電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

周洪娟 金濤 陳鋮

[摘 要]電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解是電磁理論教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。課題組以簡(jiǎn)單的靜態(tài)二維電場(chǎng)邊值問(wèn)題為例，同時(shí)采用解析法和數(shù)值法求解，基于Matlab仿真平臺(tái)編程實(shí)現(xiàn)，從解析法和數(shù)值法的結(jié)論互相呼應(yīng)的角度來(lái)逐層次地設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題求解方法、抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)論以及唯一性定理產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)。

[關(guān)鍵詞]電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題;唯一性定理;解析法;數(shù)值法

[中圖分類(lèi)號(hào)] O411.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）02-0004-04

“電磁場(chǎng)理論”或“電磁場(chǎng)與電磁波”是工科院校電子信息、無(wú)線(xiàn)電技術(shù)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，其涉及的矢量微積分公式繁多、概念抽象，需要學(xué)生具備較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)，學(xué)生普遍反映難度大?！半姶艌?chǎng)理論”這門(mén)課的教學(xué)雖然要側(cè)重電磁場(chǎng)、電磁波的基礎(chǔ)理論，但也要注重與工程實(shí)踐的結(jié)合，為工科院校的學(xué)生在相關(guān)課程以及方向的學(xué)習(xí)研究提供較為直接的理論指導(dǎo)。這其中，電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解就是聯(lián)系電磁場(chǎng)麥克斯韋方程等基礎(chǔ)理論與各種復(fù)雜工程實(shí)踐，如天線(xiàn)設(shè)計(jì)、電磁干擾與電磁兼容以及雷達(dá)散射截面積等相關(guān)應(yīng)用的橋梁[1-7]，但由于其涉及數(shù)理方程等復(fù)雜數(shù)學(xué)理論，使之成為本科教學(xué)中的難點(diǎn)。

電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題指的是滿(mǎn)足特定偏微分方程和邊值條件的數(shù)理方程，靜態(tài)電、磁場(chǎng)的邊值問(wèn)題的求解是指滿(mǎn)足泊松方程或拉普拉斯方程和指定邊值條件的數(shù)理方程的求解。電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解方法主要分為解析法和數(shù)值法兩大類(lèi)。解析法是指能從電磁理論出發(fā)通過(guò)公式推導(dǎo)可直接得到所求解問(wèn)題的精確表達(dá)式的方法，該類(lèi)方法通常只適合一些邊界形狀簡(jiǎn)單的特殊邊值問(wèn)題的求解，如邊界形狀為規(guī)則的平面狀、球狀或圓柱狀。數(shù)值法是將求解區(qū)域劃分成離散的網(wǎng)格、待求解的連續(xù)變量離散成求解區(qū)域中一系列離散點(diǎn)處的求解的一系列方法，常見(jiàn)的有限差分法[8-10]、有限元法[11]和矩量法[11]。由于該類(lèi)方法可靈活處理各種復(fù)雜的邊界問(wèn)題，在實(shí)踐工程計(jì)算中被廣泛采用?，F(xiàn)階段本科教學(xué)中，一般只強(qiáng)調(diào)一些特殊邊值問(wèn)題的解析求法，如分離變量法和鏡像法，而由于授課學(xué)時(shí)等的限制，對(duì)更通用的數(shù)值法講解不透，甚至一帶而過(guò)，這樣就難以達(dá)到服務(wù)于工程實(shí)踐的真實(shí)目的。

本文以二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解為例，設(shè)計(jì)結(jié)合解析法和有限差分?jǐn)?shù)值法的自我驗(yàn)證式實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生對(duì)邊值問(wèn)題求解方法和對(duì)邊值問(wèn)題求解的唯一性定理的理解。

一、待求解的邊值問(wèn)題及其解析解

待求解的二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題如式（1）所示，滿(mǎn)足第一類(lèi)邊值條件，求解區(qū)域內(nèi)面電荷密度為ρ，x軸和y軸的長(zhǎng)度分別為a和b，U0為一個(gè)常數(shù)，求解區(qū)域內(nèi)的電位滿(mǎn)足的偏微分方程和邊值條件寫(xiě)成：

