基于ZPD 理論的“常微分方程”變式教學(xué)

胡愛蓮

（喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什 844000）

0 引言

在大學(xué)本科數(shù)學(xué)“常微分方程”課程的教學(xué)過程中，經(jīng)常遇到這樣的情況：有的學(xué)生在解微分方程變式問題時(shí)，苦苦思索卻不得其解，但經(jīng)別人一指點(diǎn)，即刻恍然大悟。這說明學(xué)生頭腦中已經(jīng)掌握了解決這個(gè)問題所必需的基本概念、基本理論和基本方法等知識，只是不知道如何運(yùn)用這些概念、理論和方法去解決眼前的問題。于是便出現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：怎樣掌握數(shù)學(xué)知識才有助于提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力？或者說，怎樣才能促進(jìn)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)解題思維的有效建構(gòu)？

1 ZPD 理論

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基提出的ZPD（The Zone of Proximal Development，最近發(fā)展區(qū)）理論認(rèn)為,學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動時(shí)所能達(dá)到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教師的教學(xué)所獲得的潛在水平。這兩種水平之間的差異就是ZPD（最近發(fā)展區(qū)），如圖1 所示[1].ZPD 理論科學(xué)地詮釋了在復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程中教學(xué)的性質(zhì)和形式，即：教學(xué)作為發(fā)揮潛在能力的支撐平臺，賦予學(xué)習(xí)者能力，為其解決問題和建構(gòu)意義提供概念框架。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)首先對學(xué)習(xí)者的現(xiàn)有水平進(jìn)行評估，據(jù)此設(shè)計(jì)超出其現(xiàn)有能力但又能發(fā)揮其潛在能力的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)習(xí)者超越當(dāng)前發(fā)展區(qū)，進(jìn)入更高水平的最近發(fā)展區(qū)。[2]因此，我們在進(jìn)行大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)時(shí)，僅僅把課本知識講清楚是不夠的，還應(yīng)針對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，針對課程知識結(jié)構(gòu)一環(huán)套一環(huán)的邏輯性，在變式教學(xué)的設(shè)計(jì)上注意變式間的邏輯聯(lián)系，利用類比推理、化歸轉(zhuǎn)化等思想，預(yù)設(shè)“一題多變”“一題多解”的發(fā)散型變式和“一法多用”的聚合型變式，讓學(xué)生在現(xiàn)有的課程知識水平基礎(chǔ)上，通過教師教學(xué)過程中設(shè)計(jì)的一個(gè)個(gè)變式，逐步提高學(xué)生的ZPD，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛力，提高學(xué)生解決較高難度數(shù)學(xué)問題的能力，以更好地適應(yīng)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。那么，在大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)課程教學(xué)中，如何通過必要的教學(xué)方法和手段把邏輯抽象、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為易于調(diào)動其學(xué)習(xí)積極性、激發(fā)其潛能的能力，超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平呢？這是值得廣大高校數(shù)學(xué)專業(yè)教師去實(shí)踐探究的問題。

圖1 學(xué)生兩種發(fā)展水平及其差異間關(guān)系

2 基于ZPD 理論的“常微分方程”變式教學(xué)的具體實(shí)踐

2.1 一題多變增強(qiáng)學(xué)生解決問題的變通性

在維果茨基看來,僅僅依據(jù)學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平進(jìn)行教育是保守、落后的，有效的教學(xué)應(yīng)走在發(fā)展的前面去引導(dǎo)發(fā)展。因此,教育者不僅應(yīng)該了解學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平,更重要的是要了解學(xué)生的潛在發(fā)展水平,尋找其最近發(fā)展區(qū),把握“教學(xué)最佳期”以引導(dǎo)學(xué)生向著潛在的、最高的水平發(fā)展[3]。課堂上，教師從原問題出發(fā)，或橫向類比，或縱向深入，逐步引導(dǎo)學(xué)生完成預(yù)定的變式.對原問題、變式的設(shè)置要注意兩點(diǎn)[1]：（1）原問題的選擇既要簡單，符合學(xué)生現(xiàn)有的知識、能力、情感水平，能使學(xué)生通過問題認(rèn)同自己的能力，有信心順利踏上發(fā)展的第一步；同時(shí)，原問題又要具有拓展性，可以是同一知識水平上的類比延伸，也可以是能深入挖掘的基礎(chǔ)題型.（2）各個(gè)變式的選擇要層層遞進(jìn)、逐步深入，這樣才能讓學(xué)生在現(xiàn)有發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，不斷向著最近發(fā)展區(qū)努力，以求順利地跨越當(dāng)時(shí)的最近發(fā)展區(qū)，到達(dá)下一個(gè)最近發(fā)展區(qū).

案例1從一階齊次方程

[4]的解法入手，縱向衍生出4個(gè)變式方程的解法。

解析：此方程在原方程的基礎(chǔ)上做了擴(kuò)展，a1=b2=0，b1=a2=1 時(shí)即為原問題。此時(shí)，右端函數(shù)中分式的分子、分母同除以x，則方程的右端就變成了變量的函數(shù).

解析：此時(shí)就是變式1，變式2的設(shè)置起到了承上啟下的作用.

解析：此方程的右端函數(shù)為變量ax+by+c的函數(shù)，類似于原問題引入變量變換u=ax+by+c，可將方程化為變量可分離方程求解.

解析：此方程的右端函數(shù)中f為變量xy的函數(shù)，類似于原問題引入變量變換u=xy，可將方程化為變量可分離方程求解.

解析：此方程的右端函數(shù)中f為變量的函數(shù)，類似于原問題引入變量變換u=，可將方程化為變量可分離方程求解.

