淺談自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)的剛體碰撞類習(xí)題的解法*
——“復(fù)擺”模型的應(yīng)用

李惠

(株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412000)

筆者在中學(xué)物理競(jìng)賽教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)以下這種習(xí)題最能考驗(yàn)學(xué)生對(duì)力學(xué)規(guī)律的理解是否到位．如圖1所示，光滑水平面上靜止放置質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以垂直于桿的水平初速v0與桿的一端做完全非彈性碰撞．求碰后的角速度．

圖1 習(xí)題情境圖

學(xué)生的主要思維障礙在于無(wú)法在頭腦中形成碰后瞬間剛體系統(tǒng)做平面平行運(yùn)動(dòng)的物理圖像，不知從什么方向?qū)ふ医忸}突破口，處理?xiàng)U的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總執(zhí)拗地去找剛體在碰后的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，以期把平面平行運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，從而降低題目難度.這一思路本身沒(méi)有錯(cuò)，但學(xué)生一時(shí)半會(huì)無(wú)法準(zhǔn)確找到碰后的系統(tǒng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸位置，難以順利解題．在上述碰撞類問(wèn)題中，系統(tǒng)沒(méi)有固定轉(zhuǎn)軸，碰撞發(fā)生后的瞬間，會(huì)有一個(gè)實(shí)際的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸(靜止點(diǎn))，這個(gè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的位置取決于碰撞點(diǎn)的位置以及剛體自身質(zhì)量分布等因素，它與剛體的交線在平面平行運(yùn)動(dòng)的平面內(nèi)的投影也即本文標(biāo)題中的“自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)”．那么，如何處理自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)的剛體的碰撞類問(wèn)題呢？本文從多個(gè)角度來(lái)詳細(xì)闡述．

1 常規(guī)解法

取小球初速度v0的方向?yàn)檎较颍怪庇诩埫嫦蚶餅榻莿?dòng)量正方向，設(shè)小球碰后速度為v′，也即小球碰后附著點(diǎn)-桿右端的速度，設(shè)碰后桿中心點(diǎn)的速度為vC桿，角速度為ω，小球與桿右端碰撞的相互作用力大小為F(t)，碰撞持續(xù)極短時(shí)間τ，對(duì)小球，根據(jù)動(dòng)量定理

對(duì)桿，根據(jù)動(dòng)量定理

在桿的質(zhì)心系中取桿質(zhì)心為參考點(diǎn)，根據(jù)角動(dòng)量定理，有

再關(guān)聯(lián)桿中心點(diǎn)和桿右端點(diǎn)的速度

聯(lián)立以上4個(gè)式子，解得

這個(gè)方法從參與碰撞的球和桿兩個(gè)角度闡述物理的基本規(guī)律是如何體現(xiàn)在碰撞情境中的，對(duì)于習(xí)慣處理重力、摩擦力等常力作用下物理情境的學(xué)生而言，這是很基礎(chǔ)、很簡(jiǎn)潔的一種理解碰撞作用力的好方法．

2 在質(zhì)心系中利用角動(dòng)量守恒解此題

如圖2所示,取桿和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，根據(jù)動(dòng)量守恒，可求得質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的速度vC

mv0=(M+m)vC

再在質(zhì)心系中來(lái)研究該碰撞，以質(zhì)心C為參考點(diǎn)，碰撞前后系統(tǒng)的角動(dòng)量是守恒的.

圖2 碰撞后質(zhì)心C的位置

先把質(zhì)心位置找出來(lái)，以l1和l2表示質(zhì)心與桿中心、與質(zhì)點(diǎn)m的距離．

碰后質(zhì)點(diǎn)、桿繞系統(tǒng)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為

碰前桿、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)系統(tǒng)質(zhì)心的初始角動(dòng)量方向相同，分別為

碰后系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為

代入角動(dòng)量守恒方程

L′=L1+L2

得

設(shè)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸在質(zhì)心C左側(cè)l0處，如圖3所示，求得

當(dāng)然，上述解題過(guò)程還可適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，比如說(shuō)，碰前的角動(dòng)量，我們可以直接根據(jù)二體系的相對(duì)角動(dòng)量等于質(zhì)心系中相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量(證明過(guò)程略)直接得出碰后的角速度ω，進(jìn)而快速求解瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的位置．即

其中，μ為二體系中小球的折合質(zhì)量．

圖3 碰撞后系統(tǒng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸位置O′

3 用“復(fù)擺”模型解此題

3.1 “復(fù)擺”模型的特點(diǎn)

如圖4所示，一個(gè)任意形狀、質(zhì)量為m的剛體，被懸掛在通過(guò)O點(diǎn)的光滑水平轉(zhuǎn)軸上．當(dāng)物體重心處于轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)正下方時(shí)，物體靜止；當(dāng)物體略有偏離，可在平衡位置附近左右擺動(dòng)，故稱“復(fù)擺”．現(xiàn)在討論復(fù)擺的小角度擺動(dòng)．

圖4 復(fù)擺

設(shè)質(zhì)心軸的回轉(zhuǎn)半徑為k,剛體繞過(guò)O點(diǎn)的水平軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO,剛體質(zhì)心C與轉(zhuǎn)軸O的距離為x1．根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律及小角近似得

