單框架控制力矩陀螺輸出特性分析1)

黃志來(lái) 李新圓 金棟平,2)

?(南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

?(安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,安徽馬鞍山 243002)

引言

傅科(Foucault)于1852 年首次提出“陀螺”概念[1],可利用陀螺的力學(xué)特性設(shè)計(jì)執(zhí)行器,稱之為控制力矩陀螺(control moment gyroscope,CMG).半個(gè)世紀(jì)以來(lái),CMG 廣泛用于航天器姿態(tài)控制[2],并隨著航天器控制任務(wù)的多樣化[3-4],從姿態(tài)控制逐漸延伸到能量存儲(chǔ)[5]、振動(dòng)抑制[6]等領(lǐng)域.

CMG 有兩種機(jī)械結(jié)構(gòu),單框架(SCMG)[7]和雙框架(double-gimbal control moment gyro,DCMG)[8].飛輪可調(diào)速時(shí),CMG 演化成變速控制力矩陀螺(variable-speed control moment gyro,VCMG),按其機(jī)械結(jié)構(gòu)分類,有單框架變速控制力矩陀螺(single-gimbal variable-speed control moment gyro,SVCMG)[9]和雙框架變速控制力矩陀螺(double-gimbal variable-speed control moment gyro,DVCMG)[10-11].相比于DCMG,SCMG 機(jī)械結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但存在奇異性問(wèn)題,而前者機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制算法更加復(fù)雜,兩者同屬于多體系統(tǒng),本文僅關(guān)注航天領(lǐng)域應(yīng)用最廣的SCMG.

通常,為實(shí)現(xiàn)航天器三軸姿態(tài)控制,在只利用SCMG 輸出陀螺力矩[12]的情況下,要滿足輸出三維控制力矩,則需要按一定構(gòu)型配置多個(gè)SCMG,如金字塔構(gòu)型[13]、屋頂構(gòu)型[14]和五棱錐構(gòu)型[15]等.VSCMG 有兩個(gè)輸出,只需兩個(gè)VSCMG 即可完成航天器三軸姿態(tài)控制.力矩陀螺群存在操縱奇異性[16]問(wèn)題,針對(duì)不同構(gòu)型的力矩陀螺群,許多學(xué)者分析了其奇異幾何特性[17-18]和零運(yùn)動(dòng)存在性[19],提出諸如奇異逃離[20]、奇異魯棒[21]、反饋[22]、方向規(guī)避等操縱律[23],以及綜合零運(yùn)動(dòng)與奇異逃離的混合操縱律[24-25]等.

最初,SCMG 作為航天器的執(zhí)行機(jī)構(gòu),其輸出模型僅考慮陀螺力矩[26],而VSCMG 的飛輪可調(diào)速,輸出力矩比SCMG 多一個(gè)反作用力矩[27].為分析柔性航天器的振動(dòng)問(wèn)題[28],胡權(quán)等[29]基于Kane 方程建立了適用于任意構(gòu)型的多個(gè)柔性體系統(tǒng)遞推算法,這豐富了含SCMG 的多體系統(tǒng)建模方法.現(xiàn)有研究對(duì)SCMG 的力矩輸出特性不夠關(guān)注,一直停留于Lappas等[30]關(guān)于SCMG 基座角速度較小且轉(zhuǎn)子角速度較大的假設(shè)基礎(chǔ)之上,并借鑒反作用輪原理獲得SCMG的力矩放大效應(yīng)[30-31].

本文不局限于Lappas 假設(shè)條件,建立SCMG 輸出力矩模型,在全部可行域中對(duì)SCMG 輸出特性進(jìn)行解析,以期更加全面地理解SCMG 動(dòng)態(tài)輸出特性,為在工程實(shí)踐中高效利用SCMG 及其控制策略設(shè)計(jì)提供新思路.