變式 4 求解方程f(xy)y+g(xy)xy′=0 (f(t)≠g(t)).

解析：此方程的左端函數(shù)中f，g為變量xy的函數(shù)，類似于原問題引入變量變換u=xy，可將方程化為變量可分離方程求解.

案例1 和案例2 將原問題1 從縱向、橫向兩個(gè)方面各產(chǎn)生了4個(gè)變式，都符合變式設(shè)置的兩個(gè)要求，由原問題到變式，難度在逐步加深，對學(xué)生的要求在逐漸提高，隨著變式教學(xué)的推進(jìn)，學(xué)生從一個(gè)ZPD 發(fā)展到一個(gè)更高的ZPD，層層遞進(jìn)，不斷引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生，使其兩種發(fā)展水平呈螺旋式上升，最近發(fā)展區(qū)呈波浪狀前進(jìn).[5]

2.2 一題多解提升學(xué)生解決問題的能力

“常微分方程”各個(gè)知識板塊之間不是割裂的，相互之間存在著內(nèi)在聯(lián)系.我們在學(xué)習(xí)一個(gè)新知識時(shí)，要注意建構(gòu)新知識與已有知識間的聯(lián)系，把各個(gè)知識點(diǎn)聯(lián)系起來，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立起屬于自己的知識結(jié)構(gòu)體系，這樣學(xué)生就不再懼怕解決數(shù)學(xué)問題.而這種聯(lián)系，主要是靠“一題多解”來實(shí)現(xiàn)的。在已有知識儲備的前提下，通過用不同的方法解決同一問題，在這個(gè)過程中不斷尋找和建立新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，既開拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、鞏固重構(gòu)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)體系，又可超越學(xué)生已有的最近發(fā)展區(qū)，達(dá)到下一發(fā)展階段的水平，進(jìn)而提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.

案例3通過問題2 的三種不同解法，演示如何通過一題多解提高學(xué)生的發(fā)展水平.

以上三種方法通過將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)母膶?，使其成為不同類型的一階顯示微分方程，再用相應(yīng)方程的解法進(jìn)行求解，導(dǎo)致了同一方程的不同解法。教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動思考，體會三種方法的本質(zhì)，提高學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的ZPD，利于其數(shù)學(xué)思維能力的提高.

2.3 一法多用激活學(xué)生解決問題的聚合性

基于ZPD 理論的常微分方程變式教學(xué)，僅僅停留在“一題多解”的發(fā)散型變式教學(xué)，可能會出現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了發(fā)散，但卻忽視了思維的聚合性，也就是要及時(shí)歸納總結(jié)各類方程的求解方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)性的形成.而常微分方程的“一法多用”的聚合型變式恰好能彌補(bǔ)這個(gè)缺憾.

“一法多用”型變式是將所要求解的結(jié)構(gòu)形式不同的常微分方程進(jìn)行局部調(diào)整，變成解法相同或類似的問題，這樣可以強(qiáng)化學(xué)生對某一種解法的掌握，同時(shí)，也以此為依據(jù)來解決其他問題.

案例4通過不同的一階微分方程改寫成微分形式，求得其積分因子，進(jìn)而將原方程化為全微分方程進(jìn)行求解.

原問題3 求解(y2+x2+x)dx+xydy=0.

案例3的設(shè)置，可以讓學(xué)生體會到不同的一階顯式微分方程間的潛在關(guān)聯(lián)，從而歸納總結(jié)出解這一類題的通用解法——積分因子法，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力水平.

案例5常數(shù)變易法在不同微分方程（或方程組）的求解中的應(yīng)用.

解析：此方程就是原問題2，其解法一就是常數(shù)變易法.

變式4 求解方程y˙+3y″+3y′ +y=[6].

解析：方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為λ3+3λ2+3λ+1=0，解得λ1，2，3=-1，故對應(yīng)的齊次方程的通解為

從案例3、4 可以看出，教師要引導(dǎo)學(xué)生對同一方法在不同問題中應(yīng)用的重視，幫助學(xué)生尋求某一類題的常規(guī)通用解法，教學(xué)中要弱化針對性技巧，重視對一類問題通用解法的訓(xùn)練.這樣不僅能達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果，還能拓寬學(xué)生的視野，啟發(fā)學(xué)生思維并提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，盡可能激發(fā)學(xué)生潛能，將學(xué)生的ZDP 提升到一個(gè)新的階段，使學(xué)生不斷在學(xué)習(xí)的過程中提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.

3 總結(jié)

數(shù)學(xué)知識之間具有嚴(yán)密的邏輯性和知識的層層遞進(jìn)，學(xué)生頭腦中形成的數(shù)學(xué)知識不是教師通過課堂訓(xùn)練所形成的知識體系，而是學(xué)生通過主動思維在頭腦中對自己的理解進(jìn)行建構(gòu)而形成的。許多新的知識背后都有它所對應(yīng)的原有基礎(chǔ)知識，教師在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生已有知識水平，在舊知和新知之間構(gòu)建聯(lián)系的橋梁，激發(fā)學(xué)生對已學(xué)知識的再認(rèn)識，激起學(xué)習(xí)對新知識的欲望，經(jīng)過對新知識的遷移、發(fā)展形成下一個(gè)發(fā)展區(qū)。這就是創(chuàng)造最近發(fā)展區(qū)并使最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展水平的過程。遵循ZPD 理論的常微分方程變式教學(xué)能讓學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)得到很好的發(fā)展，尤其是在課堂中有針對性的適度的運(yùn)用變式教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的內(nèi)在潛能，不僅能提升學(xué)生的思維水平，還能提高學(xué)生解決問題的能力，是一種切實(shí)可行的教學(xué)方法.