含峭壁V形峽谷對(duì)地震SH波散射的解析解

張寧， 潘家瑣， 代登輝， 高玉峰*

1 河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210098 2 河海大學(xué)土木與交通學(xué)院， 南京 210098

0 引言

當(dāng)?shù)卣鸩ㄓ龅綅{谷、高山等局部地形時(shí)會(huì)發(fā)生散射，散射波、入射波和反射波的相互作用會(huì)引起地震動(dòng)的放大或衰減，稱為地形效應(yīng)(周紅等，2010；田林等，2012).自從美國(guó)圣費(fèi)爾南多地震記錄的異常放大現(xiàn)象(Trifunac and Hudson, 1971)得到關(guān)注之后，國(guó)內(nèi)外大量的地震實(shí)測(cè)記錄和現(xiàn)場(chǎng)震害觀測(cè)進(jìn)一步證實(shí)了地形效應(yīng)的存在(王海云和謝禮立,2010；Hough et al., 2010；李平等, 2016).

為了揭示地形效應(yīng)機(jī)理，地震學(xué)和土木工程領(lǐng)域?qū)W者開(kāi)展了地表地形對(duì)地震地面運(yùn)動(dòng)影響規(guī)律的理論研究，包括數(shù)值模擬和解析分析兩類方法.數(shù)值研究眾多，例如有限差分法(Boore, 1972)、有限元法(廖振鵬和劉晶波,1992；章小龍等, 2017)、譜元法(李孝波等，2014；于彥彥等,2017；賀春暉等,2017)、邊界方法(林皋和關(guān)飛,1990；曹軍等,2004；巴振寧等,2017；Liu et al., 2018)及混合方法(Zhang and Zhao,1988；金峰等,1993；Zhou and Chen, 2006).數(shù)值方法可以模擬任意復(fù)雜地形情況，但其計(jì)算精度往往需要解析解的校準(zhǔn).解析方法主要是波函數(shù)展開(kāi)法，Trifunac(1973)提出的半圓形峽谷對(duì)地震SH波散射的波函數(shù)級(jí)數(shù)解成為早期經(jīng)典的解析解，隨后涌現(xiàn)出更多針對(duì)不同地形的解析解，如半橢圓形峽谷(Wong and Trifunac, 1974)、圓弧形峽谷(Yuan and Liao, 1994)、圓弧形飽和土峽谷(李偉華和趙成剛,2003)、圓弧形層狀峽谷(梁建文等,2003)、圓弧形層狀沉積谷(張郁山,2008，2010)、去底半圓形峽谷(Tsaur and Chang, 2009)、U形峽谷(Gao et al., 2012)、徑向非均質(zhì)半圓形峽谷(Zhang et al., 2017, 2019)等.這些解析解為數(shù)值方法提供了驗(yàn)證基準(zhǔn)，并且引領(lǐng)了新型數(shù)值方法(Dai et al., 2019)的發(fā)展.

圖1 含峭壁V形峽谷示例：亞利桑那州北部Glen峽谷Fig.1 An example of V-shaped canyon with cliffs: Glen canyon in northern Arizona

由于V形峽谷分布廣泛，這類地形對(duì)地震波的散射問(wèn)題得到了大量的數(shù)值(Sánchez-Sesma and Rosenblueth, 1979；趙崇斌等,1988)和解析(Tsaur and Chang, 2008；Tsaur et al., 2010；Zhang et al., 2012a，b；Gao and Zhang, 2013)研究.在長(zhǎng)期的地質(zhì)演變中，由于峽谷側(cè)壁的地應(yīng)力集中，這種峽谷最終傾向于演變成含峭壁V形峽谷，典型的例子如亞利桑那州北部科羅拉多河的Glen峽谷(如圖1).然而，含峭壁V形峽谷地形效應(yīng)研究尚未見(jiàn)報(bào)道.實(shí)際上，諸多峽谷具有峭壁，有必要開(kāi)展含峭壁峽谷地形對(duì)地震波的散射特性研究.因此，本文采用波函數(shù)展開(kāi)法提出了含峭壁V形峽谷對(duì)平面SH波散射的解析解，重點(diǎn)考察了上部峭壁對(duì)其地形效應(yīng)的影響.

