磁浮列車懸浮系統(tǒng)的反步控制方法及實(shí)驗(yàn)研究

張文躍， 佟來生， 朱躍歐， 徐俊起， 榮立軍

(1.中車株洲電力機(jī)車有限公司磁浮系統(tǒng)研究所, 株洲 412001； 2.同濟(jì)大學(xué)(國家)磁浮交通工程技術(shù)研究中心, 上海 201804)

磁浮車輛作為新型軌道交通工具,具有無摩擦,低噪音,轉(zhuǎn)彎半徑小,爬坡能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。中外已有多條磁浮交通線路投入運(yùn)行,未來這種新型交通工具有望得到大力發(fā)展和應(yīng)用[1-3]。但由于磁浮車輛的懸浮系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng),具有開環(huán)不穩(wěn)定,易受擾,耦合性強(qiáng)等特點(diǎn),傳統(tǒng)的線性控制方法(proportional-integral-derivative, PID),已經(jīng)難以滿足運(yùn)載速度不斷提高對(duì)懸浮控制精度和魯棒性的要求[4]。

懸浮系統(tǒng)是磁浮車輛的核心和關(guān)鍵部件之一。近些年來在現(xiàn)代智能控制技術(shù)的推動(dòng)下,中外學(xué)者對(duì)高性能磁懸浮自動(dòng)控制進(jìn)行了大量的研究,取得了一定進(jìn)展。劉德生等[5]利用中間變量將原非線性系統(tǒng)以線性形式表達(dá),但本質(zhì)仍然是非線性系統(tǒng),進(jìn)而利用豐富的線性理論對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。呂志國等[6]基于反饋線性化和在線參數(shù)辨識(shí)提出一種自適應(yīng)控制方法,能夠?qū)崿F(xiàn)小球的穩(wěn)定懸浮。Zhou等[7]針對(duì)electro magnetic suspension(EMS)型磁浮列車懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)了帶有FIR(finite impulse response)濾波器的自適應(yīng)控制方法來減小車輛的振動(dòng)。孫友剛等[8]將可變邊界層和指數(shù)趨近律結(jié)合,設(shè)計(jì)一種改進(jìn)型的滑模控制方法,仿真和實(shí)驗(yàn)證明該方法可以提高系統(tǒng)魯棒性。張靜等[9]針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)提出了無源控制器,仿真結(jié)果表明該方法能提高磁懸浮系統(tǒng)抗干擾性能。Sun等[10]基于模糊控制理論設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器。該方法能夠自動(dòng)調(diào)整控制參數(shù)以使閉環(huán)系統(tǒng)遠(yuǎn)離Hopf分叉點(diǎn),避免車軌耦合振動(dòng)的發(fā)生。Xu等[11]提出了一種基于磁通密度反饋的自適應(yīng)滑模控制器,該方法可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。這些現(xiàn)代智能控制方法推動(dòng)了磁懸浮控制系統(tǒng)的發(fā)展,但是仍然存在一些問題。如反饋線性化控制抗干擾能力較差；模糊控制無需建立精確的數(shù)學(xué)模型,但是控制穩(wěn)態(tài)精度較低。無源控制一般只能借助注入阻尼來設(shè)計(jì)控制律,穩(wěn)定性難以保證。反步(Backstepping)法可將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng),然后為每個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量,通過設(shè)計(jì)和修正虛擬控制律確保非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,可實(shí)現(xiàn)磁浮車輛系統(tǒng)的懸浮控制。該方法具有穩(wěn)定性分析無須線性化或近似,控制性能優(yōu)良的優(yōu)點(diǎn)。

首先搭建了磁浮車輛懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,然后基于反步法設(shè)計(jì)了新型懸浮控制器,借助 Lyapunov 函數(shù)最終獲得懸浮系統(tǒng)實(shí)際的控制律,然后基于 Lyapunov穩(wěn)定性理論嚴(yán)格證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 最后通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明所提控制方法的有效性。

