淺水波波速公式的推導(dǎo)

張利國

(北京交通大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100081)

周慶莉

(首都師范大學(xué)物理系 北京 100037)

1 “波的折射”在新教材出現(xiàn)

區(qū)別于舊版高中教材，在2020年人教版新教材選擇性必修第一冊第三章第3節(jié)“波的反射、折射和衍射”一課中，增加了“波的折射”的相關(guān)內(nèi)容，并利用發(fā)波水槽演示了波的折射現(xiàn)象．

在演示波的折射現(xiàn)象的實驗中，一般是調(diào)整水深，使一列水波在深度不同的兩個區(qū)域傳播，讓學(xué)生們觀察交界面處的折射現(xiàn)象，如圖1所示．

圖1 演示交界面處的折射現(xiàn)象

根據(jù)惠更斯原理，在不同的介質(zhì)中，波的傳播速度發(fā)生了變化，導(dǎo)致傳播方向發(fā)生偏折，有的學(xué)生在觀察實驗的過程中不禁產(chǎn)生疑問，水深和波速之間有什么關(guān)系呢？

2 簡諧波的波函數(shù)與一維線性波動方程

波函數(shù)和波動方程都可以定量地描述任意時刻離波源任意距離處的質(zhì)點的振動情況，設(shè)有一列平面簡諧波沿x軸傳播，如圖2所示，振動方向均沿ξ坐標(biāo)軸方向，平面簡諧波振動量ξ是位置x和時間t的函數(shù)，即有ξ=ξ(x,t)．取O點為坐標(biāo)原點，其振動方程為ξ(0,t)=Acos(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位．若波在介質(zhì)中的傳播速度為v，則在傳播方向上坐標(biāo)為x的質(zhì)點的振動波函數(shù)為

(1)

其一維線性波動方程為

(2)

式(1)所表示的波函數(shù)在高中階段使用更為普遍，為簡諧波的運動學(xué)方程，波的形成有其動力學(xué)原因，分析介質(zhì)的動力學(xué)結(jié)構(gòu)，可以推導(dǎo)出式(2)所示的波動方程，二者都可以來描述簡諧波的規(guī)律．

圖2 一列平面簡諧波沿x軸傳播

3 淺水波的波速公式

3.1 淺水波

設(shè)水面到水底的深度h，水波的波長為λ，一般把h?λ的水波稱為淺水波．

3.2 研究對象的界定

如圖3所示，在近水底處沿質(zhì)點水平振動方向設(shè)置x軸，無波動時取x到x+dx一小段水柱作為研究對象，設(shè)該水柱在垂直于xz平面方向的厚度為b．有波動時，側(cè)面x和x+dx的水平位移分別記為ξ(x,t)和ξ(x+dx,t)，側(cè)面x和x+dx的豎直方向的升高量分別記為η(x,t)和η(x+dx,t)．

圖3 確定研究對象

我們僅討論液體體積不可壓縮的情形，即小水柱體積不變，有

bhdx=b[h+η(x,t)]·

[dx+ξ(x+dx,t)-ξ(x,t)]

(3)

約分得

整理得

(4)

推導(dǎo)中考慮到η(x,t)?h，有

(5)

對x求偏導(dǎo)有

(6)

3.3 小水柱的受力情況分析

水柱在水平方向的振動加速度是由兩側(cè)重力壓強(qiáng)形成的壓力差提供．在圖2中，A和B兩處的壓強(qiáng)同為大氣壓p0，因為豎直升高高度的不同，接近水面處的上表面不平，水柱水面處水平方向的壓力為p0b[η(x+dx,t)-η(x,t)]，水柱接近水底處的壓強(qiáng)也不同，左側(cè)面AA0壓強(qiáng)分布和右側(cè)BB0段分布相同，B0B1段的壓強(qiáng)可以近似為p0+ρgh．水柱水底處水平方向的壓力為

F=(p0+ρgh)b[η(x+dx,t)-η(x,t)]

水柱沿x方向所受的凈壓力為

dFx=p0b[η(x+dx,t)-η(x,t)]-

(p0+ρgh)b[η(x+dx,t)-η(x,t)]

(7)

dFx=-ρghb[η(x+dx,t)-η(x,t)]

將式(6)代入，有

(8)

3.4 對小水柱列動力學(xué)方程

根據(jù)質(zhì)心運動定理dF=dma，其中

dm=ρdV=ρhbdx

(9)

整理得

(10)

對比式(2)所示一維線性波動方程

求得

其中h為水深，推導(dǎo)完畢．