林昌斌 鄭淵方
(福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院 福建 福州 350007)
圖1 最大傾斜角表示物體穩(wěn)度
圖2 穩(wěn)度演示教具
為研究方便,本文選用質(zhì)量分布均勻的物體進行討論.如圖3所示,緩慢上抬支持面,使物體繞著O軸逆時針勻速轉(zhuǎn)動.若重力矩對物體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)的效果,則物體不會傾倒.隨著傾斜角θ的增大,物體受到的重力矩逐漸減小,當重力矩為零時,物體恰好處在傾倒的臨界位置.
圖3 支持面上物體轉(zhuǎn)動的力矩分析
設(shè)物體的重心高度為h,重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離為x.物體在力F的作用下繞O軸轉(zhuǎn)動至θ角度,此時支持力與重力對O軸的力臂分別為
b=x-htanθ
(1)
l=bcosθ=xcosθ-hsinθ
(2)
當物體處在傾倒的臨界位置時,重力矩為零
MG=mgl=
mg(xcosθmax-hsinθmax)=0
(3)
(4)
(5)
式(5)表明,物體最大傾斜角與兩個參數(shù)有關(guān),即h和x.而對于質(zhì)量分布均勻的物體,其重心的位置只跟物體的形狀有關(guān),重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離也只跟物體的形狀有關(guān).可見,它的最大傾斜角僅與其形狀有關(guān),與它的質(zhì)量大小無關(guān).圖2所示的教具就是顯示這種情況.如果采用物體的最大傾斜角表示穩(wěn)度大小,那么物體的穩(wěn)度與質(zhì)量無關(guān).但用最大傾斜角表示穩(wěn)度大小會出現(xiàn)與實驗結(jié)果矛盾的現(xiàn)象.如圖4所示,將兩個形狀相同、材料不同的均勻長方體A和B放置在水平面上,A和B分別由泡沫和鐵構(gòu)成.用電吹風(fēng)機分別作用在兩物體的側(cè)面,可以發(fā)現(xiàn)A物體容易被吹翻,而B物體基本不動.兩物體受到相同的外力作用,最大傾斜角更大的物體反而更容易傾倒.生活中,人們認為 “穩(wěn)定”是指穩(wěn)固安定、沒有變動的意思,若處在圖4所示的情境下,B是更加穩(wěn)定的.如果僅用最大傾斜角來表示物體穩(wěn)度的大小,那么得到的結(jié)論是:A的穩(wěn)定程度比B好,即A比B更穩(wěn)定.可見,得到的結(jié)論與實際矛盾.最大傾斜角僅體現(xiàn)了物體可傾斜的程度(物體能夠偏離平衡位置而不傾倒的程度),而未體現(xiàn)出使它發(fā)生傾斜的難易程度.結(jié)合生活實際,考察物體偏離平衡位置的難易程度應(yīng)當屬于穩(wěn)度的討論范疇.
圖4 外力作用下不同材料的物體穩(wěn)度
以圖3為例,物體在力F的作用下繞O軸轉(zhuǎn)動至θ角度,由力矩平衡
Nb=mgl
(6)
據(jù)杠桿原理
Nb=Fs
(7)
(8)
式(8)表明,對于質(zhì)量越大的物體,需要更大的外力才能使它發(fā)生偏轉(zhuǎn).同理,如圖4所示,要使處于平衡狀態(tài)的物體發(fā)生傾倒,所施加的外力矩必須大于物體的重力矩.若物體的質(zhì)量越大,則重力矩越大,使它偏離平衡位置的難度更大,即質(zhì)量越大越穩(wěn)定.
若考察物體在外力作用下的穩(wěn)定性,則可用物體的重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度,即
MG=mg(xcosθ-hsinθ)
(9)
式中x為重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離,h為物體的重心高度,θ為物體的支撐面與水平面的夾角(傾斜角).物體的重力矩越大,則穩(wěn)度越大.由式(9)可知,可通過增大重力、增大支持面的面積以及降低重心高度等措施增大重力矩,這與提高物體穩(wěn)度的措施是一致的.而對于處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)的物體,使它從原平衡位置偏轉(zhuǎn)至傾倒的臨界位置的過程中,物體在不同位置處的穩(wěn)定性是不同的.如圖5和圖6所示,緩慢上抬支持面,使物體分別偏轉(zhuǎn)至傾斜角為θ1和θ2的位置(θ1<θ2).
圖5 物體處在θ1位置
圖6 物體處在θ2位置
當物體處于θ1位置時,物體的重力矩大小為
M1=mgl1=mg(xcosθ1-hsinθ1)
處于θ2位置時,其重力矩大小為
M2=mgl2=mg(xcosθ2-hsinθ2)
可以得到M1>M2,物體在θ1位置處的穩(wěn)定性較高.進一步分析,當物體水平放置時(θ=0),物體的重力矩最大,此時物體的穩(wěn)定性最好.隨著傾斜角的增大,重力矩逐漸減小,物體的穩(wěn)定性逐漸降低.當物體的重力矩為零時,物體恰好處在傾倒的臨界位置.若重力矩為負值,物體將會傾倒.可見,重力矩的大小變化很好地體現(xiàn)了穩(wěn)度大小在偏轉(zhuǎn)過程中的變化趨勢.用重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度,既可以比較不同物體的穩(wěn)度大小,又可以體現(xiàn)出物體在偏轉(zhuǎn)過程中的穩(wěn)定性變化.
最大傾斜角體現(xiàn)了物體可傾斜的程度,而質(zhì)量大小影響物體偏離平衡位置的難易程度.對于質(zhì)量分布均勻的物體,它的最大傾斜角只跟形狀有關(guān),跟質(zhì)量無關(guān).物體穩(wěn)度既要考慮物體可傾斜的程度,又要考慮使物體偏離平衡位置的難易程度.若考察物體在外力作用下的穩(wěn)定性,則可用重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度.在相同的條件下,物體的質(zhì)量越大,穩(wěn)度越大.