1 磁浮車輛懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

懸浮系統(tǒng)是磁懸浮列車的核心部件之一,結(jié)構(gòu)如圖1所示。電磁鐵模塊沿磁浮列車的左側(cè)和右側(cè)兩邊排列。磁浮列車的懸浮架具有結(jié)構(gòu)解耦功能[12],每個(gè)單點(diǎn)懸浮控制系統(tǒng)可以認(rèn)為在一定范圍內(nèi)彼此獨(dú)立。因此,研究單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的控制性能具有通用性,可以將單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)視為控制器設(shè)計(jì)的最小動(dòng)力學(xué)單元[13]。

Nm為電磁鐵線圈匝數(shù)；xm(t)為懸浮間隙;Am為電磁鐵的磁極面積；Fm[im(t),xm(t)]表示電磁吸力；um(t)和im(t)分別表示電磁鐵線圈的電壓和電流；m為名義懸浮質(zhì)量；fd(t)為擾動(dòng)力；g為重力加速度圖1 磁浮列車懸浮系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of suspension system of maglev train

根據(jù)麥克斯韋方程和畢奧-薩伐爾定理,懸浮電磁鐵和軌道間的電磁吸力為

(1)

式(1)中：Wm[im(t),xm(t)]為磁場(chǎng)能量,可表示為

(2)

由電磁學(xué)的基爾霍夫定律可得

ψm[im(t),xm(t)]=Nmφm[im(t),xm(t)]=

(3)

式(3)中:ψm[im(t),xm(t)]表示間隙磁鏈；φm為總磁通量；R(xm)為磁阻,可表示為

(4)

式(4)中：μ0為真空磁導(dǎo)率。依據(jù)式(1)～式(4)可將懸浮電磁鐵和軌道間的電磁吸力改寫為

(5)

電磁鐵線圈的電壓可以表示為

(6)

(7)

式(7)中：Lm為電感,可描述為

(8)

由式(6)～式(8)做簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)變化,整理后有

(9)

將式(9)代入式(6)得

(10)

式(10)可以重新寫為

(11)

根據(jù)牛頓第二定律,得到系統(tǒng)垂向運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

將式(5)代入式(12)有

(13)

綜上所述,常規(guī)單點(diǎn)磁浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為

(14)

顯然,式(14)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性,對(duì)控制器的設(shè)計(jì)提出了很大的挑戰(zhàn)。

2 控制器設(shè)計(jì)

圖1所示的磁浮列車懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可由式(14)完全確定。目前懸浮控制系統(tǒng)采用串級(jí)控制的結(jié)構(gòu),將懸浮系統(tǒng)分為電流環(huán)和位置環(huán)兩個(gè)子系統(tǒng)[14]。電流環(huán)可由斬波器實(shí)現(xiàn),而針對(duì)位置環(huán)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì),此時(shí)為電流控制器u=im(t)。

e1=x1-xd

(15)

(16)

選取一級(jí)子系統(tǒng)的Lyapunov候選函數(shù)為

(17)

第一級(jí)子系統(tǒng)的虛擬控制量定義為u1,則

(18)

式(18)中：e2(t)為輔助信號(hào)誤差，其表達(dá)式為

e2(t)=-u1(t)+x2(t)

(19)

根據(jù)式(15)～式(19),設(shè)計(jì)u1為

(20)

式(20)中：c1為控制系數(shù),且c1>0。

將式(20)代入式(18)可得

(21)

對(duì)式(17)兩邊求導(dǎo)可得

(22)

(23)

式(23)中：V2為二級(jí)子系統(tǒng)的Lyapunov候選函數(shù)；V1為一級(jí)子系統(tǒng)的Lyapunov候選函數(shù)；e2為輔助信號(hào)誤差。

對(duì)式(23)兩邊求導(dǎo),并代入式(14)可得

(24)

根據(jù)Backstepping法和(24),設(shè)計(jì)非線性的懸浮控制器為

(25)

式(25)中：c2為控制器系數(shù),且c2>0。

為了證明Backstepping控制器的穩(wěn)定性,將式(25)代入式(24)可得

(26)

3 仿真分析

磁浮列車懸浮系統(tǒng)的參數(shù)取值如表1所示。

表1 懸浮系統(tǒng)的參數(shù)