1 SCMG 輸出力矩模型

如圖1 所示,設(shè)SCMG 的連體坐標(biāo)系為F(g,s,t),坐標(biāo)軸單位矢量為s,g和t,其中g(shù)為安裝軸.定義飛輪角速度和角動(dòng)量分別為Ω和h,框架相對(duì)基座的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為˙δ,以致Ω=?s,h=hs,δ=δg和.在連體坐標(biāo)系中,基座、飛輪和框架的角速度為

從式(2)可見(jiàn),SCMG 輸出力矩沿s,g和t三個(gè)方向,而僅有g(shù)和s兩個(gè)方向具有輸入力矩,即SCMG 為二維輸入三維輸出系統(tǒng).

將式(2)輸出力矩分成兩部分,即τ=τ0+τc,這里τ0=τg0g+τs0s+τt0t為不可調(diào)控輸出力矩,表示SCMG 對(duì)基座的慣性影響,只與基座角加速度和角速度有關(guān),τc=τgcg+τscs+τtct為可調(diào)控輸出力矩.令,則

2 SCMG 輸出輸入力矩比

設(shè)輸入力矩為

式中,τsw=?τs|Jfg=Jfs=Jft=0=.記輸出力矩為τout,則輸出與輸入力矩比定義為

因此,當(dāng)n1=1 且n2=n3=n4=0 時(shí),意指SCMG；當(dāng)n2=1 且n1=n3=n4=0 時(shí),意指反作用輪；當(dāng)n1=n2=1 且n3=n4=0 時(shí),則代表VSCMG;當(dāng)n1=n2=n3=1 且n4=0 或n1=n2=n3=n4=1 時(shí),本文稱為三維單框架控制力矩陀螺(three-dimensional single-gimbal control moment gyro,3D-SCMG).輸出力矩可以為全部輸出力矩、可調(diào)節(jié)輸出力矩或者被利用輸出力矩,即

選擇合適的獨(dú)立參數(shù)改寫(xiě)式(8),有

式中,a1為輸出力矩幅值與s方向輸入力矩比值,a2為輸出力矩幅值,x1為g方向與s方向輸入力矩比值,x2為g方向輸入力矩.根據(jù)式(9),可得輸出與輸入力矩之比的關(guān)系曲線,如圖2 所示.從圖2 可知,K值與SCMG 的狀態(tài)有關(guān),并不恒大于1,即SCMG 并不總有力矩放大效應(yīng).

圖2 SCMG 輸出輸入力矩比Fig.2 Torque ratio of SCMG’s input to output

圖2 SCMG 輸出輸入力矩比(續(xù))Fig.2 Torque ratio of SCMG’s input to output(continued)

同理,可以選擇合適的獨(dú)立參數(shù),對(duì)特定情形下的K值進(jìn)行分析.這里例舉基座固定、輸出力矩為全部力矩和三維控制力矩陀螺.

(1)基座固定

由式(10)可得SCMG 的輸出輸入力矩比曲線,結(jié)果如圖3 所示.從圖3 可見(jiàn),基座固定的SCMG 輸出與輸入力矩比K≥1.當(dāng)a3或a4為零時(shí),K=1,此時(shí)τout中陀螺力矩為零,即等同于反作用輪.

(2)輸出力矩為全部力矩

此時(shí),輸出力矩τout=τ,則

(3)三維控制力矩陀螺

三維控制力矩陀螺情形,即考慮τout=,n1=n2=n3=1 且n4=0,則

圖3 基座固定的SCMG 輸出輸入力矩比Fig.3 Torque ratio of SCMG’s input to output with the fixed base

圖4 SCMG 輸出輸入力矩比(τout=τ)Fig.4 Torque ratio of SCMG’s input to output with τout=τ

圖4 SCMG 輸出輸入力矩比(τout=τ)(續(xù))Fig.4 Torque ratio of SCMG’s input to output with τout=τ (continued)

3 SCMG 力矩利用率

圖6 矢量幾何關(guān)系Fig.6 Geometric relation diagram of vectors

式中,p1為基座的角速度在t方向分量與框架角速度值之比,p2為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速值與框架角速度值之比,n表示轉(zhuǎn)子在s軸的慣量矩與基座主慣量矩之比.

