轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)滾動(dòng)活塞角速度的計(jì)算方法比較

梁 鵬，郭 峰，王曉波

（1.青島理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，山東 青島 266520；2.中國(guó)科學(xué)院蘭州化學(xué)物理研究所固體潤(rùn)滑國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000）

1 引言

壓縮機(jī)可分為容積式和速度式，容積式壓縮機(jī)包括轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)、活塞式壓縮機(jī)[1]、渦旋式壓縮機(jī)[2]及螺桿式壓縮機(jī)等，而其中的轉(zhuǎn)子滾動(dòng)式壓縮機(jī)以其工作平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、重量輕等諸多優(yōu)良品質(zhì)得到了廣泛應(yīng)用，如家用空調(diào)、電冰箱及小型商用制冷設(shè)備。絕大部分2.2kW（3P）以下的家用空調(diào)均采用轉(zhuǎn)子式壓縮機(jī)。轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)內(nèi)的滾動(dòng)活塞是實(shí)現(xiàn)其工作原理的最重要部件之一，滾動(dòng)活塞的運(yùn)動(dòng)由兩部分（隨主軸繞氣缸中心的公轉(zhuǎn)和繞主軸中心的自轉(zhuǎn)）組成，其復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)很難進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量，故對(duì)活塞角速度的研究大多依靠理論計(jì)算?；钊撬俣鹊木_計(jì)算對(duì)于研究各部件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速率、受力分析、壓縮機(jī)摩擦功耗及偏心輪軸平衡等都非常重要。

目前，很多學(xué)者提出了各自的方法來(lái)計(jì)算滾動(dòng)活塞的角速度，如精確迭代法，簡(jiǎn)化解析式法和平均值法。精確迭代法雖然計(jì)算準(zhǔn)確，但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜；簡(jiǎn)化解析式法和平均值法計(jì)算簡(jiǎn)單，但精確度稍差。文獻(xiàn)[3]分別利用迭代法求解滾動(dòng)活塞的運(yùn)動(dòng)微分方程，從而計(jì)算活塞角速度并利用角速度值求解壓縮機(jī)的摩擦損失。文獻(xiàn)[4]通過(guò)迭代法求解納米冷凍機(jī)油潤(rùn)滑條件下壓縮機(jī)活塞的角速度，研究冷凍機(jī)油對(duì)壓縮機(jī)摩擦功耗的影響。文獻(xiàn)[5]假設(shè)滾動(dòng)活塞處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，并將滾動(dòng)活塞視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的自由體，推導(dǎo)出活塞角速度的簡(jiǎn)化解析式。文獻(xiàn)[6]利用此簡(jiǎn)化解析式計(jì)算活塞角速度，繼而對(duì)CO2跨臨界循環(huán)膨脹機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行計(jì)算，為膨脹機(jī)的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。有些學(xué)者通過(guò)更進(jìn)一步的條件簡(jiǎn)化，得到活塞角速度的平均值公式。文獻(xiàn)[7-8]認(rèn)為活塞處于近似穩(wěn)定狀態(tài)，其角速度為常量，通過(guò)推導(dǎo)得到活塞角速度的平均值公式，并根據(jù)算例中的參數(shù)計(jì)算某型號(hào)壓縮機(jī)的活塞角速度值。文獻(xiàn)[9]通過(guò)簡(jiǎn)化條件推導(dǎo)出活塞角速度的另一種平均值公式，并利用此公式計(jì)算家用冰箱旋轉(zhuǎn)壓縮機(jī)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)活塞角速度計(jì)算的精確度對(duì)于壓縮機(jī)動(dòng)力學(xué)研究的準(zhǔn)確性非常關(guān)鍵，近年來(lái)提出的簡(jiǎn)化解析式法和平均值法雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，但是其精確程度有待討論，通過(guò)文獻(xiàn)檢索并未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于兩種方法的精度對(duì)比研究。故在之前的研究基礎(chǔ)上[10]，利用三種方法（精確迭代法，簡(jiǎn)化解析式法和平均值法）分別計(jì)算滾動(dòng)活塞角速度，并研究潤(rùn)滑油粘度、主軸轉(zhuǎn)速、滾動(dòng)活塞與氣缸端蓋間隙、滾動(dòng)活塞與偏心輪間隙等參數(shù)對(duì)活塞角速度的影響。