根據(jù)靜態(tài)電磁場(chǎng)問(wèn)題的唯一性定理，只要求出的位函數(shù)滿(mǎn)足相應(yīng)的泊松方程或拉普拉斯方程，又滿(mǎn)足給定的邊界條件，則此位函數(shù)就是所求的唯一正確解。該邊值問(wèn)題可以由疊加法分解成兩個(gè)邊值問(wèn)題，如式（2）和（3）所示，則有φ=φ1+φ2。

對(duì)邊值問(wèn)題（3），電位滿(mǎn)足泊松方程，可以采用級(jí)數(shù)展開(kāi)法求解[12]。考慮四個(gè)齊次邊界條件，令解為二重正弦級(jí)數(shù)，即

將式（5）帶入泊松方程，并由三角函數(shù)的正交性，可得系數(shù)表達(dá)式為：

至此，邊值問(wèn)題（1）的解析表達(dá)式推導(dǎo)完畢。以上求解在唯一性定理的統(tǒng)一框架下，采用分離變量法、疊加法和級(jí)數(shù)展開(kāi)法聯(lián)合求解，系數(shù)求解中需要用到三角函數(shù)的正交性原理，推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜，公式繁多，導(dǎo)致學(xué)生的接受難度大，因此電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解歷來(lái)是本科教學(xué)中的難點(diǎn)。

二、數(shù)值法原理

本次實(shí)驗(yàn)采用有限差分法求解，該方法代碼實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單，比較適合本科階段的學(xué)生自行編寫(xiě)代碼實(shí)現(xiàn)，既可以體會(huì)數(shù)值計(jì)算方法的精要，在實(shí)現(xiàn)上又不占用太多的精力。另外，其求解聯(lián)立方程的不同解法也可以體現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中保證計(jì)算精度的同時(shí)加快收斂速度的需求，讓學(xué)生對(duì)數(shù)值求解方法有一個(gè)比較全面的認(rèn)識(shí)。

首先將求解區(qū)域劃分成正方形網(wǎng)格，下標(biāo)i和j分別代表節(jié)點(diǎn)的x向和y向的序號(hào)，網(wǎng)格長(zhǎng)度為h，則泊松方程的差分方程如式（7）所示[9]。

若求解區(qū)域劃分的節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，則得到N個(gè)聯(lián)立方程組，進(jìn)一步考慮已知邊界條件，主要的求解方法包括矩陣求逆、高斯消元和迭代法。迭代法是先對(duì)每個(gè)待求節(jié)點(diǎn)賦初值，按照一定順序和公式（7）逐步更新每個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位，直至每個(gè)節(jié)點(diǎn)前后更新值誤差在給定的精度范圍內(nèi)。由于迭代法更適合求解大規(guī)模邊值問(wèn)題，更具有通用性，同時(shí)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，因此本次實(shí)驗(yàn)采用迭代法求解。迭代法分簡(jiǎn)單迭代法和超松弛迭代法兩種，簡(jiǎn)單迭代法的更新公式如式（8）所示，即直接根據(jù)泊松方程的差分方程（7）用上一次迭代的值來(lái)更新本次迭代的值：

其中，上標(biāo)n和n+1代表迭代次數(shù)的序號(hào)。若更新順序?yàn)閺淖蟮接摇南碌缴?，由于?jiǎn)單迭代法中每次更新時(shí)，左邊和下邊的節(jié)點(diǎn)已經(jīng)更新過(guò)，為提高收斂速度引入了超松弛迭代法。超松弛迭代法通過(guò)引入超松弛因子α（1<α<2），充分利用已經(jīng)得到的新值，在得到每點(diǎn)新值時(shí)立即把舊值沖掉，以提高迭代效率。設(shè)每次迭代時(shí)，節(jié)點(diǎn)更新順序?yàn)閺淖蟮接摇南露?，則更新公式如式（9）和（10）所示。