根據(jù)式(23),當(dāng)n=1 和n=2 時(shí),ηm分別如圖7所示.對(duì)比圖7(a)和圖7(b)可知,ηm曲線關(guān)于p2=0對(duì)稱,并在p2=0 取得峰值,隨|p1|值上升而下降.當(dāng)|p1| >1 時(shí),ηm始終小于1,可得此時(shí)η 恒小于1.n不影響峰值大小,但隨n增大,使得ηm曲線的峰值變陡.

圖7 SCMG 力矩利用率上界ηm(=0,==0,Jg= Js= Jt=nJ)Fig.7 The upper bound of torque utilization in SCMG(=0,==0, Jg= Js= Jt=nJ)

4 姿態(tài)控制

4.1 非對(duì)角奇異魯棒操縱控制

考慮斜裝兩個(gè)VSCMG 的航天器姿態(tài)控制,安裝角β=π/6,第i個(gè)SCMG 的轉(zhuǎn)子對(duì)s軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ji,其連體坐標(biāo)系對(duì)航天器本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為Bi(i=1,2).矢量或張量在航天器本體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)加注上標(biāo)(b),則陀螺群的輸出力矩在航天器本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

選4 種控制參數(shù)進(jìn)行控制效果考核,方案1:Wi=1,k=300;方案2:Wi=300,k=10;方案3:Wi=200,k=100;方案4:Wi=300,k=5.仿真控制結(jié)果如圖8 和圖9 所示.可以看出,4 種方案均在500 s 內(nèi)趨于穩(wěn)態(tài),其中方案1 和3 在初始有一段時(shí)間的波動(dòng)后趨于穩(wěn)態(tài),方案2 和4 相對(duì)平穩(wěn).

圖8 航天器姿態(tài)四元數(shù)時(shí)間歷程Fig.8 Time histories of the attitude quaternion about spacecraft

圖10 輸出與輸入力矩比時(shí)間歷程Fig.10 Torque ratio of CMG’s input to output vs time

圖11 輸出與輸入力矩比時(shí)間歷程Fig.11 Torque ratio of CMG’s input to output vs time

圖12 力矩利用率時(shí)間歷程Fig.12 Torque utilization vs time

由式(8)和式(20)可得SCMG 群的輸出與輸入力矩之比K和力矩利用率η,如圖10～圖12 所示.可以看出,在4 種方案中,K和η 均在等值線1 上下波動(dòng),表明SCMG 并不恒有力矩放大效應(yīng)和高效的力矩利用率,這與理論結(jié)論一致.方案1 在等值線1上下波動(dòng)次數(shù)最多,總體控制效果欠佳,與圖8(a)和圖9(a)表現(xiàn)出的控制效果吻合；方案3 在等值線1上下波動(dòng)次數(shù)僅次于方案1,與圖8(c)和圖9(c)一致.從圖10(b)和圖11(b)可見(jiàn),方案2 的輸出輸入力矩比在等值線1 以上的區(qū)域占優(yōu).根據(jù)圖8 和圖9 所示的控制效果,方案2 收斂更快,兩者吻合；比較圖12(b)和圖12(d)可見(jiàn),方案3 的力矩利用率η 在等值線1 以上的區(qū)域占優(yōu),與圖8 和圖9 所示的平穩(wěn)控制效果一致.綜上所述,控制效果與輸出輸入力矩比K和力矩利用率η 這兩個(gè)參數(shù)密切相關(guān).

4.2 優(yōu)化控制

其中

式中,Ei表示i×i階單位矩陣.方案1 控制效果如圖13(a)和圖14(a)所示,框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度分別如圖15(a)和圖16(a)所示.由式(8)和式(20)計(jì)算輸出與輸入力矩比和力矩利用率,結(jié)果如圖17(a)和圖18(a)所示.

