李惠
(株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412000)
筆者在中學(xué)物理競賽教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)以下這種習(xí)題最能考驗學(xué)生對力學(xué)規(guī)律的理解是否到位.如圖1所示,光滑水平面上靜止放置質(zhì)量為M,長為L的均勻細(xì)桿,質(zhì)量為m的質(zhì)點以垂直于桿的水平初速v0與桿的一端做完全非彈性碰撞.求碰后的角速度.
圖1 習(xí)題情境圖
學(xué)生的主要思維障礙在于無法在頭腦中形成碰后瞬間剛體系統(tǒng)做平面平行運動的物理圖像,不知從什么方向?qū)ふ医忸}突破口,處理桿的轉(zhuǎn)動時,總執(zhí)拗地去找剛體在碰后的瞬時轉(zhuǎn)軸,以期把平面平行運動轉(zhuǎn)化為定軸轉(zhuǎn)動,從而降低題目難度.這一思路本身沒有錯,但學(xué)生一時半會無法準(zhǔn)確找到碰后的系統(tǒng)瞬時轉(zhuǎn)軸位置,難以順利解題.在上述碰撞類問題中,系統(tǒng)沒有固定轉(zhuǎn)軸,碰撞發(fā)生后的瞬間,會有一個實際的瞬時轉(zhuǎn)軸(靜止點),這個瞬時轉(zhuǎn)軸的位置取決于碰撞點的位置以及剛體自身質(zhì)量分布等因素,它與剛體的交線在平面平行運動的平面內(nèi)的投影也即本文標(biāo)題中的“自由轉(zhuǎn)動支點”.那么,如何處理自由轉(zhuǎn)動支點的剛體的碰撞類問題呢?本文從多個角度來詳細(xì)闡述.
取小球初速度v0的方向為正方向,垂直于紙面向里為角動量正方向,設(shè)小球碰后速度為v′,也即小球碰后附著點-桿右端的速度,設(shè)碰后桿中心點的速度為vC桿,角速度為ω,小球與桿右端碰撞的相互作用力大小為F(t),碰撞持續(xù)極短時間τ,對小球,根據(jù)動量定理
對桿,根據(jù)動量定理
在桿的質(zhì)心系中取桿質(zhì)心為參考點,根據(jù)角動量定理,有
再關(guān)聯(lián)桿中心點和桿右端點的速度
聯(lián)立以上4個式子,解得
這個方法從參與碰撞的球和桿兩個角度闡述物理的基本規(guī)律是如何體現(xiàn)在碰撞情境中的,對于習(xí)慣處理重力、摩擦力等常力作用下物理情境的學(xué)生而言,這是很基礎(chǔ)、很簡潔的一種理解碰撞作用力的好方法.
如圖2所示,取桿和質(zhì)點為研究對象,根據(jù)動量守恒,可求得質(zhì)點系質(zhì)心的速度vC
mv0=(M+m)vC
再在質(zhì)心系中來研究該碰撞,以質(zhì)心C為參考點,碰撞前后系統(tǒng)的角動量是守恒的.
圖2 碰撞后質(zhì)心C的位置
先把質(zhì)心位置找出來,以l1和l2表示質(zhì)心與桿中心、與質(zhì)點m的距離.
碰后質(zhì)點、桿繞系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量分別為
碰前桿、質(zhì)點相對系統(tǒng)質(zhì)心的初始角動量方向相同,分別為
碰后系統(tǒng)相對質(zhì)心的角動量為
代入角動量守恒方程
L′=L1+L2
得
設(shè)瞬時轉(zhuǎn)軸在質(zhì)心C左側(cè)l0處,如圖3所示,求得
當(dāng)然,上述解題過程還可適當(dāng)?shù)睾喕?,比如說,碰前的角動量,我們可以直接根據(jù)二體系的相對角動量等于質(zhì)心系中相對質(zhì)心的角動量(證明過程略)直接得出碰后的角速度ω,進(jìn)而快速求解瞬時轉(zhuǎn)軸的位置.即
其中,μ為二體系中小球的折合質(zhì)量.
圖3 碰撞后系統(tǒng)瞬時轉(zhuǎn)軸位置O′
如圖4所示,一個任意形狀、質(zhì)量為m的剛體,被懸掛在通過O點的光滑水平轉(zhuǎn)軸上.當(dāng)物體重心處于轉(zhuǎn)軸O點正下方時,物體靜止;當(dāng)物體略有偏離,可在平衡位置附近左右擺動,故稱“復(fù)擺”.現(xiàn)在討論復(fù)擺的小角度擺動.