1 模型和理論推導(dǎo)

圖2 平面SH波作用下含峭壁V形峽谷的二維模型Fig.2 2D model of a V-shaped canyon with cliffs subjected to a plane SH waves

對(duì)于穩(wěn)態(tài)反平面問(wèn)題，可省略時(shí)間因子e-iω t，則模型兩個(gè)區(qū)域的穩(wěn)態(tài)波場(chǎng)uj滿足亥姆霍茲方程(Pao and Mow, 1973)：

(1)

其中j=1,2,分別表示區(qū)域①和②，k=ω/cs表示波數(shù).

除了亥姆霍茲方程，兩個(gè)區(qū)域的波場(chǎng)uj還需要滿足水平地表、峽谷表面和峭壁表面的應(yīng)力自由條件：

(2)

(3)

(4)

另外，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，由虛擬邊界S1分割而成的兩區(qū)域的位移和應(yīng)力均須滿足連續(xù)性條件：

u1(r,θ)=u2(r,θ),r=b, 0≤|θ|≤β，

(5)

(6)

公式(5)和(6)可保證兩區(qū)域之間的位移和應(yīng)力匹配.

區(qū)域①的波場(chǎng)包含兩部分(自由場(chǎng)和散射場(chǎng))：

u1=uf+us,

(7)

自由場(chǎng)可以表示為

uf(r,θ)=exp[-ikrcos(θ+α)]

+exp[ikrcos(θ-α)]，

(8)

利用Jacobi-Anger展開(kāi)公式：

(9)

其中εn是紐曼因子(ε0=1，εn=2,n≥1)，Jn(·)是n階第一類貝塞函數(shù)，公式(8)中的自由場(chǎng)uf可以展開(kāi)成：

(10)

模型物理意義明確，散射波由河谷處產(chǎn)生、向無(wú)窮遠(yuǎn)處傳播，為了得到散射波場(chǎng)的唯一解，其應(yīng)該滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處Sommerfeld輻射條件：

(11)

通過(guò)分離變量法求解公式(1)并排除不滿足輻射條件(11)的波場(chǎng)后可以得到：

(12)

在區(qū)域②中，滿足峽谷底部應(yīng)力自由條件(公式(3))的駐波場(chǎng)u2可以表示為

(13)

其中Cn和Dn為待求系數(shù)，ν=π/(2β1).

為了便于問(wèn)題的解決，需要用Graf加法公式將局部坐標(biāo)系(r1,θ1)中的駐波場(chǎng)u2轉(zhuǎn)化到整體坐標(biāo)系(r,θ)中.推導(dǎo)得到相應(yīng)的變換公式為

(14)

其中h=h1+h2.

將公式(14)代入公式(13)，駐波場(chǎng)u2可以表示為

+1)ν+m]θ.

(15)

至此，利用前述區(qū)域分解策略完成了兩區(qū)域波場(chǎng)的構(gòu)建，且兩區(qū)域波場(chǎng)分別自動(dòng)滿足水平地表應(yīng)力自由條件(公式(2))和峽谷表面應(yīng)力自由條件(公式(3)).然而，波場(chǎng)的四組未知系數(shù)An、Bn、Cn和Dn仍然待定，需要利用余下的峭壁應(yīng)力自由條件(公式(4))和虛擬邊界連續(xù)條件(公式(5)和(6))完成求解，即區(qū)域匹配技術(shù)：

首先，補(bǔ)充區(qū)域②在峭壁上的零應(yīng)力條件，獲得區(qū)域②在與區(qū)域①的半圓形交界面上的分段應(yīng)力函數(shù)：

(16)

據(jù)此可將峭壁應(yīng)力自由條件(公式(4))和虛擬邊界應(yīng)力連續(xù)條件(公式(6))合并為

(17)

對(duì)式(17)兩邊同時(shí)關(guān)于θ在區(qū)間[-π/2,π/2]積分，并利用三角函數(shù)在此區(qū)間的正交性，整理可得關(guān)系式：

(18)

(19)

(20)

(21)

然后，利用虛擬邊界S1上的位移連續(xù)條件(公式(5))，將兩區(qū)域位移場(chǎng)在區(qū)間[-β,β]上積分得：

(22)

(23)

最后，將公式(18)和(19)分別代入公式(22)和(23)，得到下面僅和Cn、Dn有關(guān)的兩個(gè)方程組：

(24)

(25)

將各無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)?、保留有限?xiàng)之后即可進(jìn)行未知系數(shù)計(jì)算(n、m和p分別截取N、M和P項(xiàng)).求解公式(24)和(25)可得到系數(shù)Cn和Dn，隨后通過(guò)公式(18)和(19)求得An和Bn.得到這些未知系數(shù)后，半空間中的波場(chǎng)即已知.