當(dāng)α=1時(shí)[φ（n+1）i，j=φ（n+1）i，j]，此時(shí)稱(chēng)為松弛迭代。超松弛因子α的大小決定著收斂速度，迭代次數(shù)最小的超松弛因子稱(chēng)為最優(yōu)超松弛因子。若計(jì)算區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)方形，設(shè)劃分成正方形網(wǎng)格時(shí)兩邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為Nx和Ny，則最優(yōu)松弛因子αopt的經(jīng)驗(yàn)值如式（11）和（12）所示[12]。

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本次實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生自行編寫(xiě)代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)解析結(jié)論分析、數(shù)值法求解等。MATALB提供了一種高效的基于矩陣運(yùn)算的仿真環(huán)境，具有豐富的函數(shù)庫(kù)和畫(huà)圖功能，代碼編寫(xiě)簡(jiǎn)單，在理論研究中被廣泛采用。本次實(shí)驗(yàn)基于MATLAB平臺(tái)進(jìn)行有限差分代碼編寫(xiě)及后期數(shù)據(jù)的畫(huà)圖分析，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)從學(xué)生可以自我驗(yàn)證計(jì)算結(jié)論的角度出發(fā)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程及要求設(shè)計(jì)如下所示：

1.基于公式（4）（5）（6）分析基于疊加法、分離變量法和級(jí)數(shù)展開(kāi)法的解析解;

2.利用簡(jiǎn)單迭代有限差分法求解，采用不同的網(wǎng)格尺寸，數(shù)值解與解析法結(jié)論對(duì)比，分析求解結(jié)果的精確度;

3.利用超松弛迭代法求解，確定不同網(wǎng)格尺寸下收斂速度最快的最優(yōu)值松弛因子，并與公式（11）（12）經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比。

本次實(shí)驗(yàn)是以邊值問(wèn)題（1）的求解為例展開(kāi)的，可以根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要調(diào)整待求解的邊值問(wèn)題。通過(guò)調(diào)整網(wǎng)格尺寸，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)值計(jì)算中網(wǎng)格離散度對(duì)計(jì)算結(jié)論的精確度的影響，以及對(duì)計(jì)算資源方面的要求;超松弛因子的求解又讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)值計(jì)算中保證求解精度提高收斂速度方面的切實(shí)要求。同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)無(wú)論從采用疊加法的解析求解過(guò)程，還是解析解與數(shù)值解呼應(yīng)的驗(yàn)證過(guò)程，都遵循著電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題求解的唯一性定理，即同一邊值問(wèn)題可以采用不同的方法求解，但所得的解必須滿(mǎn)足指定的偏微分方程和邊值條件。唯一性定理在本科課堂教學(xué)中通常只是一掠而過(guò)，學(xué)生難以體會(huì)其在電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題求解中的重要地位，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生深刻理解唯一性定理的意義和重要性，真正起到了實(shí)驗(yàn)輔助教學(xué)的目的。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

設(shè)求解區(qū)域尺寸a=10 m，b=8 m，U0=100 V，電荷面密度ρ=10x（y-1）/ε0 pC/m2;數(shù)值計(jì)算中采用三種網(wǎng)格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m，要求兩次迭代差值最大為10-10 V，以下為對(duì)應(yīng)的分析結(jié)論。圖1中的（a）（b）（c）（d）分別為解析法，網(wǎng)格尺寸h=1 m、h=0.5 m和h=0.1 m的有限差分法得到的整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)的電位分布彩圖，其中有限差分法采用簡(jiǎn)單迭代法。圖2中的（a）和（b）分別為沿著y=1 m和y=5 m兩條線(xiàn)上三種網(wǎng)格尺寸下得到的數(shù)值解相對(duì)于解析解的相對(duì)誤差?？梢?jiàn)隨著網(wǎng)格尺寸降低，數(shù)值解逐漸趨近于解析解，表明網(wǎng)格分得越細(xì)計(jì)算精確度越高，同時(shí)也證明了在嚴(yán)格一致的邊界條件和偏微分方程下，同一邊值問(wèn)題多種解法的結(jié)論是趨于一致的，即解的唯一正確性。

