顧及時變非高斯噪聲的高斯和濾波及其導(dǎo)航應(yīng)用

戴 卿 馮 威 許輝熙

1 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都市二環(huán)路北一段111號，610031 2 四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院博士后創(chuàng)新實(shí)踐基地，四川省德陽市嘉陵江西路4號，618000

擴(kuò)展卡爾曼濾波是高斯白噪聲假設(shè)條件下常見的非線性濾波算法，已在導(dǎo)航定位、目標(biāo)跟蹤和制導(dǎo)控制等領(lǐng)域得到廣泛運(yùn)用[1]。當(dāng)高斯白噪聲假設(shè)條件不符時會發(fā)生濾波精度下降的現(xiàn)象，為此許多學(xué)者提出基于模型補(bǔ)償算法的自適應(yīng)濾波理論，主要有Sage-Husa濾波、漸消濾波、抗差自適應(yīng)濾波等[2-3]，這些濾波方法在處理非高斯噪聲污染問題時，真實(shí)噪聲模型往往通過具有更大方差的高斯分布來涵蓋。近年來，一種源于高斯混合模型(Gaussian mixture model, GMM)的多模近似方法為解決非高斯噪聲問題提供了另一可行途徑，比采用膨大方差的高斯分布近似法具有更高精度[4-7]，在一定程度上可解決非線性非高斯模型的狀態(tài)估計(jì)問題。但GMM建模參數(shù)不能隨非高斯噪聲統(tǒng)計(jì)特性的變化而變化，這種局限性使得高斯和濾波不能有效應(yīng)對非高斯噪聲的時變性。

本文在分析GMM分解特性的基礎(chǔ)上研究高斯分量間位移參數(shù)對高斯和擴(kuò)展卡爾曼濾波(Gaussian sum extend Kalman filter，GSEKF)擬合精度的影響，通過參數(shù)自適應(yīng)技術(shù)獲取最優(yōu)位移參數(shù)，并對GMM進(jìn)行實(shí)時修正，從而提升時變非高斯噪聲環(huán)境下GSEKF的估計(jì)精度和穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文探討的參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法在處理時變非高斯噪聲問題上具有可行性。

1 問題描述

GNSS/SINS緊組合定姿定位系統(tǒng)具有較好的導(dǎo)航精度和抗干擾能力，在處于大失準(zhǔn)角和高機(jī)動狀況時，傳統(tǒng)線性化模型會降低解算精度，需建立非線性數(shù)學(xué)模型[8]。設(shè)k時刻狀態(tài)向量Xk為包含姿態(tài)、速度、位置、陀螺漂移、加速度計(jì)漂移、GNSS時鐘偏置和時鐘漂移的18維列向量，其中姿態(tài)可用四元數(shù)表示，狀態(tài)方程可概括為：

Xk=f(Xk-1)+GkWk

(1)

式中，f(·)為非線性函數(shù)，Gk為噪聲系數(shù)陣，Wk為過程噪聲，具體設(shè)置見文獻(xiàn)[1]。

GNSS觀測數(shù)據(jù)經(jīng)衛(wèi)星鐘差、電離層延遲和對流層延遲改正后，整理得到量測方程為：

Lk=h(Xk)+vk

(2)

文獻(xiàn)[9-10]對GNSS噪聲殘余項(xiàng)進(jìn)行Allan方差分析，發(fā)現(xiàn)其與零均值高斯白噪聲的特性不符，為非高斯與高斯的混合分布，且由于受到外界因素影響，具有一定時變性。因此，為改進(jìn)組合導(dǎo)航定姿定位性能，需在濾波計(jì)算中顧及非高斯時變噪聲的影響。

1.1 GMM建模

在非高斯環(huán)境下，利用GMM將式(2)中量測噪聲分布模型近似為2個高斯分量的形式[7]：

p(v)≈εN(vA;μA,ΣA)+(1-ε)N(vB;μB,ΣB)

(3)

1.2 GMM局限性分析

非高斯噪聲通過GMM分解可得到其分布模型的近似形式，然而現(xiàn)實(shí)導(dǎo)航測量環(huán)境具有動態(tài)性和復(fù)雜性等特點(diǎn)，故干擾噪聲頻率因子ε也會發(fā)生改變。這種不確定性使經(jīng)典GMM對非高斯噪聲建模存在一定局限性，若直接將其應(yīng)用于動態(tài)導(dǎo)航GSEKF算法中則不能有效應(yīng)對復(fù)雜的時變非高斯噪聲環(huán)境，從而會引起濾波隨機(jī)模型失配，嚴(yán)重時會降低估計(jì)精度。

