淺談數(shù)學建模中的智能優(yōu)化算法

關鍵詞：數(shù)學建模;智能優(yōu)化算法;

一、數(shù)學建模與智能優(yōu)化算法基礎理論

數(shù)學建模是一個復雜且系統(tǒng)的過程，它需要建模者深入細致地觀察問題，然后通過實驗、分析、判斷和歸納來建立。數(shù)學建模使連接數(shù)學和現(xiàn)實的橋梁[1]。在目前的高校數(shù)學專業(yè)教學中，教師往往通過數(shù)學建模教學培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力。數(shù)據(jù)建模的主要目的是解決現(xiàn)實中的問題，然而現(xiàn)實中的很多問題沒有良性結構，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法無法得到最優(yōu)解，這就需要根據(jù)問題的本來結構和規(guī)律建立符合問題實際的非標準模型，然后結合人的感知、分析、判斷、歸納等能力，從非標準模型中找到該問題的最優(yōu)解。

智能優(yōu)化算法具有全局、并行高效的優(yōu)化性能，具有通用性強、魯棒性強、無需問題特殊信息等優(yōu)點[2]。和傳統(tǒng)的優(yōu)化算法不同，智能優(yōu)化算法是從大自然中得到啟發(fā)，強調從事物本身存在的結構和規(guī)律尋找優(yōu)化問題的方法。例如，模擬退火算法是從固體物質的退火過程中得到的啟發(fā);遺傳算法是從大自然中生物的有勝率劣汰中得到的啟發(fā);等等。智能優(yōu)化算法可以通過調整個體結構、算法參數(shù)等計算出問題的答案。近年來，伴隨著互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等先進技術迅猛發(fā)展，現(xiàn)實中的問題越來越復雜。為了在既定時間內優(yōu)化問題，找到最優(yōu)解，需要積極應用各類智能優(yōu)化算法。

二、數(shù)學建模中常用的智能優(yōu)化算法

數(shù)學建模中常用的智能優(yōu)化算法有很多，如粒子群算法、蟻群算法、遺傳算法、模擬退火算法等。本文以粒子群算法、蟻群算法和遺傳算法為例進行分析說明。

1.粒子群算法

粒子群算法的“粒子”其實就是優(yōu)化問題的一個可行解。粒子群算法由美國學者Kennedy和Eberhart通過模擬鳥類群體覓食行為提出的一種智能優(yōu)化算法。該算法的主要流程是：（1）隨機初始化一定數(shù)量的粒子構成粒子群。（2）計算每個粒子的適應度值。（3）更新最優(yōu)粒子的位置和全局最優(yōu)位置。（4）更新當前迭代中最優(yōu)粒子的速度和位置。（5）例子群內的所有粒子跟隨當前的最優(yōu)粒子在解空間內進行全局搜索。（6）利用迭代尋優(yōu)和進化策略求出問題的最優(yōu)解。可以看出，粒子群算法是一種有效的全局尋優(yōu)算法，它主要通過粒子之間的協(xié)作和競爭來實現(xiàn)粒子在解空間內最優(yōu)解的探索。

粒子群算法魯棒性強。在數(shù)學建模中，粒子群算法容易描述和收斂，求解時，只需要較小的演化群體，因此調整的參數(shù)也非常少，求解速度較快[3]。但是，粒子群算法受粒子慣性權重和速度調節(jié)參數(shù)的影響很大，如果粒子群慣性權重和速度調節(jié)參數(shù)出現(xiàn)問題，就會大大影響粒子群算法的求解質量。例如，粒子群慣性權重等于零時，則粒子速率沒有記憶性，進而導致粒子群收縮到當前全局的最優(yōu)位置，不在搜索更優(yōu)解。