圖1中的（b）（c）（d）的迭代次數(shù)分別為393、1508和32771，可見(jiàn)求解精度的提高是以計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為代價(jià)的，這對(duì)所有的數(shù)值計(jì)算方法都是不可回避的事實(shí)，因此需要在保證求解精度的同時(shí)盡量提高收斂速度，降級(jí)計(jì)算時(shí)間，提高計(jì)算效率。本實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步采用超松弛迭代法加速收斂速度，設(shè)要求的求解精度與簡(jiǎn)單迭代法相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，超松弛迭代法在保證計(jì)算結(jié)論精確度的前提下，可以得到更快的收斂速度，且收斂速度與松弛因子有關(guān)。圖3中的（a）（b）（c）為三種網(wǎng)格尺寸h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m下不同松弛因子對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)，在具體實(shí)驗(yàn)中，首先采用0.1間隔來(lái)遍歷搜索，得到最小迭代次數(shù)分別為45、90和913，對(duì)應(yīng)的松弛因子分別為1.5、1.7和1.9。由式（11）（12）可得h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網(wǎng)格尺寸下的最優(yōu)松弛因子經(jīng)驗(yàn)值分別為1.484、1.699和1.931，仿真結(jié)論與經(jīng)驗(yàn)值基本吻合。若要得到分辨率更高的αopt數(shù)值，可以進(jìn)一步在最小值附近進(jìn)行細(xì)搜索，如圖3中的（c）中所示，得到最優(yōu)松弛因子αopt=1.94，迭代次數(shù)為478。還有需要說(shuō)明的是α=1.93時(shí)，迭代次數(shù)為482，兩者相差很小，說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)公式是非?？尚诺?。還有需要說(shuō)明的是，在松弛因子αopt=1時(shí)，h=0.1 m、h=0.5 m和h=1 m三種網(wǎng)格尺寸下的迭代次數(shù)分別為16947、779和204，相對(duì)于簡(jiǎn)單迭代法的收斂速度已經(jīng)有很大改進(jìn)。

最終簡(jiǎn)單迭代法和最優(yōu)超松弛迭代的迭代次數(shù)對(duì)比如表1所示，其中的比值代表采用超松弛迭代法的最小迭代次數(shù)與簡(jiǎn)單迭代法的迭代次數(shù)的比值?？梢?jiàn)，通過(guò)調(diào)整超松弛因子，在保證計(jì)算精度的前提下，可以極大地提高計(jì)算效率，并且節(jié)點(diǎn)數(shù)越多改善效果越明顯，這對(duì)大型的邊值問(wèn)題的數(shù)值求解具有非常重要的意義。

五、結(jié)束語(yǔ)

電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解由于涉及的數(shù)學(xué)公式繁雜，方法多樣化，歷來(lái)是電磁場(chǎng)與電磁波本科教學(xué)中的難點(diǎn)。本文以一個(gè)二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解為例，首先基于疊加法、分離變量法和級(jí)數(shù)展開(kāi)法推導(dǎo)其解析解;然后進(jìn)一步采用有限差分法進(jìn)行數(shù)值求解，討論了離散網(wǎng)格大小對(duì)數(shù)值計(jì)算精度的影響，并采用超松弛迭代法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)值算法中改善計(jì)算效率的問(wèn)題。本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的每一步結(jié)論都有參考結(jié)論，學(xué)生可以自我驗(yàn)證;基于MATLAB的算法代碼比較簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手編寫(xiě)代碼，加深了對(duì)算法的理解。該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)同時(shí)從解析法和數(shù)值法多個(gè)角度加深了學(xué)生對(duì)抽象的唯一性定理的理解及其在電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題求解中的重要地位，幫助學(xué)生理解電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)電磁場(chǎng)理論中的基本方程、邊界條件及各類(lèi)二階偏微分方程的活學(xué)活用。

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[責(zé)任編輯：鐘 嵐]