及其預(yù)測精度，可構(gòu)成一個二維數(shù)組(p1i,x1i),(p2i,x2i),…,(pmi,xmi)，將pti按從大到小排序，設(shè)a-index(ti)是序號為t的預(yù)測精度的下標(biāo)，令

FL((p1i,x1i),(p2i,x2i),…,(pmi,xmi))=

(7)

則式(7)稱為由預(yù)測精度序列p1i,p2i,…,pmi所產(chǎn)生的IOWA組合預(yù)測值。

從式(7)可以看出，組合預(yù)測的賦權(quán)系數(shù)與單項預(yù)測方法無關(guān)，而與單項預(yù)測方法在各個時間點的預(yù)測精度大小密切相關(guān)[8]。

令ea-index(ti)=xi-xa-index(ti)，則以誤差平方和為準(zhǔn)則的基于IOWA的組合預(yù)測最優(yōu)化模型可表示為：

(8)

2 實驗分析

2.1 研究區(qū)概況及數(shù)據(jù)來源

本文以金昌市龍首礦西二采區(qū)為研究區(qū)(以下簡稱西二采)。西二采位于我國甘肅省金昌市，其沉降區(qū)面積約1.1 km2，如圖1所示，礦區(qū)地勢較平坦，平均海拔為1 500～1 800 m。礦區(qū)地表水系不發(fā)育，常年干枯，屬溫帶大陸性氣候。近年由于地下不斷開采，導(dǎo)致地表塌陷，裂縫明顯，從而對鎳礦資源開采產(chǎn)生極大的安全隱患。

圖1 研究區(qū)概況Fig.1 Overview of the study area

選取時間跨度為2019-04-03～2020-01-28的連續(xù)26景SAR數(shù)據(jù)C波段的升軌Sentinel-1A斜距單視復(fù)數(shù)(SLC)影像，周期為12 d，分辨率為5 m×20 m，實驗參數(shù)詳見表1。影像預(yù)處理過程中引入AUX_POEORB精密定軌星歷數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理時選用分辨率為30 m的SRTM DEM數(shù)據(jù)去除地形相位。

表1 實驗數(shù)據(jù)參數(shù)

2.2 礦區(qū)SBAS-InSAR監(jiān)測及分析

實驗選取覆蓋研究區(qū)的26景Sentinel-1A升軌SAR影像，基于SARscape5.2.1版本進(jìn)行SBAS數(shù)據(jù)處理。為獲取可靠的形變監(jiān)測結(jié)果，設(shè)置臨界基線閾值為2 %，時間基線為150，并引入30 m分辨率的SRTM DEM數(shù)據(jù)去除地形相位。剔除效果較差的干涉對后，最終選取172個干涉對進(jìn)行差分干涉處理；設(shè)置解纏相干系數(shù)閾值為0.2，并選取47個穩(wěn)定控制點進(jìn)行軌道精化和重去平；進(jìn)行形變速率反演和地理編碼，去除大氣相位等誤差影響，得到視線(LOS)向年平均沉降速率和時序累積沉降結(jié)果并轉(zhuǎn)至垂向形變，其中累積垂向沉降值見圖2。

圖2 累積沉降值Fig.2 Cumulative settlement

由圖2可以看出，礦區(qū)在監(jiān)測時段內(nèi)由地下開采引起的最大累積垂向沉降值達(dá)到-94.5mm。為便于后文分析礦區(qū)地表沉降預(yù)測，將26景影像視為26期時序沉降變化，其中每12 d視為1期，并選取11個監(jiān)測點進(jìn)行時序沉降監(jiān)測分析，包含沿走向分布的6個監(jiān)測點(A1～A6)、沿傾向分布的4個監(jiān)測點(B1～B4)及交點O。各點沉降變化曲線如圖3所示，從圖中可以看出，1～4期各監(jiān)測點呈輕微抬升趨勢；5～12期各監(jiān)測點呈沉降趨勢，且各點累積沉降值相差較?。?2～26期整體沉降速率加快，其中接近沉降中心的A4點累積沉降變化最大，A1點距離沉降中心最遠(yuǎn)，累積沉降變化最小。

圖3 各點沉降變化曲線Fig.3 Settlement curve of each point

2.3 地表沉降預(yù)測及結(jié)果分析

由于缺少地面觀測點數(shù)據(jù)，故將SBAS-InSAR監(jiān)測數(shù)據(jù)作為實際值，選取前23期(每期時間間隔為12 d)監(jiān)測數(shù)據(jù)對后3期(2020-01-04～28)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，并將后3期SBAS監(jiān)測值與預(yù)測值進(jìn)行對比分析。為證明本文提出的組合預(yù)測模型在礦區(qū)沉降預(yù)測中的可行性，建立3種方案進(jìn)行分析：方案1采用ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測，方案2采用Holt-Winters指數(shù)平滑模型進(jìn)行預(yù)測，方案3采用基于IOWA算子的ARIMA和Holt-Winters指數(shù)平滑組合模型進(jìn)行預(yù)測。