可得微振動(dòng)周期為

要使復(fù)擺繞O′的水平軸的微振動(dòng)周期與繞O的水平軸的微振動(dòng)周期相等，則有

T′=Tx1x2=k2

這個(gè)結(jié)論告訴我們，如果在剛體上過(guò)質(zhì)心的任意一條直線上，找到與質(zhì)心相距x1和x2并分居質(zhì)心兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)O和O′，只要滿足x1x2=k2，O和O′兩點(diǎn)就是共軛的，剛體繞這兩個(gè)點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的周期相等．實(shí)驗(yàn)室就是利用了這一特性只做了可倒擺．接下來(lái)，我們來(lái)討論這么個(gè)小問(wèn)題：假設(shè)剛體懸掛點(diǎn)距離質(zhì)心C為x的A點(diǎn)(圖5)，在O′給剛體一個(gè)垂直于AO′連線方向的沖量J，x的取值為多少才能使得懸掛處受瞬時(shí)沖擊的過(guò)程中不產(chǎn)生任何附加作用力？首先，假設(shè)滿足條件的懸掛點(diǎn)A距離質(zhì)心x，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和以質(zhì)心C為參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理得

J=mvCJx2=mk2ω

圖5 討論打擊中心

已知質(zhì)心平動(dòng)速度和剛體的角速度，即可得

可見(jiàn)x=x1，這說(shuō)明符合條件的A點(diǎn)即之前我們提到的O點(diǎn)．換句話說(shuō)，如果O點(diǎn)處不存在固定轉(zhuǎn)軸，剛體在O′點(diǎn)受到碰撞等沖擊時(shí)，剛體的自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)就是O點(diǎn)．由于O和O′兩點(diǎn)共軛，當(dāng)剛體在O點(diǎn)受到碰撞等沖擊時(shí)，剛體的自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)就是O′點(diǎn)．O和O′互為打擊中心．

3.2 用復(fù)擺模型速解自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)位置

回到本文文首的題目，不管質(zhì)點(diǎn)以多大的速度與細(xì)桿發(fā)生完全非彈性碰撞，質(zhì)點(diǎn)都相當(dāng)于在細(xì)桿的右端施加了一個(gè)瞬時(shí)沖量，使得沖量結(jié)束后桿和質(zhì)點(diǎn)這個(gè)“剛體”繞自由支點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)．先用以上模型求該支點(diǎn)位置．如圖6所示．算出質(zhì)心軸的回轉(zhuǎn)半徑k,l2相當(dāng)于模型中的x2，l0相當(dāng)于模型中的x1，即可得到碰后的角速度．

mk2=I1+I2

k2=l2l0

mv0=(M+m)vC

結(jié)論與常規(guī)解法一致．

圖6 用復(fù)擺模型舉例

4 “復(fù)擺”模型解決此類問(wèn)題的應(yīng)用實(shí)例

4.1 實(shí)例1

如圖7所示，質(zhì)量未必相同的兩個(gè)小球A和B用輕桿相連后放在光滑水平面上，桌面上另一個(gè)小球D以垂直于桿方向的速度撞擊B球，試證明碰后瞬間A球的瞬時(shí)速度為零．

圖7 題圖

本題是舒幼生老師編著的《力學(xué)》[1]上的一道例題．筆者采用與編者不一樣的方法來(lái)證明．如圖8所示，設(shè)A和B球的質(zhì)量分別為m1和m2，相距L，兩球與輕桿構(gòu)成的系統(tǒng)的質(zhì)心C距離A和B球的距離分別為l1和l2.

系統(tǒng)的質(zhì)心軸回轉(zhuǎn)半徑為k,則

圖8 實(shí)例1圖

設(shè)在質(zhì)心左側(cè)距離質(zhì)心C為x1的位置為自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)，根據(jù)復(fù)擺模型，有

k2=l2x1

解得

也即x1=l1，說(shuō)明自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)恰好是A球．此題得證．

4.2 實(shí)例2

(第23屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題節(jié)選)如圖9所示，一根輕桿，長(zhǎng)為2l，兩端、中心處分別固連著質(zhì)量均為m的小球B，D，C，開(kāi)始時(shí)靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另一質(zhì)量為M的小球A，以給定初速度v0沿垂直于桿的方向與B球發(fā)生彈性碰撞，求剛碰后4個(gè)小球的速度．

圖9 實(shí)例2圖

常規(guī)解法筆者不再贅述．這里采用復(fù)擺模型來(lái)解題．先確定B，C，D球及輕桿系統(tǒng)在碰撞后的自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)，設(shè)該支點(diǎn)在球C左側(cè)x處

3mk2=2ml2

k2=xl

解得

可見(jiàn)，碰后B，C，D球及輕桿系統(tǒng)是一個(gè)繞O點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體(圖10).

圖10 用復(fù)擺模型解題

設(shè)碰后球A和球B的速度分別為vA和vB,球C和D的速度分別為

根據(jù)彈性碰撞的特點(diǎn)，有

v0=vB-vA

解得

計(jì)算過(guò)程中計(jì)算量沒(méi)有常規(guī)解法那么大，而且邏輯思維能更直觀地借助定軸轉(zhuǎn)動(dòng)體現(xiàn)出來(lái)．

由此可見(jiàn)，用復(fù)擺模型解決自由轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)的剛體的碰撞類問(wèn)題，能迅速找到剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸位置，從而把剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)(3個(gè)自由度)轉(zhuǎn)化為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(1個(gè)自由度)，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀，更有助于我們理解力學(xué)規(guī)律在實(shí)際的物理情境中的體現(xiàn)過(guò)程．