非線性橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題的譜方法研究

程 平

（華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州510631）

考慮如下非線性橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題

這里的K 是個(gè)控制集合，即

1 最優(yōu)性條件

狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)的弱解形式描述如下

這里的（·，·）是L2（Ω）中的內(nèi)積。因此非線性最優(yōu)控制問(wèn)題可以重述如下：尋找（y，u）滿(mǎn)足如下條件

由文獻(xiàn)［1］，我們知道最優(yōu)控制問(wèn)題至少有一個(gè)解（y，u），并且當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)共軛狀態(tài)變量p滿(mǎn)足最優(yōu)性條件

2 譜方法的離散格式

下面考慮用Galerkin 譜方法來(lái)做最優(yōu)控制問(wèn)題，假定Ω=（-1，1）2。首先考慮后面會(huì)用到的標(biāo)準(zhǔn)基函數(shù)。以xi（i=1，2）為變量，設(shè)定Lr（xi）為r 次的勒讓德多項(xiàng)式，令

上述在離散空間中推出的最優(yōu)性條件將在后面的誤差估計(jì)中發(fā)揮重要作用。

3 控制變量與共軛狀態(tài)變量的關(guān)系

因?yàn)榭刂萍s束集K=｛v∈L2（Ω）：Ω∫v≥0｝的特殊性，可以發(fā)現(xiàn)如果初始值是無(wú)限光滑的，那么最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制也可以無(wú)限光滑。

證明 這個(gè)證明和引理1 類(lèi)似。

下面我們推出最優(yōu)控制的正則性。

證明 由文獻(xiàn)［1］，知道通過(guò)橢圓問(wèn)題的一些結(jié)論可推得y∈H2（Ω），所以p∈H4（Ω）。由最優(yōu)控制和共軛狀態(tài)變量的關(guān)系

4 先驗(yàn)誤差估計(jì)

借助輔助系統(tǒng)來(lái)考慮控制受限狀態(tài)受限的非線性橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題。定義J（·）和JN（·）如下

假定J（·）是一致凸的。所以這里存在一個(gè)與N 無(wú)關(guān)的c≥0，使得

其中，u 和uN分別是式（3）～（5）和（8）～（10）的解。由文獻(xiàn)［2］知

其中，p（uN）為下面輔助方程的解

定理1 令（y，p，u）和（yN，pN，uN）分別是式（3）～（5）和（8）～（10）的解。假定解（y，p，u）是足夠光滑的，那么對(duì)任意的整數(shù)k＞0，存在與N 無(wú)關(guān)的C＞0，使得

證明 首先由前面假設(shè)的J（·）的一致凸性，以及式（12）～（14）和最優(yōu)性條件（5），（10）以及施瓦茨不等式，對(duì)于任意的vN∈KN，有

由最優(yōu)性條件（5），（10）知

所以對(duì)于不等式（18）右端的第1 項(xiàng)和第3 項(xiàng)可以進(jìn)行放縮。對(duì)于第2 項(xiàng)因?yàn)?/p>

所以有

對(duì)于不等式（18）右端的第4 項(xiàng)有

綜上可得

再利用施瓦茨不等式知

再由Young 不等式知

這里δ＞0 是一個(gè)足夠小的常數(shù)。下面有不等式

由式（3）和（15）得到中間變量誤差方程為

在上述方程里，設(shè)w=y（uN）-y，有

由于?～'（y）≥0，可得

其中，c1=C（Ω）＞0 是下面龐加萊不等式的系數(shù)

所以

由式（8）和（15）得出

由式（22）可得

從而

令q=p（uN）-P，則

其中

因此

再由式（9）和（16）得

將式（20）～（27）代入式（19）得

這里δ＞0 是一個(gè)足夠小的常數(shù)。所以選擇δ=c/（4-2c1）推出得

令上式中的vN=PNu∈UN，PN是L2正交投影算子，則

特別的，令v=1∈UN，則

因此

所以，vN∈KN?UN，由投影算子及其性質(zhì)知

將式（30）運(yùn)用到式（29）可以得到

最后結(jié)合式（20）～（28）和（31）可以得出誤差估計(jì)（17）。