2 活塞角速度的三種計(jì)算方法

滑片是與滾動(dòng)活塞直接接觸的零部件，首先對(duì)滑片的受力進(jìn)行簡(jiǎn)單分析?；\(yùn)動(dòng)中受到較多力的影響，如滾動(dòng)活塞與滑片頂端之間的接觸力Fn和摩擦力Ft，滑片槽與滑片之間的接觸力FR1、FR2以及摩擦力FRt1、FRt2等。在滑片所受外力中，F(xiàn)n是滑片與滾動(dòng)活塞相互作用的一個(gè)重要作用力，其計(jì)算公式為：

式中：μs—滑片槽與滑片間的摩擦系數(shù)；Fh—滑片伸到氣缸內(nèi)的部分受到的壓差；l0—滑片的徑向長(zhǎng)度；Bv—滑片的厚度。

滾動(dòng)活塞在工作過(guò)程中有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：活塞隨著偏心主軸繞氣缸中心的公轉(zhuǎn)以及活塞繞著偏心主軸軸心的自轉(zhuǎn)。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程可得活塞的運(yùn)動(dòng)微分方程[4]：

式中：ωp—滾動(dòng)活塞的角速度；Ipo—滾動(dòng)活塞的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Ma、Mb、Mc—活塞與氣缸內(nèi)壁、氣缸端蓋、偏心主軸間的摩擦力矩。式子（2）可以采用改進(jìn)歐拉法迭代求解。

如果假設(shè)滾動(dòng)活塞處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即將其視為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的自由體，則可求解出滾動(dòng)活塞角速度的簡(jiǎn)化解析式為[6]：

式中：r、r1—滾動(dòng)活塞的外徑和內(nèi)徑；μv—滑片端部與滾動(dòng)活塞間的摩擦系數(shù)；Re—偏心輪半徑；le—偏心輪長(zhǎng)度；αF—油膜弧角；ω—偏心主軸的角速度；δ4—油膜的平均厚度。

如果假設(shè)滾動(dòng)活塞的角速度為一個(gè)恒定值，則活塞的角速度平均值公式為[7]：

式中：R—?dú)飧變?nèi)徑；μ—潤(rùn)滑油的動(dòng)力粘度；δe—滾動(dòng)活塞與偏心主軸的間隙；δ2—滾動(dòng)活塞與氣缸端蓋的間隙。

3 活塞角速度計(jì)算方法的準(zhǔn)確性比較

利用MATLAB 軟件分別編寫(xiě)了精確迭代法（式（2））、簡(jiǎn)化解析式法（式（3））及平均值法（式（4））三種方法的計(jì)算程序，利用三種方法計(jì)算某型號(hào)轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)滾動(dòng)活塞的角速度，并研究潤(rùn)滑油粘度μ、主軸轉(zhuǎn)速n、滾動(dòng)活塞與氣缸端蓋間隙δ2、滾動(dòng)活塞與偏心主軸間隙δe對(duì)活塞角速度的影響。仿真過(guò)程中，該型號(hào)轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)可參考文獻(xiàn)[11]。首先，需要對(duì)迭代法程序的精確性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)合文獻(xiàn)[12]，將迭代法程序計(jì)算的活塞角速度與文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖1 所示。從圖中可以看出，迭代法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果一致性較好，證明迭代法程序計(jì)算精準(zhǔn)，可用于比較和評(píng)價(jià)其他兩種方法（簡(jiǎn)化解析式法和平均值法）的準(zhǔn)確性。