方案1和方案2采用IBM SPSS Statistics 24.0軟件進(jìn)行時間序列預(yù)測分析，得到各預(yù)測模型前23期數(shù)據(jù)擬合度(表2)、ARIMA模型預(yù)測值(表3)和Holt-Winters模型預(yù)測值(表4)。

表4 Holt-Winters模型預(yù)測值

從表2可以看出，ARIMA模型的均方根誤差RMSE平均值為3.44，略高于Holt-Winters模型，因此Holt-Winters模型的擬合度整體上優(yōu)于ARIMA模型。但從表3、4可以看出，2種預(yù)測模型的預(yù)測值與實際值在不同期數(shù)不同點的精度存在差異，例如A1點在ARIMA模型下3期預(yù)測值的相對誤差分別為19.23 %、0.14 %和18.64 %，在Holt-Winters模型下3期預(yù)測值的相對誤差分別為4.14 %、6.39 %和20.55 %，因此引入IOWA算子可克服單一預(yù)測方法在不同時間點預(yù)測精度不同的缺點。

表2 各模型擬合度

表3 ARIMA模型預(yù)測值

方案3基于IOWA算子，由式(11)計算IOWA組合預(yù)測值，以A1點為例：

fL[(p1,24,x1,24),(p2,24,x2,24)]=

l1xa-index(1,24)+l2xa-index(2,24)

fL[(p1,25,x1,25),(p2,25,x2,25)]=

l1xa-index(1,25)+l2xa-index(2,25)

fL[(p1,26,x1,26),(p2,26,x2,26)]=

l1xa-index(1,26)+l2xa-index(2,26)

得出：

fL[(0.808,-17.93),(0.959,-21.28)]=

-21.28l1-17.93l2

fL[(0.999,-20.99),(0.936,-22.30)]=

-20.99l1-22.30l2

fL[(0.814,-23.87),(0.794,-23.31)]=

-23.87l1-23.31l2

將其代入式(12)，整理得到最優(yōu)化模型：

2 811.6l1l2-3 225.42l1-3 098.15l2+1 793.00

同理可得到其他點的最優(yōu)化模型。利用編程或MATLAB最優(yōu)化工具箱可計算出A1點基于IOWA算子的組合預(yù)測模型的最優(yōu)權(quán)系數(shù)為：

l1=1,l2=0

則A1點的預(yù)測值分別為-21.28 mm、-20.99 mm和-23.87 mm。

從A1點組合預(yù)測模型的IOWA最優(yōu)權(quán)系數(shù)可以看出，該方法在A1點的組合預(yù)測是將2個單一模型中預(yù)測精度更高的值作為其組合預(yù)測值。表5為基于IOWA算子的組合預(yù)測模型的預(yù)測值。

表5 組合預(yù)測模型預(yù)測值

為驗證上述組合預(yù)測模型的有效性，選取均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE作為主要評價指標(biāo)(表6)。

表6 預(yù)測精度比較

從表6可以看出，基于IOWA算子的組合模型在各點的均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE均比單一模型小，表明該組合模型的預(yù)測精度更高，具有一定的有效性。

3 結(jié) 語

以金昌市龍首礦西二采為研究區(qū)，采用26景SAR影像進(jìn)行SBAS地表沉降監(jiān)測，得到該地區(qū)26期時序沉降變化與累積沉降值。以SBAS監(jiān)測值為實際值，基于前23期監(jiān)測值分別采用ARIMA模型和Holt-Winters模型進(jìn)行擬合并預(yù)測后3期沉降值。結(jié)果表明，單一模型在不同點不同時期的預(yù)測精度存在差異，其中ARIMA模型在A1、A2、A3點第25期的預(yù)測精度更高，Holt-Winters模型則在B1～B4點的預(yù)測精度更高。根據(jù)各單一模型的預(yù)測值特點，本文基于IOWA 算子將ARIMA模型和Holt-Winters模型進(jìn)行組合，在最優(yōu)權(quán)系數(shù)賦值時按照單一模型的預(yù)測精度大小進(jìn)行賦值，組合模型可有效克服傳統(tǒng)單一賦權(quán)的缺陷，其精度優(yōu)于各單一模型。