圖4 復(fù)擺
設(shè)質(zhì)心軸的回轉(zhuǎn)半徑為k,剛體繞過O點的水平軸定軸轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動慣量為IO,剛體質(zhì)心C與轉(zhuǎn)軸O的距離為x1.根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律及小角近似得
可得微振動周期為
要使復(fù)擺繞O′的水平軸的微振動周期與繞O的水平軸的微振動周期相等,則有
T′=Tx1x2=k2
這個結(jié)論告訴我們,如果在剛體上過質(zhì)心的任意一條直線上,找到與質(zhì)心相距x1和x2并分居質(zhì)心兩側(cè)的兩個點O和O′,只要滿足x1x2=k2,O和O′兩點就是共軛的,剛體繞這兩個點定軸轉(zhuǎn)動的周期相等.實驗室就是利用了這一特性只做了可倒擺.接下來,我們來討論這么個小問題:假設(shè)剛體懸掛點距離質(zhì)心C為x的A點(圖5),在O′給剛體一個垂直于AO′連線方向的沖量J,x的取值為多少才能使得懸掛處受瞬時沖擊的過程中不產(chǎn)生任何附加作用力?首先,假設(shè)滿足條件的懸掛點A距離質(zhì)心x,根據(jù)質(zhì)心運動定理和以質(zhì)心C為參考點的角動量定理得
J=mvCJx2=mk2ω
圖5 討論打擊中心
已知質(zhì)心平動速度和剛體的角速度,即可得
可見x=x1,這說明符合條件的A點即之前我們提到的O點.換句話說,如果O點處不存在固定轉(zhuǎn)軸,剛體在O′點受到碰撞等沖擊時,剛體的自由轉(zhuǎn)動支點就是O點.由于O和O′兩點共軛,當(dāng)剛體在O點受到碰撞等沖擊時,剛體的自由轉(zhuǎn)動支點就是O′點.O和O′互為打擊中心.
回到本文文首的題目,不管質(zhì)點以多大的速度與細(xì)桿發(fā)生完全非彈性碰撞,質(zhì)點都相當(dāng)于在細(xì)桿的右端施加了一個瞬時沖量,使得沖量結(jié)束后桿和質(zhì)點這個“剛體”繞自由支點定軸轉(zhuǎn)動.先用以上模型求該支點位置.如圖6所示.算出質(zhì)心軸的回轉(zhuǎn)半徑k,l2相當(dāng)于模型中的x2,l0相當(dāng)于模型中的x1,即可得到碰后的角速度.
mk2=I1+I2
k2=l2l0
mv0=(M+m)vC
結(jié)論與常規(guī)解法一致.
圖6 用復(fù)擺模型舉例
如圖7所示,質(zhì)量未必相同的兩個小球A和B用輕桿相連后放在光滑水平面上,桌面上另一個小球D以垂直于桿方向的速度撞擊B球,試證明碰后瞬間A球的瞬時速度為零.
圖7 題圖
本題是舒幼生老師編著的《力學(xué)》[1]上的一道例題.筆者采用與編者不一樣的方法來證明.如圖8所示,設(shè)A和B球的質(zhì)量分別為m1和m2,相距L,兩球與輕桿構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)心C距離A和B球的距離分別為l1和l2.
系統(tǒng)的質(zhì)心軸回轉(zhuǎn)半徑為k,則
圖8 實例1圖
設(shè)在質(zhì)心左側(cè)距離質(zhì)心C為x1的位置為自由轉(zhuǎn)動支點,根據(jù)復(fù)擺模型,有
k2=l2x1
解得
也即x1=l1,說明自由轉(zhuǎn)動支點恰好是A球.此題得證.
(第23屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題節(jié)選)如圖9所示,一根輕桿,長為2l,兩端、中心處分別固連著質(zhì)量均為m的小球B,D,C,開始時靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另一質(zhì)量為M的小球A,以給定初速度v0沿垂直于桿的方向與B球發(fā)生彈性碰撞,求剛碰后4個小球的速度.
圖9 實例2圖
常規(guī)解法筆者不再贅述.這里采用復(fù)擺模型來解題.先確定B,C,D球及輕桿系統(tǒng)在碰撞后的自由轉(zhuǎn)動支點,設(shè)該支點在球C左側(cè)x處
3mk2=2ml2
k2=xl
解得
可見,碰后B,C,D球及輕桿系統(tǒng)是一個繞O點定軸轉(zhuǎn)動的剛體(圖10).
圖10 用復(fù)擺模型解題
設(shè)碰后球A和球B的速度分別為vA和vB,球C和D的速度分別為
根據(jù)彈性碰撞的特點,有
v0=vB-vA
解得
計算過程中計算量沒有常規(guī)解法那么大,而且邏輯思維能更直觀地借助定軸轉(zhuǎn)動體現(xiàn)出來.
由此可見,用復(fù)擺模型解決自由轉(zhuǎn)動支點的剛體的碰撞類問題,能迅速找到剛體的瞬時轉(zhuǎn)軸位置,從而把剛體的平面平行運動(3個自由度)轉(zhuǎn)化為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(1個自由度),化繁為簡,化抽象為直觀,更有助于我們理解力學(xué)規(guī)律在實際的物理情境中的體現(xiàn)過程.