基于最小勢(shì)能法的二維邊坡整體滑動(dòng)方向研究

孫 加 平，詹 鳳 程，陳 延 可，康 念 坤

(江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江西 萍鄉(xiāng) 337000)

邊坡的穩(wěn)定性評(píng)價(jià)是巖土領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問(wèn)題[1-3]。最小勢(shì)能法是一種新的評(píng)價(jià)方式，由于無(wú)需迭代，得到了一些學(xué)者的青睞[4-6]。最小勢(shì)能法總體思路是先確定系統(tǒng)勢(shì)能最小時(shí)的虛位移，然后根據(jù)胡克定律、莫爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則確定滑面的法向力以及剪切力，最后依據(jù)穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果評(píng)價(jià)邊坡的穩(wěn)定性。從目前的研究成果來(lái)看，穩(wěn)定系數(shù)的定義方式主要分為兩類：① 通過(guò)抗滑力矩與下滑力矩的比值確定[7-9]；② 將力視為矢量，通過(guò)選取合適的投影軸，將作用力在滑體上投影得到抗滑力與下滑力，二者的比值確定穩(wěn)定系數(shù)[10-13]。其中，第一種定義方式僅適用于圓弧形滑面，而對(duì)任意形狀滑面適用性較差。并且，該種定義方式將力的運(yùn)算視為標(biāo)量，忽略了力的矢量特性。因此，第二種定義方式應(yīng)用較為廣泛，該種定義方式考慮了力為矢量這一要素，但對(duì)于投影軸(即滑體的整體運(yùn)動(dòng)方向)的合理選取研究不夠完善。同時(shí)，剪切勢(shì)能的計(jì)算模型忽略了微元體間作用力的影響，理論上缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。

因此，針對(duì)利用最小勢(shì)能法分析二維邊坡穩(wěn)定性的不足，本文對(duì)剪切勢(shì)能計(jì)算模型、滑體整體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)開(kāi)展研究，以期尋找最為合理的滑體運(yùn)動(dòng)方向，完善最小勢(shì)能理論在邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用。為驗(yàn)證文中研究成果的可靠性，計(jì)算分析了兩個(gè)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)以及滑動(dòng)方向，并將分析結(jié)果與其他算法進(jìn)行對(duì)比。

1 二維邊坡最小勢(shì)能分析方法

1.1 滑移面彈性勢(shì)能

如圖1所示的任意形狀滑動(dòng)面邊坡，其方程為y=fx。建立的模型采用如下假定[14-15]：① 滑面法向的彈性變形可用剛度系數(shù)為k的彈簧模擬，且k=mdl；② 邊坡受到一個(gè)外力R=R1，R2產(chǎn)生微小許可的位移d=d1，d2，該位移稱為虛位移，且其使得滑體系統(tǒng)勢(shì)能最小。

圖1 任意形狀滑動(dòng)面Fig.1 Slip surface of arbitrary shape

通過(guò)引入彈性地基梁模型，可得滑面上儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ve為

(1)

式中：m為與土體性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，kN/m3；η為滑面外法線方向矢量；dl為滑面微段弧長(zhǎng)，m。

1.2 滑移面剪切勢(shì)能

土體受剪切變形影響的深度為h，則儲(chǔ)存的剪切勢(shì)能為[7]

(2)

則式(2)可以轉(zhuǎn)化為

(3)

式中：d′為滑床與滑面產(chǎn)生的相對(duì)位移，m。

土體的剪切變形示意圖如圖2所示，易知：

d′=-t·d

(4)

