二項(xiàng)分布一致性檢驗(yàn)問題研究

張志輝

（91404單位，河北 秦皇島 066001）

在導(dǎo)彈命中等成敗型試驗(yàn)過程中，為節(jié)省兵力彈藥，減少成本，往往采用實(shí)彈射擊、半實(shí)物仿真、數(shù)字仿真等多種手段分別進(jìn)行試驗(yàn)。試驗(yàn)后，各種手段獲得試驗(yàn)結(jié)果往往差異較大，如何判斷哪些樣本集可用、哪些不可用，一直困擾著決策者。本文從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法入手，檢驗(yàn)各手段獲得的成敗型樣本集是否可用。

1 兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)

各手段獲得的試驗(yàn)結(jié)果可信度是不一致的，實(shí)彈射擊試驗(yàn)考核全面，更接近實(shí)戰(zhàn)，相對(duì)于其他手段可信度最高。因此，可以采納作為參考標(biāo)準(zhǔn)。而其他手段，或多或少采用了一些模擬手段，低于實(shí)彈射擊試驗(yàn)的可信度，這些手段獲得的樣本是否可用的問題，就歸結(jié)為這些手段獲得的樣本集是否與實(shí)彈射擊試驗(yàn)樣本集來自同一分布［1-3］。

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法是一種檢驗(yàn)兩個(gè)樣本集是否來自同一分布的有效手段［4-6］。在精度等類型試驗(yàn)中，因其滿足正態(tài)分布，可以直接采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法來評(píng)判［7-12］。下面簡(jiǎn)要介紹其中的兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)。

假設(shè)H0：μ1=μ2；H1：μ1≠μ2。

拒絕區(qū)域?yàn)閃={|u|≥uα2}［1］。其中uα2可查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表直接獲得。

但成敗型試驗(yàn)，單個(gè)樣本滿足0-1分布，多次試驗(yàn)的成功數(shù)量滿足二項(xiàng)分布，是離散型分布［1］，無現(xiàn)成的方法可用于評(píng)判。下面根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)思路，研究二項(xiàng)分布的假設(shè)檢驗(yàn)方法。

2 兩個(gè)二項(xiàng)分布成功概率的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)采用試驗(yàn)手段一獲得成功數(shù)量X，其服從二項(xiàng)分布，記為X～B（m，p1），其概率［1］為

設(shè)采用試驗(yàn)手段二獲得成功數(shù)量Y，其服從二項(xiàng)分布，記為Y～B（n，p2），其概率為

下面采用假設(shè)檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)成敗型試驗(yàn)兩種手段獲得的樣本集是否來自同一分布，即是檢驗(yàn)p1和p2是否相同。

假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本原理就是利用小概率事件不應(yīng)當(dāng)發(fā)生，若發(fā)生則拒絕假設(shè)H0。假設(shè)檢驗(yàn)最根本的目標(biāo)是找到拒絕區(qū)域。因此，對(duì)于二項(xiàng)分布這樣的離散分布，需要找到小概率區(qū)域（或稱為小概率事件集），且該小概率事件集中所有事件發(fā)生的概率和為顯著性水平α。

兩種手段相互獨(dú)立，若p1=p2=p，則X、Y同時(shí)發(fā)生的事件(x，y)概率［1］為

當(dāng)假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)象為連續(xù)分布時(shí)，其拒絕區(qū)域的特點(diǎn)為區(qū)間分布大，概率密度低，拒絕區(qū)域內(nèi)發(fā)生概率為α。二項(xiàng)分布為離散性分布時(shí)，無法同連續(xù)分布一樣擁有概率密度函數(shù)，從而找到拒絕區(qū)域。但二項(xiàng)分布事件的總數(shù)是有限的，每個(gè)事件發(fā)生的概率是已知的（可通過式（3）進(jìn)行計(jì)算），因此可以較容易地把區(qū)間分布廣、概率密度低的小概率事件集尋找到。

對(duì)于離散型分布，找到拒絕區(qū)域的方法，就是把所有可能事件按照一定方法進(jìn)行排序，取其中一部分作為拒絕事件集，該拒絕事件集必須滿足區(qū)間分布廣、概率密度低等特點(diǎn)。

首先極易想到的方案1：按照事件發(fā)生概率從大到小進(jìn)行排序，把小于p0所有事件作為拒絕事件集，且這些事件累計(jì)概率為α。但使用過程中發(fā)現(xiàn)，該方案拒絕事件集中包含相似度極高的事件，如（0，0），顯然不符合基本認(rèn)知。因此，方案1不可行，排序方案還必須考慮到相似度問題。