關(guān)于N、M和P的取值，其中N代表級(jí)數(shù)解的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)量，需要通過(guò)級(jí)數(shù)解收斂測(cè)試確定.本文選取了峽谷表面5個(gè)代表性位置進(jìn)行了收斂測(cè)試.圖3給出了參數(shù)對(duì)應(yīng)α=30°、h1/b=h2/b=1/3和η=4的收斂測(cè)試結(jié)果.從圖3中可以看出，隨著N的逐漸增大，地表位移逐漸收斂至一個(gè)固定值.通過(guò)多頻率下的收斂測(cè)試，本文采用N=25即可獲得精確的結(jié)果.M和P要保證駐波場(chǎng)u2和自由場(chǎng)uf的坐標(biāo)變換精度，分別利用公式(14)和(9)的滿足情況確定其數(shù)值為M=150，P=150.

2 驗(yàn)證

為了方便起見(jiàn)，首先定義本文位移幅值|u|和無(wú)量綱頻率η：

(26)

(27)

其中Re(·)和Im(·)分別表示復(fù)位移的實(shí)部和虛部，λ表示入射SH波波長(zhǎng).

當(dāng)h1/b=0時(shí)，含峭壁的V形峽谷可以退化為V形峽谷；當(dāng)h2/b=0時(shí)，可退化為去底半圓形峽谷.Tsaur和Chang(2008，2009)分別給出了V形峽谷和去底半圓形峽谷的解析解，因此可以用來(lái)驗(yàn)證本文結(jié)果的準(zhǔn)確性.

圖4將本文的結(jié)果與Tsaur和Chang(2008)進(jìn)行了對(duì)比，對(duì)應(yīng)參數(shù)為h1/b=0，h2/b=1/2，η=1.圖5將本文的結(jié)果與Tsaur和Chang(2009)進(jìn)行了對(duì)比，參數(shù)為h1/b=1/2，h2/b=0，η=1.通過(guò)4個(gè)不同入射角度α=0°、30°、60°和90°下結(jié)果的良好吻合情況，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性.

圖3 峽谷表面五個(gè)代表性位置的地表位移收斂測(cè)試圖(α=30°, h1/b=h2/b=1/3, η=4)Fig.3 Convergence tests at five representative positions on the canyon surface (α=30°, h1/b=h2/b=1/3, η=4)

圖4 本文結(jié)果(實(shí)線，對(duì)應(yīng)參數(shù)：h2/b=0，h2/b=1/2，η=1)與Tsaur和Chang(2008)中無(wú)峭壁V形峽谷相應(yīng)結(jié)果(點(diǎn)線)的比較(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°.Fig.4 Comparison between the solution of this study (solid lines) when h1/b=0, h2/b=1/2, η=1 and the corresponding results (dotted lines) of the V-shaped canyon without steep cliffs given by Tsaur and Chang (2008)

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本方法的正確性和實(shí)用性，繼續(xù)采用退化V形峽谷模型模擬中國(guó)臺(tái)灣翡翠峽谷臺(tái)陣的地震動(dòng)并與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照.根據(jù)Huang和Chiu(1995)對(duì)1992年花蓮地震時(shí)翡翠河谷臺(tái)陣實(shí)測(cè)地震動(dòng)的分析，編號(hào)為SC1的臺(tái)站地震記錄相比SC4加速度峰值放大了2.69倍.

翡翠臺(tái)陣所在的河谷剖面如圖6a所示，利用本文方法為之建立V形峽谷模型(b=563 m，d=300 m，h1=0 m).由于1992年花蓮地震入射波數(shù)據(jù)缺失，本文采用PGA=0.2g的集集地震波作為入射波，利用本文模型求得臺(tái)站SC1和SC4處的地震動(dòng)頻域傳遞函數(shù)，然后據(jù)此得到臺(tái)站SC1和SC4的地震動(dòng)加速度時(shí)程，如圖6b所示(頻域轉(zhuǎn)時(shí)域方法參見(jiàn)Dai et al.，2019).其中臺(tái)站SC1和SC4處的模擬地震動(dòng)PGA分別為0.3324 g和0.1256 g，即SC1相對(duì)于SC4放大2.65倍，與前述實(shí)測(cè)2.69倍基本一致.可見(jiàn)，本方法可以較好地刻畫峽谷對(duì)地震動(dòng)的差異放大規(guī)律.