圖2 土體剪切變形示意Fig.2 Schematic diagram of soil shear deformation

通過(guò)式(2)～(3)可知，剪切勢(shì)能計(jì)算的關(guān)鍵在于滑面與滑床相互滑移時(shí)產(chǎn)生的剪應(yīng)力τ′。從現(xiàn)有的研究來(lái)看，對(duì)于切應(yīng)力τ′的計(jì)算有兩種方式：文獻(xiàn)[7]認(rèn)為τ′沿著滑動(dòng)面均勻分布，可通過(guò)滑體力矩平衡方程確定τ′；文獻(xiàn)[13，15]以滑體任意微元體為研究對(duì)象，通過(guò)虛位移方向的靜力平衡方程確定τ′。一般而言，滑面上任意一點(diǎn)的剪應(yīng)力并不相同，且文獻(xiàn)[7]的計(jì)算方式僅僅適用于圓弧形滑面，應(yīng)用具有局限性。同時(shí)，滑體中單元體的受力情況較為復(fù)雜，任何關(guān)于條間力的假定都會(huì)給計(jì)算結(jié)果帶來(lái)影響，而文獻(xiàn)[13，15]忽略了條間力的影響，理論上略顯不嚴(yán)謹(jǐn)。

鑒于此，本文提出了一種新的滑面剪應(yīng)力計(jì)算方法，通過(guò)滑體整體沿著虛位移方向的靜力平衡關(guān)系確定滑面上的剪應(yīng)力τ′，這樣處理避免了條間力的假定，且適用于任意形狀的滑移面，即

(5)

(6)

根據(jù)式(3)、(4)以及(6)可得：

(7)

1.3 滑體外力勢(shì)能與總勢(shì)能

滑體系統(tǒng)儲(chǔ)存的總勢(shì)能V為

(8)

根據(jù)最小勢(shì)能原理可知，系統(tǒng)勢(shì)能最小虛位移d應(yīng)滿足

(9)

1.4 穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算

根據(jù)力與虛位移的關(guān)系，便可求得滑面上的法向力N以及剪切力T，即

(10)

式中：c為土體的凝聚力，kPa；φ為土體的內(nèi)摩擦角，°；σ為滑面上的法向應(yīng)力，kPa。

本文將穩(wěn)定系數(shù)K定義為滑體上的作用力在整體運(yùn)動(dòng)方向上投影得到的抗滑力與下滑力的比值，即

(11)

式中：Fanti為抗滑力，kN；Fslid為下滑力，kN；s為滑體整體運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量。

2 3種整體下滑方向模型

從式(11) 可知，運(yùn)用最小勢(shì)能法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定性分析，不同的整體下滑方向得到的穩(wěn)定系數(shù)是不同的。通過(guò)分析計(jì)算，文中對(duì)3種整體下滑方向進(jìn)行了探究。

(1) 方法1。由于系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)微小位移之后，處于穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，因此將滑體的虛位移方向視為邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向，即

s=d

(12)

(2) 方法2。由于邊坡會(huì)沿著抵抗力最小的方向發(fā)生運(yùn)動(dòng)，并且坡體內(nèi)部的應(yīng)力會(huì)自動(dòng)調(diào)整以發(fā)揮最大的抗滑能力[16]。顯然，對(duì)于二維邊坡的穩(wěn)定性分析而言，滑面上一點(diǎn)處的抗滑力應(yīng)為該點(diǎn)的切線方向。由于滑動(dòng)方向與抗滑方向相反，則滑體整體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)楦魑⒚婵够较蚴噶亢铣傻南喾捶较?。因此，滑面上的抗滑力在坐?biāo)軸上的分量為

(13)

則滑體整體運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量s為

(14)

(3) 方法3。將滑體的整體運(yùn)動(dòng)方向視為剪入點(diǎn)C到剪出點(diǎn)A的方向，即

s=xA-xC，yA-yC

(15)

式中：xA、xC為A、C的橫坐標(biāo)；yA、yC為A、C的縱坐標(biāo)。

3 算例驗(yàn)證

3.1 算例1

邊坡的幾何尺寸如圖3所示，坡高為20 m，滑面為圓弧形，邊坡的幾何尺寸信息已在圖中示出。已知：土體c=15 kPa，φ=30°，容重γ=18.4 kN/m3。運(yùn)用本文方法、極限平衡法得到的計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖3 邊坡算例1示意圖(尺寸單位：m)Fig.3 Schematic diagram of slope calculation example 1