方案2：模仿正態(tài)分布均值的檢驗(yàn)方法，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z，即

其中，Z越小，相似度越大。

事件按照Z值從小到大進(jìn)行排序。為了直觀地顯示，計(jì)算間隔為0.05時(shí)所有事件的概率累計(jì)，當(dāng)m=100，n=10，p=0.6時(shí)，其累計(jì)概率（類似概率密度）分布如圖1所示。

從圖1可以看出，拒絕區(qū)域必然選擇相似度低、累計(jì)概率小、區(qū)域分布大的右側(cè)。取拒絕區(qū)域?yàn)閆≥zα，如圖1中陰影部分。

圖1 m=100，n=10，p=0.6，間隔為0.05時(shí)的累計(jì)概率分布情況Fig.1 The cumulative probability distribution when the interval is 0.05，m=100，n=10，p=0.6

其中P{Z≥zα}=α，zα是與m、n、α、p有關(guān)的變量。m、n是試驗(yàn)前設(shè)計(jì)的樣本量，是已知的；α為顯著性水平，一般取0.1；但p為單個(gè)樣本成功的概率，是未知的。當(dāng)然想構(gòu)造一個(gè)更加合適的統(tǒng)計(jì)量，使得拒絕區(qū)域與p無關(guān)。但實(shí)際情況是，無論構(gòu)建什么樣的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其僅僅能決定各事件的排序位置，而各事件發(fā)生概率（依然是用式（3）計(jì)算）與p直接相關(guān)，即統(tǒng)計(jì)量一旦確定，則各事件排序位置就已確定。改變p值，則改變了各事件的發(fā)生概率，zα必然隨之變化移動(dòng)。因此，無論構(gòu)建什么樣的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕事件集必然與p有關(guān)。綜上所述，方案2是較優(yōu)的選項(xiàng)。

采用上述方法計(jì)算時(shí)，p為不確定量，需要事先做假設(shè)，一般采用設(shè)計(jì)值或?qū)＜掖蚍址绞将@得。當(dāng)m、n存在公倍數(shù)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)事件的Z值相同情況，此時(shí)，該多個(gè)事件應(yīng)當(dāng)同時(shí)拒絕或同時(shí)不拒絕。

3 應(yīng)用實(shí)例

某一導(dǎo)彈試驗(yàn)中，采用仿真的方式X獲得10個(gè)樣本，采用實(shí)彈射擊Y獲得3個(gè)樣本。其中假設(shè)p=0.9。

利用Excel軟件，枚舉所有可能事件，用式（3）計(jì)算各事件的發(fā)生概率，同時(shí)用式（4）計(jì)算各事件的統(tǒng)計(jì)量Z值。對(duì)各事件按照Z值從大到小進(jìn)行排序，計(jì)算所有事件前面的概率累計(jì)值（含該事件）。

α取0.1，查看Excel中概率累計(jì)值，其大于α對(duì)應(yīng)的zα為0.36，因此Z≥0.36時(shí)，事件被拒絕，即該事件及前面所有事件為拒絕事件，拒絕事件集為（4～10，0），（7～10，1），（0～3，2），（0～6，3）等22個(gè)事件?？梢钥闯?，差異較大的事件均在拒絕事件集中，與日常認(rèn)知相符。

若試驗(yàn)結(jié)果恰好屬于上述拒絕事件集，則認(rèn)為仿真方式與實(shí)彈射擊不滿足同一分布，即仿真試驗(yàn)肯定存在問題，獲得試驗(yàn)樣本不具備任何參考價(jià)值，應(yīng)當(dāng)檢查完善仿真模型，重新設(shè)計(jì)試驗(yàn)。

4 結(jié) 論

在成敗類實(shí)際試驗(yàn)中，在不同的研制階段，能獲得多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，在同一個(gè)研制階段，采用不同的手段也能獲得多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，各試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)存在較大差異，一般都有基本的認(rèn)知，與可信度最高的試驗(yàn)結(jié)果差異越大，越不能使用，但具體如何界定存在困難。本文根據(jù)正態(tài)分布總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法，充分考慮相似度要求，構(gòu)造了恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，找到了拒絕事件集，有效地解決了兩個(gè)二項(xiàng)分布總體是否來自同一分布的判斷問題，為是否使用該試驗(yàn)結(jié)果的決策提供了界定標(biāo)準(zhǔn)。該方法可推廣運(yùn)用于所有發(fā)生概率已知的離散分布試驗(yàn)中。