2 位移參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法

2.1 位移參數(shù)特性分析

GMM分解過程中位移參數(shù)d可限定2個不同高斯分量均值之間的距離。由式(3)可知，當(dāng)d<0.5時，分量(1-ε)N(vB;μB,ΣB)比分量εN(vA;μA,ΣA)弱；當(dāng)d>0.5時則相反。以往在非高斯噪聲發(fā)生變化時，d=0.5的經(jīng)驗(yàn)性取值并不具有最優(yōu)性，若d能隨時跟蹤調(diào)整，則算法將具有一定的自適應(yīng)能力。

圖1為位移參數(shù)d與GMM分解過程的關(guān)系，紅線p代表真實(shí)非高斯噪聲模型，藍(lán)線p(A)和p(B)分別代表2個不同的高斯分量。當(dāng)d<0.5時，GMM實(shí)際計(jì)算區(qū)域?yàn)榫G線p(1)、p(2)和x軸所包圍的區(qū)域，記為M；同理d>0.5時對應(yīng)區(qū)域?yàn)镹。陰影范圍代表實(shí)際GMM對真實(shí)非高斯噪聲的近似程度，重合度越高則擬合效果越好。由于非高斯噪聲的時變性會引起干擾噪聲頻率因子ε隨之改變，故當(dāng)分量(1-ε)N(vB;μB,ΣB)發(fā)生強(qiáng)化時，區(qū)域M中2個高斯分量的均值會背離零均值方向，此時若使d>0.5，則區(qū)域N的濾波效果比區(qū)域M更優(yōu)。

圖1 位移參數(shù)d與GMM分解過程關(guān)系Fig.1 Relationship between displacement parameter and GMM

由此可見，位移參數(shù)d的自適應(yīng)變化能較好地跟蹤時變非高斯噪聲，使GMM分解過程更合理，對實(shí)際非高斯噪聲的擬合也更接近，可獲得更精準(zhǔn)的隨機(jī)模型，從而改善GSEKF的估計(jì)效果。

2.2 算法原理

本文從高斯分解合理性的角度出發(fā)，通過代價函數(shù)、位移參數(shù)和步長來彌補(bǔ)GMM的缺陷，優(yōu)化算法的自適應(yīng)能力，設(shè)計(jì)一種位移參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法，該算法過程可描述為：

1)確定自適應(yīng)步長l，設(shè)位移參數(shù)d的變化范圍為[da,db]，令d=da；設(shè)代價函數(shù)為pg(Lk|Lk-1,d)，最大似然函數(shù)為H=0。

(4)

(5)

式中，Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，ΣWk為過程噪聲協(xié)方差陣。

3)依據(jù)式(3)對非高斯量測噪聲進(jìn)行建模，并將其與EKF算法結(jié)合，使原先單個EKF分解為2個平行的EKF子濾波器：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

本文位移參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法流程如圖2所示，通過位移參數(shù)d的自適應(yīng)調(diào)節(jié)可彌補(bǔ)GMM的缺陷，在理論上具有更理想的估計(jì)精度。

圖2 參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法流程Fig.2 Flow chart of parameter adaptive GSEKF algorithm

3 算例與分析

3.1 仿真檢校

設(shè)置ε初值為0.5，并從500 s開始每隔250 s跳變1次，如圖3所示。用2種不同的濾波方案進(jìn)行數(shù)據(jù)處理：方案1，GSEKF算法；方案2，位移參數(shù)自適應(yīng)GSEKF算法。計(jì)算平臺為Inter Core i7-8550u 1.8GHz，RAM 8GB，計(jì)算軟件選用MATLAB R2014a。

圖3 ε值變化情況Fig.3 The variation of ε

圖4為500～750 s濾波結(jié)果，在ε發(fā)生跳變前，方案1和方案2的估計(jì)結(jié)果相近，2個方案非高斯噪聲建模較為準(zhǔn)確，因此均能較好收斂。圖5為1 250～1 500 s濾波結(jié)果，由于方案1中GNSS量測噪聲GMM建模不準(zhǔn)確，導(dǎo)致姿態(tài)角估計(jì)結(jié)果較差，其相應(yīng)的速度和位置估值也受到影響(多個歷元點(diǎn)處的估值超過3σ誤差界限)；而方案2利用自適應(yīng)修正的位移參數(shù)可較好地跟蹤時變非高斯噪聲，取得比方案1更為穩(wěn)定的濾波效果。