從表1的計(jì)算結(jié)果可以看出：最小勢(shì)能法得到的結(jié)果與極限平衡法較為接近，相對(duì)誤差(與Bishop法對(duì)比)分別為1.0%、0.2%以及4.7%，滿足工程許可的范圍。并且，基于最小勢(shì)能法的3種計(jì)算方式得到的穩(wěn)定系數(shù)相對(duì)誤差亦在工程允許范圍內(nèi)，表明文中的3種計(jì)算方式在該算例中均是適用的。表1中方法1、方法2給出的下滑方向角度數(shù)值相同，但穩(wěn)定系數(shù)不同。經(jīng)過(guò)計(jì)算可知，方法1、方法2得到的角度結(jié)果在小數(shù)點(diǎn)第13位不同，而在MATLAB程序中參與運(yùn)算的位數(shù)為30位，故而出現(xiàn)了上述情況。由于Bishop法的計(jì)算精度得到了業(yè)界的認(rèn)可，多個(gè)行業(yè)的規(guī)范均采用該種計(jì)算方法，因此從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，方法2的整體下滑運(yùn)動(dòng)方向模型更為合理。

表1 穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Stability factor calculation results

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法2是否最為合理，下文將通過(guò)兩種方式進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1.1固定滑面方式

在上述算例的基礎(chǔ)上，保持邊坡的幾何形狀以及滑動(dòng)面不變，通過(guò)改變土體的c、φ值來(lái)計(jì)算不同方法下的邊坡穩(wěn)定系數(shù)，并將得到的結(jié)果與Bishop法進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 穩(wěn)定系數(shù)K與c、φ關(guān)系Fig.4 Relationship between stability factor K and c、φ

圖4表示了邊坡的穩(wěn)定系數(shù)與土體凝聚力c、內(nèi)摩擦角φ之間的關(guān)系。從圖4(a)中可以看出：在保持γ=18.4 kN/m3、φ=30°不變的的情況下，穩(wěn)定系數(shù)隨著c的增大而呈現(xiàn)線性增大的趨勢(shì)。從方法1～3的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，方法2的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的，相對(duì)誤差不到1%，而方法2，3與Bishop法的相對(duì)誤差分別在6.7%、10%范圍內(nèi)。從而可知，基于最小勢(shì)能法的第二種計(jì)算方式最為合理。并且以基于方法2得到的計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性較好，而方法1，方法3的計(jì)算結(jié)果隨著c值的減小，其結(jié)果與Bishop法的相對(duì)誤差越來(lái)越大，但是當(dāng)c降至0時(shí)，方法1，3與Bishop法的相對(duì)誤差仍在工程許可范圍內(nèi)。

從圖4(b)中可以看出：在保持γ=18.4 kN/m3、φ=30°不變的的情況下，從定性的角度來(lái)看，各種方法下的穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算結(jié)果均隨著內(nèi)摩擦角的增大而逐步增加，表明文中計(jì)算方法的合理性。從定量的角度來(lái)看，方法1的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的，而方法1，3的計(jì)算結(jié)果只有在內(nèi)摩擦角φ處于25°～30°的范圍時(shí)，其計(jì)算結(jié)果與Bishop法較為一致，與Bishop法相對(duì)誤差為1%～9.2%，滿足工程上的精度要求；但當(dāng)內(nèi)摩擦角φ處于5°～20°時(shí)，與Bishop法相對(duì)誤差范圍為22.3%～118.4%，相對(duì)誤差較大?？梢?jiàn)，內(nèi)摩擦角對(duì)方法1，3的穩(wěn)定系數(shù)的影響較為敏感，導(dǎo)致了計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性差。作者認(rèn)為這主要與邊坡整體下滑模型有關(guān)。同時(shí)，從圖4(b)中可以看出，方法2的計(jì)算結(jié)果與Bishop法幾乎是一致的。因此，將邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向是合理且可行的。