圖1 迭代法精確性的驗(yàn)證Fig.1 Verification of Accuracy of Iterative Method

不同工況下利用三種方法（精確迭代法，簡(jiǎn)化解析式法和平均值法）計(jì)算得到的滾動(dòng)活塞角速度，圖中同一種顏色曲線代表利用同一種方法得到的結(jié)果，而不同的線型代表不同的工況，如圖2～圖5 所示。潤(rùn)滑油粘度μ 不同時(shí)，三種方法得到的滾動(dòng)活塞角速度值，如圖2 所示。從圖中可以看出：（1）隨著潤(rùn)滑油粘度的升高，迭代法計(jì)算出的滾動(dòng)活塞角速度ωp值是增大的，且ωp隨著主軸轉(zhuǎn)角θ 的變化趨勢(shì)類(lèi)似于弦函數(shù)；（2）利用簡(jiǎn)化法計(jì)算得到的滾動(dòng)活塞角速度ωp整體變化趨勢(shì)與迭代法得到的ωp近似相同，但數(shù)值上卻差別較大且簡(jiǎn)化法計(jì)算值偏小，平均法得到的滾動(dòng)活塞角速度ωp僅僅是一個(gè)恒定值且比迭代法計(jì)算值大很多；（3）簡(jiǎn)化法得到的ωp計(jì)算結(jié)果在最大值及附近區(qū)域隨潤(rùn)滑油粘度增大而減小，但在其他區(qū)域ωp卻隨潤(rùn)滑油粘度增大而增大，這與迭代法計(jì)算的ωp變化趨勢(shì)一致；（4）潤(rùn)滑油粘度對(duì)平均法計(jì)算的ωp值影響很小，但平均法的ωp也是隨著潤(rùn)滑油粘度增大而略微增大，此變化趨勢(shì)也與迭代法計(jì)算的ωp一致。

圖2 不同潤(rùn)滑油粘度μ 時(shí)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Oil Viscosity（μ）

利用三種方法仿真計(jì)算主軸轉(zhuǎn)速n 不同時(shí)滾動(dòng)活塞角速度ωp，如圖3 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)：不論采用何種方法，計(jì)算得到的活塞角速度ωp都隨著主軸轉(zhuǎn)速n 的增大而明顯提高；雖然簡(jiǎn)化法得到的ωp值變化趨勢(shì)與迭代法的ωp趨勢(shì)一致，但兩者之間差距仍然明顯，且差距隨轉(zhuǎn)速n 的增大而越發(fā)顯著；平均法計(jì)算的ωp仍然對(duì)主軸轉(zhuǎn)角θ 的變化不敏感，且平均法與迭代法的ωp值差距隨主軸轉(zhuǎn)速的增大而增大。

圖3 不同主軸轉(zhuǎn)速n 時(shí)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Speed（n）

圖4 不同δ2（滾動(dòng)活塞與氣缸端蓋的間隙）時(shí)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Clearance（δ2）Between Rolling Piston and Cylinder End Cap

圖5 不同δe（滾動(dòng)活塞與偏心主軸的間隙）時(shí)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Clearance（δe）Between Rolling Piston and Eccentric Shaft