對(duì)于Backstepping控制器,c1=40,c2=20。為了證明所提控制器的優(yōu)越性,將所提控制器的仿真結(jié)果和線性PD控制器的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

PD控制器的設(shè)計(jì)過程為:首先,利用泰勒公式在平衡點(diǎn)位置附近求得系統(tǒng)線性狀態(tài)。

令

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算,最終可得平衡點(diǎn)附近的懸浮系統(tǒng)的線性化方程為

(27)

設(shè)計(jì)線性PD控制器為

(28)

式(28)中：upd為PD控制器,kp為比例系數(shù),kd為微分系數(shù)。

根據(jù)式(27)和根軌跡法[4],可以選取PD控制器的參數(shù)為kp=4 500,kd=1 500。

通過MATLAB/Simulink搭建磁浮列車仿真模型,并分別采用線性PID控制器與Backstepping控制器,氣隙響應(yīng)的仿真結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，Backstepping法沒有傳統(tǒng)線性PD控制器中超調(diào)的現(xiàn)象,且所提控制方法的靜態(tài)誤差基本為零,而PD控制器靜態(tài)誤差為0.91 mm。超調(diào)和靜態(tài)誤差容易導(dǎo)致磁浮列車有效懸浮間隙變小,容易引發(fā)車輛撞擊軌道,威脅磁浮列車運(yùn)行安全。

圖2 懸浮氣隙響應(yīng)比較的仿真結(jié)果Fig.2 Comparison of response of suspension air gap of simulation results

磁浮列車在運(yùn)行中不可避免地會(huì)遭受外部干擾的影響。為了驗(yàn)證本文方法在干擾下的魯棒性,在仿真中引入如圖3所示的外部非線性干擾力。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 外部干擾力Fig.3 External disturbance force

圖4 干擾下懸浮氣隙響應(yīng)的仿真結(jié)果Fig.4 Response of air gap with disturbance of simulation results

由圖4可以看出,懸浮系統(tǒng)在外部干擾下存在0.31 mm的氣隙波動(dòng),但仍然能穩(wěn)定懸浮。這說明所提出的Backstepping具有很強(qiáng)的魯棒性。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過單點(diǎn)磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的控制策略的有效性。因?yàn)樵谌叽绲拇鸥×熊嚿献鰧?shí)驗(yàn)比較困難,搭建了如圖5所示的單電磁鐵懸浮系統(tǒng)。由電磁鐵、車廂載荷(添加鋼板改變質(zhì)量),二系彈簧和dSPACE 實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)組成。相關(guān)控制算法都可以在MATLAB/Simulink中編程實(shí)現(xiàn)對(duì)單點(diǎn)懸浮試驗(yàn)臺(tái)實(shí)時(shí)控制。

圖5 單點(diǎn)磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.5 Single point maglev experimental platform

實(shí)驗(yàn)將單點(diǎn)懸浮模塊從初始位置懸浮到目標(biāo)位置。其氣隙動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖6、圖7所示。

由圖6、圖7可知,所提出的Backstepping控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮,且沒有超調(diào)和靜態(tài)誤差,進(jìn)一步證明了該方法的有效性。

圖6 氣隙動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.6 Dynamic response of air gap

圖7 控制電流響應(yīng)Fig.7 Control current response

5 結(jié)論

針對(duì)磁浮列車的單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)的懸浮控制,提出了Backstepping控制方法。選取磁浮列車的單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)為最小動(dòng)力學(xué)單元,建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,并在MATLAB/Simulink中搭建懸浮控制系統(tǒng),進(jìn)行仿真研究。將Backstepping控制器和線性PD控制器進(jìn)行比較,結(jié)果表明Backstepping控制方法具有更好的動(dòng)態(tài)表現(xiàn),且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)存在外界干擾時(shí),也能很好的抑制干擾對(duì)懸浮系統(tǒng)的影響,魯棒性較強(qiáng)。最后,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制方法具有很快的響應(yīng)速度和很高的懸浮精度。因此該控制方法有效,符合磁浮列車懸浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求。