圖5 本文結(jié)果(實(shí)線，對(duì)應(yīng)參數(shù)h2/b=1/2，h2/b=0，η=1)與Tsaur和Chang(2009)中去底半圓形峽谷的相應(yīng)結(jié)果(虛線)的比較(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°.Fig.5 Comparison between the solution of this study (solid lines) when h1/b=1/2, h2/b=0, η=1 and the corresponding results (dotted lines) of truncated semicircular canyon given by Tsaur and Chang (2009)

圖6 本文方法對(duì)中國(guó)臺(tái)灣翡翠河谷地震動(dòng)的模擬(a) 翡翠河谷模型簡(jiǎn)圖(據(jù)Huang and Chiu, 1995)； (b) 集集地震入射下SC1臺(tái)站和SC4臺(tái)站SH波地震動(dòng)加速度時(shí)程模擬結(jié)果.Fig.6 Simulation of the ground motions for the Feitsui Canyon, Taiwan, China(a) Schematic diagram of Feitsui Canyon model (modified from Huang and Chiu, 1995)； (b) The calculated SH ground accelerations at positions SC1 and SC4 under the incidence of the Chi-Chi earthquake.

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本文聚焦上部峭壁對(duì)峽谷地形效應(yīng)的影響，故將參數(shù)h2/b設(shè)為固定值1/3，從而使得h1/b有較大的變化范圍.圖7—圖9分別為對(duì)應(yīng)3個(gè)入射波無(wú)量綱頻率η=0.5、1和4的峽谷地表位移幅值結(jié)果，每個(gè)無(wú)量綱頻率結(jié)果都包含4個(gè)不同入射角度(α=0°,30°,60°,90°)，實(shí)線結(jié)果對(duì)應(yīng)h1/b=0，虛線對(duì)應(yīng)h1/b=1/3，虛實(shí)線對(duì)應(yīng)h1/b=2/3.為了方便比較，x/b的計(jì)算范圍選取為-4到4.

圖7 對(duì)應(yīng)η=0.5和不同入射角度的地表位移幅值結(jié)果(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°.黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)h1/b=0，h2/b=1/3；紅色虛線對(duì)應(yīng)h1/b=1/3，h2/b=1/3；藍(lán)色點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)h1/b=2/3，h2/b=1/3.Fig.7 Surface displacement amplitudes at four different incident angles and η=0.5(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°. h1/b=0, h2/b=1/3 (black solid lines), h1/b=1/3, h2/b=1/3 (red dashed lines), h1/b=2/3, and h2/b=1/3 (blue dotted lines).

圖8 對(duì)應(yīng)η=1和不同入射角度的地表位移幅值結(jié)果(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°.黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)h1/b=0，h2/b=1/3；紅色虛線對(duì)應(yīng)h1/b=1/3，h2/b=1/3；藍(lán)色點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)h1/b=2/3，h2/b=1/3.Fig.8 Surface displacement amplitudes at four different incident angles and η=1(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°. h1/b=0, h2/b=1/3 (black solid lines), h1/b=1/3, h2/b=1/3 (red dashed lines), h1/b=2/3, and h2/b=1/3 (blue dotted lines).

圖9 對(duì)應(yīng)η=4和不同入射角度的地表位移幅值結(jié)果(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°.黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)h1/b=0，h2/b=1/3；紅色虛線對(duì)應(yīng)h1/b=1/3，h2/b=1/3；藍(lán)色點(diǎn)劃線對(duì)應(yīng)h1/b=2/3，h2/b=1/3.Fig.9 Surface displacement amplitudes at four different incident angles and η=4(a) α=0°; (b) α=30°; (c) α=60°; (d) α=90°. h1/b=0, h2/b=1/3 (black solid lines), h1/b=1/3, h2/b=1/3 (red dashed lines), h1/b=2/3, and h2/b=1/3 (blue dotted lines).