壓縮機(jī)內(nèi)部很多零件之間存有間隙，這些間隙的大小會(huì)影響摩擦力，繼而影響滾動(dòng)活塞的角速度。不同δ2（滾動(dòng)活塞與氣缸端蓋的間隙）和δe（滾動(dòng)活塞與偏心主軸的間隙）時(shí)滾動(dòng)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果，如圖4、圖5 所示。從兩圖可以看出：（1）隨著δ2的增大，迭代法和平均法計(jì)算得到的活塞角速度ωp也是增大的，但δ2值越大其對(duì)活塞角速度ωp的影響越弱，這從δ2=10μm 和δ2=20μm 時(shí)ωp 的曲線非常逼近可以看出；（2）簡(jiǎn)化法計(jì)算得到的ωp在最大值及附近區(qū)域隨著間隙δ2增大而增大，但在其他區(qū)域變化趨勢(shì)卻相反；（3）雖然簡(jiǎn)化法得到的ωp與迭代法得到的ωp變化趨勢(shì)相近，但其數(shù)值上的差距隨著間隙δ2的增大而越來(lái)越明顯；（4）不論采用何種計(jì)算方法，隨著間隙δe的增大，活塞角速度ωp是減小的；（5）當(dāng)δe=0.5μm 和δe=12.5μm 時(shí)，簡(jiǎn)化法與迭代法的計(jì)算結(jié)果差別較大，而當(dāng)δe=2.5μm 時(shí)，兩種方法的計(jì)算結(jié)果差別卻較小，這說(shuō)明存在最優(yōu)間隙δe 可使簡(jiǎn)化法與迭代法的計(jì)算結(jié)果非常接近；（6）隨著δe的增大，平均法計(jì)算的ωp與迭代法計(jì)算的ωp差距越來(lái)越大。綜上分析可知，三種方法（迭代法、平均法、簡(jiǎn)化法）都可以計(jì)算活塞角速度，但其特點(diǎn)和適用范圍不同：（1）迭代法計(jì)算的ωp值精確（如圖1 所示）但需要編寫(xiě)較為復(fù)雜的程序進(jìn)行反復(fù)迭代（見(jiàn)式2），此方法適用于活塞角速度、壓縮機(jī)摩擦功耗等參數(shù)的理論仿真研究；（2）平均法計(jì)算公式簡(jiǎn)單（見(jiàn)式4），但計(jì)算結(jié)果為一個(gè)比精確值大的恒定值（如圖2-圖5 所示，平均法計(jì)算結(jié)果為水平線），且計(jì)算誤差較大，例如，圖2 中平均法計(jì)算得到的ωp最大絕對(duì)誤差可達(dá)73.58rad/s，而最大相對(duì)誤差可達(dá)146.85%；（3）相比于平均法，簡(jiǎn)化法計(jì)算公式同樣簡(jiǎn)單（見(jiàn)式3），但其優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算的ωp值不僅變化趨勢(shì)和精確值（即迭代法得到的ωp）相同，且計(jì)算精度也明顯提高（如圖2～圖5 所示），例如，圖2 中簡(jiǎn)化法的計(jì)算結(jié)果與精確值相比，最大絕對(duì)誤差為28.03rad/s，最大相對(duì)誤差為45.17%。雖然簡(jiǎn)化法和平均法計(jì)算ωp值的精度都不算很高，但由于兩種方法的公式簡(jiǎn)單，不需要借助程序迭代而可以方便地應(yīng)用于人工計(jì)算，兩種方法可聯(lián)立用于壓縮機(jī)的設(shè)計(jì)，平均法計(jì)算ωp的結(jié)果可作為活塞角速度的上極限，簡(jiǎn)化法的結(jié)果可以作為活塞角速度的下極限（絕大部分情況下簡(jiǎn)化法的計(jì)算結(jié)果小于精確值），且簡(jiǎn)化法還可以預(yù)測(cè)活塞角速度的變化趨勢(shì)。

4 結(jié)論

利用轉(zhuǎn)子壓縮機(jī)活塞角速度的精確迭代法檢驗(yàn)和比較了其他兩種計(jì)算方法（簡(jiǎn)化解析式法和平均值法）。給出了滾動(dòng)活塞角速度的精確迭代公式、簡(jiǎn)化條件后的近似解析式以及平均值公式，利用MATLAB 軟件實(shí)現(xiàn)活塞角速度的三種計(jì)算方法，并對(duì)活塞角速度的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，總結(jié)如下：

（1）精確迭代法的計(jì)算精度非常高，但是需要利用計(jì)算機(jī)編寫(xiě)較為復(fù)雜的程序并進(jìn)行反復(fù)迭代求解；

（2）平均值法的計(jì)算公式非常簡(jiǎn)單，適合于人工計(jì)算，但計(jì)算的活塞角速度ωp不僅為恒定值，而且數(shù)值大大高于精確ωp值，即相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差比較大；

（3）簡(jiǎn)化法的計(jì)算公式同樣簡(jiǎn)單，但其優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算得到的活塞角速度ωp變化趨勢(shì)與迭代法一致，且計(jì)算精度要明顯高于平均值法；

（4）活塞角速度ωp隨著主軸轉(zhuǎn)速的增大（或潤(rùn)滑油粘度的升高）而具有明顯的增大趨勢(shì)；

（5）隨著間隙δ2的增大，活塞角速度ωp也是增大的，但δ2越大其對(duì)活塞角速度ωp的影響越弱；隨著間隙δe 的增大，活塞角速度ωp是減小的。