圖4 500～750 s估計(jì)誤差曲線Fig.4 Estimation error curve of 500～750 s

圖5 1 250～1 500 s估計(jì)誤差曲線Fig.5 Estimation error curve of 1 250-1 500 s

為體現(xiàn)算法比較的公正性，在相同參數(shù)條件下進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，采用均方根誤差(RMSE)和單位歷元計(jì)算耗時進(jìn)行量化比較。如表1所示，方案1的估計(jì)誤差略大，方案2由于對位移參數(shù)進(jìn)行實(shí)時修正，使得GSEKF的隨機(jī)模型具有自適應(yīng)性，從而獲得更高的濾波精度。但方案2需要對參數(shù)d進(jìn)行迭代更新，因此耗時比方案1略長。

表1 不同方案RMSE和運(yùn)算時間比較

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的性能，仿真不同歷元數(shù)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，結(jié)果如表2所示。由表可知，歷元數(shù)增加會使估計(jì)精度降低，但方案2始終優(yōu)于方案1。以姿態(tài)估計(jì)為例，2 000個歷元時方案2精度較方案1高約13%，4 000個歷元時其精度優(yōu)勢更為明顯，高約22%。由于姿態(tài)角精度會影響定位結(jié)果，因此方案2的位置估計(jì)精度也高于方案1。由此可見，方案2在復(fù)雜的時變非高斯噪聲環(huán)境下可表現(xiàn)出較高的濾波精度，且在長航時導(dǎo)航解算中具有更好的濾波穩(wěn)定性。

表2 不同歷元長度的濾波結(jié)果比較

3.2 實(shí)驗(yàn)測試

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集于GNSS/SINS組合導(dǎo)航裝置，其中GNSS接收機(jī)可接收GPS和BDS雙系統(tǒng)信號，采樣率為1 Hz，三軸陀螺零偏穩(wěn)定性小于0.5°/h，采樣率為1 000 Hz。將基于光纖陀螺的GNSS/SINS高精度導(dǎo)航數(shù)據(jù)作為參考真值，并用于機(jī)動載體初始化。機(jī)動載體經(jīng)過建筑物、樹林和水面附近，其運(yùn)動軌跡如圖6所示，GPS和BDS可見衛(wèi)星狀況如圖7所示，復(fù)雜變化的數(shù)據(jù)采集環(huán)境使得導(dǎo)航噪聲具有時變性和非高斯特性。分別采用§3.1中方案1和方案2進(jìn)行解算，濾波周期為1 s。

圖6 實(shí)驗(yàn)軌跡Fig.6 Test trajectory

圖7 可見衛(wèi)星數(shù)Fig.7 Number of visible satellites

圖8為其中500個歷元的濾波結(jié)果，從圖中可以看出，方案2的濾波精度明顯高于方案1，方案2估計(jì)誤差(姿態(tài)、速度、位置)的最大值小于方案1。表3為不同方案的量化比較結(jié)果，從表中可以看出，方案2優(yōu)勢明顯，其濾波估計(jì)精度比方案1高(姿態(tài)提高4%、速度提高5%、位置提高7%)。在單位歷元計(jì)算耗時方面，方案2略微增加，但未造成計(jì)算效率明顯降低，這是因?yàn)槲灰茀?shù)自適應(yīng)GSEKF算法雖然需要迭代計(jì)算位移參數(shù)，但可降低GMM的初值敏感性，加快GMM參數(shù)估計(jì)的收斂速度。由此說明，當(dāng)機(jī)動載體導(dǎo)航環(huán)境發(fā)生改變時，本文討論的顧及時變非高斯噪聲的高斯和濾波算法能精化隨機(jī)模型，進(jìn)一步提高濾波性能。

圖8 估計(jì)誤差曲線Fig.8 Estimation error curve

表3 不種方案量化比較

4 結(jié) 語

針對時變非高斯噪聲下高斯和濾波精度和穩(wěn)定性下降的問題，設(shè)計(jì)一種基于位移參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的GSEKF算法，該算法可克服傳統(tǒng)GMM的局限性，使GMM分解過程更加合理，可為復(fù)雜導(dǎo)航環(huán)境下的高精度定姿定位濾波解算提供可能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在時變非高斯噪聲導(dǎo)航環(huán)境下，本文算法可進(jìn)一步改善濾波精度和自適應(yīng)能力，且在長航時導(dǎo)航解算中能表現(xiàn)出更好的穩(wěn)定性，對非線性非高斯濾波理論及組合導(dǎo)航定姿定位算法研究具有參考意義。