從圖7—圖9的結(jié)果可以看出，含峭壁V形峽谷的地表位移幅值在自由場(chǎng)位移幅值2上下波動(dòng)(|u|>2表示放大，|u|<2表示減小)，峽谷峭壁對(duì)地表位移幅值具有重要影響.一方面，峭壁使得地震放大效應(yīng)更為顯著，通過(guò)比較h1/b=2/3和h1/b=0兩種情況，可以發(fā)現(xiàn)含峭壁峽谷的地表位移幅值可達(dá)不含峭壁峽谷的2倍.另一方面，隨著峭壁深度h1/b從1/3增大至2/3，位移振幅的最大值增大，而位移振幅的最小值減小.總之，峭壁對(duì)V形峽谷地形效應(yīng)具有顯著的增強(qiáng)作用，這意味著在地震作用下峭壁峽谷周邊的建筑物將會(huì)遭受更為劇烈的振動(dòng)，可能會(huì)造成更大的震害.

對(duì)于地震波豎向入射的情況(如圖7a、圖8a和圖9a所示)，由于波的聚焦，地表位移幅值的最大值往往發(fā)生在峽谷兩肩.不同于具有對(duì)稱性的豎向入射結(jié)果，地震波斜入射的情況(圖7(b—d)、圖8(b—d)和圖9(b—d))展示出左右不對(duì)稱的地表位移幅值.迎波側(cè)比背波側(cè)的位移幅值波動(dòng)得更加頻繁，隨著入射角度的增加，這種不對(duì)稱表現(xiàn)得更加明顯.在小角度斜入射(α=30°)的情況下，迎波側(cè)的位移振幅僅略大于背波側(cè)，而對(duì)于大角度斜入射(α=60°, 90°)的情況，兩側(cè)差別更加明顯.隨著無(wú)量綱頻率η的增大，位移振幅的放大和減小越來(lái)越明顯，說(shuō)明峽谷成為一個(gè)有效的障礙物，短波穿越峽谷到達(dá)對(duì)岸的能力越來(lái)越弱.在圖7(b—d)、圖8(c—d)和圖9d中，陰影區(qū)的位移幅值曲線趨于平穩(wěn)，即體現(xiàn)了峭壁峽谷的濾波屏蔽效應(yīng).

圖10展示了在三種入射角度下V形峽谷地表位移幅值隨著無(wú)量綱位置x/b和無(wú)量綱頻率η的變化情況，其中圖10(a—c)是不含峭壁的情況(h1/b=0)、圖10(d—f)是含峭壁的情況(h1/b=1/3).圖中可見(jiàn)，隨著無(wú)量綱頻率的增大，含峭壁峽谷的地形放大形態(tài)趨于復(fù)雜.在同一入射角下，峭壁的存在使得峽谷兩側(cè)表現(xiàn)出更為明顯的放大效應(yīng)，也就是說(shuō)峭壁的出現(xiàn)對(duì)峽谷地形效應(yīng)有加劇作用.

圖10 不同角度下含峭壁和不含峭壁峽谷地表位移幅值隨位置x/b和無(wú)量綱頻率η的變化圖(a) α=0°，h1=0，h2=1/3; (b) α=45°，h1=0，h2=1/3; (c) α=90°， h1=0，h2=1/3; (d) α=0°，h1=1/3，h2=1/3; (e) α=45°，h1=1/3，h2=1/3; (f) α=90°，h1=1/3，h2=1/3.Fig.10 Ground surface displacement amplitudes as a function of position x/b and dimensionless frequency η for canyons with and without steep cliffs at four different incident angles

4 結(jié)論

本文提出了含峭壁V形峽谷對(duì)地震SH波散射的波函數(shù)級(jí)數(shù)解，揭示了含峭壁V形峽谷對(duì)地震動(dòng)的地形放大效應(yīng).本文解析模型可退化為不含峭壁的V形峽谷和去底半圓形峽谷兩個(gè)已有解析模型，通過(guò)退化計(jì)算驗(yàn)證了本文方法.計(jì)算結(jié)果表明上部峭壁對(duì)峽谷地震動(dòng)具有重要影響，峭壁峽谷(h1/b=2/3)較無(wú)峭壁峽谷(h1/b=0)對(duì)地表位移幅值的放大差異可達(dá)200%，且較陡的峭壁明顯加劇峽谷的地震放大效應(yīng)，也就增加了周圍建筑物的震害風(fēng)險(xiǎn)，值得工程師的關(guān)注.本文結(jié)論基于二維峽谷場(chǎng)地SH波散射模型，關(guān)于峽谷場(chǎng)地的三維效應(yīng)以及P波和SV波等其他類型地震波的散射特征，尚需進(jìn)一步探索.