3.1.2非固定滑面方式

上文在滑面固定的情況下，通過(guò)改變土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)，計(jì)算各種方法的穩(wěn)定系數(shù)，以此來(lái)探究二維邊坡的整體運(yùn)動(dòng)最合理方式。下面將使滑體的滑入點(diǎn)、滑出點(diǎn)位置不變，通過(guò)設(shè)置不同的滑面來(lái)探究上述問(wèn)題，需要注意的是這些變化的滑面的圓心均在滑入點(diǎn)與滑出點(diǎn)組成線段的垂直平分線上，選取的圓心半徑依次為：37.24，40.39，48.01，63.19，77.01，97.15，107.52 m，各種方法的穩(wěn)定系數(shù)如圖5所示。

從圖5可以看出：基于最小勢(shì)能原理的3種分析方式與Bishop的結(jié)果較為接近，方法1與其相對(duì)誤差為1.1%～17.3%，方法2與其相對(duì)誤差為5%內(nèi)，方法3與其相對(duì)誤差為10%以內(nèi)。從定量的角度來(lái)看，方法2的計(jì)算方式更為合理。其次，從穩(wěn)定系數(shù)與滑面半徑的變化關(guān)系來(lái)看，只有方法2與Bishop法保持一致，即隨著滑面深度的增加，穩(wěn)定系數(shù)逐漸提高。當(dāng)然，Bishop法不能作為評(píng)價(jià)一種新的邊坡穩(wěn)定性分析方法的絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，但其被土木、水利等行業(yè)寫進(jìn)了規(guī)范。因此，將本文方法同其進(jìn)行對(duì)比，具有一定的說(shuō)服力。

圖5 非固定滑面下的各種方法的穩(wěn)定系數(shù)Fig.5 Stability factors of various methods under non fixed sliding surface

綜上，基于最小勢(shì)能原理的方法2計(jì)算模型，即將邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向是更加合理且有效的，可以用于邊坡的穩(wěn)定性分析。

3.2 算例2

為驗(yàn)證本文算法對(duì)其余滑動(dòng)面的適用性，將其應(yīng)用于非圓弧形滑動(dòng)面。如圖6所示的滑動(dòng)面為折線的均質(zhì)邊坡[14]。已知：土體凝聚力c=20 kPa，φ=15°，容重γ=30 kN/m3。

圖6 邊坡算例2示意(尺寸單位：m)Fig.6 Schematic diagram of slope calculation example 2

運(yùn)用文中確定的邊坡整體滑動(dòng)方向模型計(jì)算可得穩(wěn)定系數(shù)為0.683，下滑方向s與x軸所夾銳角為41.032°，而文獻(xiàn)[14]得到的穩(wěn)定系數(shù)為0.657，下滑方向?yàn)?0.421°。采用Janbu法得到的穩(wěn)定性系數(shù)為0.726。從上述計(jì)算結(jié)果可知：運(yùn)用本文計(jì)算模型得到的邊坡整體滑動(dòng)方向具有一定的合理性，所得結(jié)果與其余算法的相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，對(duì)于非圓弧形滑動(dòng)面的邊坡穩(wěn)定性分析同樣具有適用性，可以將其應(yīng)用于邊坡的穩(wěn)定性分析。

4 結(jié) 論

(1) 本文從滑體整體平衡的角度建立平衡方程，求解滑面上的剪應(yīng)力，進(jìn)而建立剪切勢(shì)能計(jì)算模型。相比以往的研究，避免了微元體條間力的假設(shè)，理論分析上更嚴(yán)謹(jǐn)。

(2) 本文提出了3種滑體運(yùn)動(dòng)方向，并以固定、非固定滑面為研究對(duì)象，從定性以及定量的角度進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)方法2的整體下滑方式(邊坡的整體運(yùn)動(dòng)方向視為各微面抗滑方向矢量合成的相反方向)與Bishop法的結(jié)果最為接近。

(3) 本文構(gòu)建的滑體運(yùn)動(dòng)模型不僅適用于圓弧形滑面，從整體滑動(dòng)方向、穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算表結(jié)果來(lái)看，對(duì)于折線形滑面同樣具有適用性。此外，僅僅針對(duì)固定滑面的邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行了研究與探討，對(duì)于任意形狀滑動(dòng)面的搜索仍可以進(jìn)一步研究。