雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的周期運動與分岔特性

南向曈 鄒燁

（湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學院 湖南省株洲市 412001）

含間隙和約束的機械設(shè)備在工作時會產(chǎn)生機械振動，引發(fā)機構(gòu)不同部件之間及設(shè)備與地面、墻面之間發(fā)生機械碰撞，從而導致設(shè)備零部件的磨損及噪音的產(chǎn)生，影響設(shè)備運行可靠性及使用壽命。因此，對碰撞振動問題的研究存在重要應(yīng)用價值，雙質(zhì)體沖擊振動成型機就是一類典型的碰撞振動設(shè)備，對其振動問題的研究具有一定的代表性。目前多采用系統(tǒng)動力學方法，將機械設(shè)備簡化為含間隙的振動系統(tǒng)動力學模型，進而研究其碰撞振動特性，進行動力學優(yōu)化設(shè)計。沖擊振動系統(tǒng)的非線性動力學研究對于具有沖擊振動和運動限制約束的機械系統(tǒng)動力學性能優(yōu)化和噪聲抑制的匹配設(shè)計具有實際意義[1]。近幾年各學者在相關(guān)方向持續(xù)作了深入研究[2-3]，侍玉青等用雙參圖呈現(xiàn)研究數(shù)據(jù)，分析含間隙振動系統(tǒng)低頻周期沖擊振動的模式類型及分岔特征[4]；張曉蓉等研究了兩自由度赫茲接觸碰撞振動系統(tǒng)在低頻率、小間隙下存在的非完全顫振、遲滯區(qū)域共存等現(xiàn)象，得出高頻下對稱周期運動轉(zhuǎn)遷到非對稱的周期運動的變化規(guī)律[5]。

1 力學模型

將Hertz 接觸理論與雙質(zhì)體沖擊振動成型機的傳統(tǒng)模型相結(jié)合，將振動系統(tǒng)兩質(zhì)體間的碰撞處理為彈性碰撞，并考慮碰撞面間的等效阻尼，以Kh表示兩質(zhì)體碰撞面間的剛度，Ch表示兩質(zhì)塊碰撞面間的阻尼，得到該振動系統(tǒng)的簡化非線性動力學模型如圖1所示。

圖1：雙質(zhì)體沖擊振動成型機的彈性碰撞模型

圖中其他參數(shù)的含義如表1所示，兩質(zhì)體間的碰撞條件為X2-X1=Δ。

表1：碰撞模型中各參數(shù)含義

其中f(x1,x2)為兩碰撞面間Hertz 接觸力[6]的無量綱化形式，其具體表達式如（2）式所示。

引入碰撞恢復系數(shù)R，由碰撞理論和動量守恒定律，兩質(zhì)體碰撞前、后的瞬時速度和滿足：

2 Poincaré映射及分岔特性

?。?）式所示Poincaré 截面，并建立相應(yīng)周期運動的Poincaré映射如（6）式所示。

圖2：局部分岔圖

隨激振頻率ω 的增大，系統(tǒng)在ω∈[1.72,2.0]頻域內(nèi)由周期2 運動狀態(tài)經(jīng)歷瞬間激變進入混沌狀態(tài)，其后經(jīng)歷逆周期倍化分岔逐漸轉(zhuǎn)遷到多周期運動狀態(tài)，再經(jīng)歷瞬間激變進入穩(wěn)定的周期1 運動狀態(tài)，如圖2(a)所示；在ω∈[2.5,3.0]頻域內(nèi)系統(tǒng)的運動特性類似，也是先處于混沌狀態(tài)，而后經(jīng)由Feigenbaum 逆倍周期序列由長周期多沖擊運動狀態(tài)逐步過渡到周期1 運動狀態(tài)，其間依次經(jīng)歷概周期-周期8-周期4-周期2-周期1 等典型運動狀態(tài)，如圖2(b)所示。

借助相平面圖觀察激振頻率ω=2.9 時系統(tǒng)的瞬時運動特性，對比兩質(zhì)體在這一碰撞瞬間的振動模式，如圖3所示?？梢娰|(zhì)體M1的相圖為一條封閉曲線，即處于周期1 運動模式，由右側(cè)豎線可知質(zhì)體M1在位移接近0.004 位置與質(zhì)體M2發(fā)生碰撞，如圖3(a)所示；此時質(zhì)體M2的位移接近-0.02，且其碰撞后未直接進入下一運動周期，而是又經(jīng)歷了一次未發(fā)生碰撞的小幅振動，運動特性比質(zhì)體M1豐富，如圖3(b)所示。其對應(yīng)速度隨時間的響應(yīng)圖如圖4，顯然質(zhì)體M1在相鄰兩次碰撞間只經(jīng)歷一次振動，從平衡位置一側(cè)運動到平衡位置的過程中速度逐漸降到0，其后速度反向增大并向平衡位置另一側(cè)運動，達到最大距離后返回，完成一次完整的振動，如圖4(a)所示；質(zhì)體M2則在對應(yīng)兩次碰撞間發(fā)生兩次幅值不同的振動，如圖4(b)所示，與圖3分析結(jié)果相對應(yīng)。

圖3：ω=2.9 時兩質(zhì)體的相平面圖

圖4：ω=2.9 時兩質(zhì)體的時間歷程圖

圖5所示為質(zhì)體M2在不同外激勵頻率下的Poincaré 截面投影映射圖，呈現(xiàn)出典型的混沌吸引子，可見此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，兩質(zhì)體的碰撞振動特性無明顯規(guī)律性。但隨激振頻率增大，混沌吸引子由圖5(a)所示的整體聚集狀態(tài)逐步過渡到圖5(c)所示的三塊聚集狀態(tài)，預示系統(tǒng)由混沌運動向多周期運動的演化過程，與圖2分岔特性相對應(yīng)。

圖5：混沌狀態(tài)下的Poincaré 截面圖

3 結(jié)論

文章對雙質(zhì)體沖擊振動成型機的傳統(tǒng)模型進行改進，引入Hertz 接觸理論，將系統(tǒng)兩質(zhì)體間的碰撞關(guān)系處理為彈性碰撞，并同時考慮碰撞面間的等效剛度和阻尼對碰撞特性的影響。在所選基準參數(shù)下，揭示了系統(tǒng)在所選Poincaré 截面下的周期沖擊振動模式及相應(yīng)分岔特性。研究顯示，系統(tǒng)在外激勵頻率ω＜3.0 頻域內(nèi)表現(xiàn)出復雜多樣的非線性動力學特性，在混沌、瞬間激變、倍化分岔及其他多周期等振動模式之間相互轉(zhuǎn)變，平穩(wěn)的周期1 運動窗口很窄，兩質(zhì)體的振動模式均不穩(wěn)定。