2.蟻群算法

蟻群算法是意大利學者Marco Dofigo等人在螞蟻集體覓食受到啟發(fā)提出的一種智能優(yōu)化算法。螞蟻在覓食時，能夠在沒有任何提示的情況下找到食物和巢穴之間的最短路徑。倘若原來的最短路徑上出現(xiàn)障礙，也會在很短時間內搜索到新的最短路徑。螞蟻之所以能夠在任何情況下找到食物和巢穴之間的最短路徑，其主要原因在于螞蟻在最短路徑上留下的信息素。蟻群算法的基本原理就是螞蟻覓食時最短路徑的選擇原理。該算法的基本流程是：（1）初始化蟻群規(guī)模、信息素因子、信息素常量、啟發(fā)函數(shù)因子、最大迭代次數(shù)等，同時將數(shù)據(jù)讀入數(shù)據(jù)并進行基本處理。（2）在不同位置放置螞蟻并計算螞蟻的目的地，直至所有螞蟻達到所有目的地。（3）計算每個螞蟻到達目的地的長度，計算當前迭代次數(shù)中的最優(yōu)解，同時更新所有螞蟻釋放在所經過路徑上的信息素總量。（4）輸出程序尋優(yōu)過程中的相關指標。

蟻群算法模擬螞蟻集體覓食時探索最短路徑的過程，在解決離散組合優(yōu)化方面具有很好的效果。在當前的數(shù)學建模中，組合優(yōu)化問題非常多，通過蟻群算法正好能解決這些組合優(yōu)化問題。

3.遺傳算法

遺傳算法首次提出是在Holland的專著《自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)的適應》之中。遺傳算法是一種典型的進化算法，是以生物進化規(guī)律（“適者生存”規(guī)律）為主要依據(jù)將問題在作為模擬的生物進化環(huán)境，讓種群中的個體在然進化的規(guī)則下尋找所出最優(yōu)解[4]。遺傳算法的主要流程是：（1）參數(shù)編碼。編碼方式主要是二進制編碼和實數(shù)編碼。（2）初始群體設定。隨機給出一群初始染色體（數(shù)據(jù)或數(shù)組），然后把這些染色體放置到問題模擬的生物進化環(huán)境之中。（3）適應度函數(shù)設計。適應度函數(shù)是區(qū)分群體中染色體好壞的標準。操作時，根據(jù)求解問題本身的要求設計適應度函數(shù)。（4）遺傳操作設計和控制參數(shù)設定。讓群中的染色體按照生物進化規(guī)律（交叉、變異）選擇出適應該環(huán)境的新的一群染色體。

遺傳算法的基本觀點是：最適合生存的個體往往產生了更大的后代群體，即“適者生存”。與其他智能優(yōu)化算法相比，遺傳算法沒有太多的數(shù)學要求，憑借染色體的進化特性能夠有效地進行全局搜索。對于一些較為復雜的組合優(yōu)化問題，遺傳算法通常能較快地獲得最優(yōu)解。然而，遺傳算法收斂速度較慢，計算時需要耗費較多的時間。

四、結語

在數(shù)學建模中，智能優(yōu)化算法能夠有效地解決一些較為復雜的組合優(yōu)化問題。但是，在實際應用時，建模者認真學習和掌握不同智能優(yōu)化算法的基礎理論，了解不同算法的流程、優(yōu)點與缺點、應用范圍等，應用各種智能優(yōu)化算法時，不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，這樣才能在建模時有的放矢，而不是生搬硬套。另外，建模者要多參加數(shù)學建模競賽，并在競賽中多應用智能優(yōu)化算法，多應用、多思考，從而不斷促進自己的智能優(yōu)化算法應用能力。

參考文獻：

[1]杜勇，齊肖陽，王秀娟.數(shù)學建模中智能優(yōu)化算法教學方法探究[J].高師理科學刊，2019，39（6）：73-76.

[2]黃娟，王軍.基于不同人工智能算法的數(shù)學建模優(yōu)化研究[J].自動化與儀器儀表，2018（6）：47-49.

[3]王先超，韓波，等.粒子群算法在求解數(shù)學建模最優(yōu)化問題中的應用[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），2016，33（2）：117-121.

[4]程適，王銳，等.群體智能優(yōu)化算法[J].鄭州大學學報（工學版），2018，39（6）：1-2.

作者簡介：程慧琴（1972.1）女，漢族，內蒙古包頭人，研究生，畢業(yè)于內蒙古師范大學，現(xiàn)為內蒙古科技大學理學院教師，副教授，研究方向：應用數(shù)學。

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