由式(3)和式(4)可知,SCMG 為三維力矩輸出,單個(gè)SCMG 即可實(shí)現(xiàn)航天器三維姿態(tài)控制.因此,優(yōu)化控制方案2 只保留優(yōu)化方案1 中第一個(gè)SCMG,仿真時(shí)長(zhǎng)tf=200 s,其他仿真參數(shù)不變.方案2 仿真控制效果如圖13(b)和圖14(b)所示,框架角速度和轉(zhuǎn)子角加速度如圖15(b)和圖16(b)所示.從式(8)和式(20)可得輸出與輸入力矩比和力矩利用率,結(jié)果如圖17(b)和圖18(b)所示.

圖13 航天器姿態(tài)四元數(shù)時(shí)間歷程Fig.13 Time histories of the attitude quaternion about the spacecraft

圖14 航天器角速度時(shí)間歷程Fig.14 Time histories of the angular velocity about the spacecraft

圖15 框架角速度時(shí)間歷程Fig.15 Time histories of the gimbal rates

圖16 轉(zhuǎn)子角加速度時(shí)間歷程Fig.16 Time histories of the angular acceleration about the flywheel

圖18 力矩利用率時(shí)間歷程Fig.18 Torque utilization vs time

從圖13 和圖14 可見(jiàn),考慮到SCMG 的運(yùn)動(dòng)參數(shù)受限,兩個(gè)優(yōu)化控制方案均可完成控制任務(wù),控制過(guò)程比較平穩(wěn),收斂效果良好.對(duì)于收斂到目標(biāo)的耗時(shí),方案1(兩個(gè)SCMG)約50 s,方案2(一個(gè)SCMG)約150 s,后者用時(shí)略長(zhǎng),前者航天器機(jī)動(dòng)角速度明顯高于后者,因此收斂速度更快.從圖15 可見(jiàn),方案1 的框架角速度幅值更大.圖15(a)顯示方案1 在35 s 以后(i=1,2)已接近零,即此時(shí)輸出的陀螺力矩值非常有限.由圖16 可知,方案1 長(zhǎng)時(shí)間利用轉(zhuǎn)子變速輸出力矩,而方案2 在50 s 時(shí)已接近目標(biāo)姿態(tài),之后就不再利用轉(zhuǎn)子變速輸出力矩,但維持比較高的轉(zhuǎn)子速度.由圖15(b)可知,方案2 在50 s 以后框架角速度在穩(wěn)態(tài)期望值零上下波動(dòng),通過(guò)輸出陀螺力矩來(lái)調(diào)節(jié)航天器姿態(tài).上述兩種優(yōu)化控制方案的任務(wù)相同,但圖13～圖16 中兩種控制方案表現(xiàn)出明顯差異,根本原因在于方案1 有4 個(gè)輸入,從控制的角度可理解其有一個(gè)冗余,可行域更廣；方案2 僅有2 個(gè)輸入,屬于欠驅(qū)動(dòng),可行域更窄.由圖17 和圖18 可知,在整個(gè)控制過(guò)程中,兩種優(yōu)化控制方案的輸出輸入力矩比和力矩利用率始終位于等值線1 以上,表明在優(yōu)化控制過(guò)程中SCMG 始終有良好的輸出特性,即SCMG 始終具有力矩放大效應(yīng)和高效的力矩利用率.

5 結(jié)論

通過(guò)建立SCMG 的兩維輸入三維輸出模型,將其輸出力矩分解成可調(diào)控部分與不可調(diào)控部分,進(jìn)而定義SCMG 的輸入與輸出力矩比和力矩利用率.研究發(fā)現(xiàn),SCMG 不恒有力矩放大效應(yīng),也不恒有高效的力矩利用率.此外,SCMG 輸出特性確實(shí)與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān).根據(jù)SCMG 的三維輸出特性,借助一個(gè)SCMG 的優(yōu)化控制可實(shí)現(xiàn)航天器三軸姿態(tài)機(jī)動(dòng).在提出的優(yōu)化控制方案中,可以始終確保SCMG 具有力矩放大效應(yīng)和高效的力矩利用率.因此,通過(guò)合理設(shè)計(jì)控制方案,可以使SCMG 具有良好的動(dòng)態(tài)輸出特性且控制效果最優(yōu).